概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版節(jié)

第二章隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量離散性隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）.例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；七月份北京的最高溫度；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；2、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.

例1在一個(gè)袋子中有編號為1，2，3的3只球，作放回抽樣，抽球兩次，觀察兩只球的號碼和

X—兩只球的號碼和

;e—樣本點(diǎn)

X=X(e)例2拋一枚硬幣3次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)X—出現(xiàn)正面的次數(shù)

;e—樣本點(diǎn)

X=X(e)—定義在樣本空間S的函數(shù)樣本點(diǎn)HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX的值32221110定義：隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={e}，X=X(e)是定義在樣本空間S上的單值實(shí)值函數(shù)，稱X=X(e)為隨機(jī)變量e.X(e)R注意：有時(shí)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果就是一個(gè)數(shù)，可令X(e)=e，則X=X(e)為隨機(jī)變量這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù).e.X(e)R這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？（1）它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值.（2）由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實(shí)值函數(shù)取每個(gè)值也有一定的概率.隨量機(jī)變簡記為r.v.而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí),一般采用小寫字母x,y,z等.隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示

例如，從某一學(xué)校隨機(jī)選一學(xué)生，測量他的身高.我們可以把可能的身高看作隨機(jī)變量X,然后我們可以提出關(guān)于X的各種問題.

如

P{X>1.7}=？P{X≤1.5}=?P{1.5<X<1.7}=?

這時(shí),要么x≥1.7米，要么x<1.7米，再去求P{x≥1.7米}就沒有什么意義了.一旦我們實(shí)際選定了一個(gè)學(xué)生并量了他的身高之后，我們就得到X的一個(gè)具體的值，記作x.有了隨機(jī)變量,隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來.

二、引入隨機(jī)變量的意義如：單位時(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量.事件{收到不少于1次呼叫}{X1}{沒有收到呼叫}{X=0}隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后，對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機(jī)變量及其取值規(guī)律例2拋一枚硬幣3次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)X—出現(xiàn)正面的次數(shù)

;e—樣本點(diǎn)

樣本點(diǎn)HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX的值32221110A—出現(xiàn)正面2次

;P(A)=3/8

A—{X=2}，P{X=2}=3/8

P{X≤1}=?三、隨機(jī)變量的分類

通常分為兩類：如“取到次品的個(gè)數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量所有取值可以逐個(gè)一一列舉例如，“電視機(jī)的壽命”，全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個(gè)區(qū)間.第二章隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量

離散性隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是x1,x2,….為了描述隨機(jī)變量X，我們不僅需要知道隨機(jī)變量X的取值，而且還想知道X取每個(gè)值的概率.

這樣就掌握了X這個(gè)隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.從中任取3個(gè)球取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量X可能取的值是0,1,2取每個(gè)值的概率為其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）定義：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，X取各個(gè)可能值的概率，即事件{X=xk}的概率為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是分布律一、離散型隨機(jī)變量概率分布的定義二、表示方法（1）列表法：（2）公式法X~再看例1任取3個(gè)球X為取到的白球數(shù)X可能取的值是0,1,2Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是分布律解:依據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì):P{X=k}≥0,

a≥0從中解得欲使上述函數(shù)為概率函數(shù)應(yīng)有這里用到了常見的冪級數(shù)展開式例1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.三、舉例解：X可取0、1、2、3、4例2.

一汽車沿一街道行駛，需要通過四組信號燈，每組信號燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過.以X表示該汽車首次停下時(shí)，已通過的信號燈的組數(shù)（各信號燈工作時(shí)相互獨(dú)立的），求X的分布律.X02143pk0.50.250.1250.06250.0625例3.某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃投中的概率是0.9，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布.解：X可取0、1、2為值

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81

且P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1練習(xí)：P55Ex2（2）X可取1,…,6或X13254pk11/369/367/365/363/3661/36四、三種常見的離散型隨機(jī)變量(一)（0-1）分布，也稱為兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，分布律為則稱X服從（0-1）分布或兩點(diǎn)分布，分布律也可寫成X10pk1-ppE是一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),用S={e1,e2}表示其樣本空間.

P({e1})=p,P({e2})=1-p

來源

200件產(chǎn)品中,有196件是正品,4件是次品,今從中隨機(jī)地抽取一件,若規(guī)定例4則P{X=1}=196/200=0.98,P{X=0}=4/200=0.02

X01pk0.020.98(二)伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布伯努利試驗(yàn)：試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果A及1重伯努利試驗(yàn)就是（0-1）分布的試驗(yàn)來源。n重伯努利試驗(yàn)：將E獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，這樣 的一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)注意試驗(yàn)重復(fù)性和獨(dú)立性例如：設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為q=1-p，隨機(jī)抽查出生的4個(gè)嬰兒令X——4個(gè)嬰兒中“男孩”的個(gè)數(shù).X的分布律是：X可取值0,1,2,3,4.

用X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則X是離散型隨機(jī)變量，分布律：稱X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作X~b(n,p)顯然n=1時(shí)，X服從兩點(diǎn)分布。例5將一枚均勻骰子拋擲3次，令X表示3次中出現(xiàn)“4”點(diǎn)的次數(shù)X的概率分布是：不難求得，注:伯努利試驗(yàn)（伯努利概型）試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同；二項(xiàng)分布描述的是n重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布.（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立.兩個(gè)互逆結(jié)果可以是成功-失敗，合格-不合格等例6某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1500小時(shí)以上視為正品.已知有一大批這類的燈泡,其次品率是0.2.隨機(jī)抽出20只燈泡做壽命試驗(yàn),求這20只燈泡中恰有3只是次品的概率.解:設(shè)X為20只燈泡中次品的個(gè)數(shù),則.X~b(20,0.2)，對于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí),概率P{X=k}先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn)：X~b(n,p)n=10,p=0.7nPkn=13,p=0.5Pkn0例7某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.2，獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率解:設(shè)X為擊中的次數(shù),則.X~b(400,0.2)，例880臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備故障只能由一人處理，考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維修，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由3人共同維修80臺(tái)。試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率大小。解:設(shè)X為第一種方法某個(gè)人負(fù)責(zé)的機(jī)器同一時(shí)間故障的臺(tái)數(shù)

X~b(20,0.01)，Y為第二種方法所有機(jī)器中同一時(shí)間故障的臺(tái)數(shù)Y~b(80,0.01)，(三)泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2,…,且分布律為：其中λ>0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布,記作X~π(λ).例9某一無線尋呼臺(tái),每分鐘收到尋呼的次數(shù)X服從參數(shù)=3的泊松分布.求:(1)一分鐘內(nèi)恰好收到3次尋呼的概率.(2)一分鐘內(nèi)收到2至5次尋呼的概率.解:

(1)P{X=3}=(33/3!)e-3≈0.2240(2)P{2≤X≤5}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3≈0.7169泊松定理（泊松分布逼近二項(xiàng)分布）求二項(xiàng)分布的概率的近似計(jì)算例：某批產(chǎn)品次品率為0.1%，各產(chǎn)品為次品相互獨(dú)立，求1000件產(chǎn)品中至少2件次品的概率。解：X為次品數(shù)，X~b(1000,0.001)第二章隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量離散性隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度隨機(jī)變量的函數(shù)的分布對于非離散型隨機(jī)變量X，往往考慮以下事件發(fā)生的概率只需研究

———|——>x一、定義：設(shè)

X

是一個(gè)r.v.，x是一任意實(shí)數(shù)，稱為X

的分布函數(shù).記作F

(x).

如果將X

看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間的概率.

由定義，對任意實(shí)數(shù)x1<x2，X落在區(qū)間（x1,x2]的概率為：P{x1<X≤x2

}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)

因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述.分布函數(shù)的性質(zhì)（1）x1<x2,總有F(x1)≤F(x2)(單調(diào)非減性)（2）F(x)是一個(gè)右連續(xù)的函數(shù)（3）xR,總有0≤F(x)≤1(有界性),且重要公式離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的計(jì)算舉例例1隨機(jī)變量X的分布律為X-132pk1/41/21/4求X的分布函數(shù)，并求P{X≤1/2},P{3/2<X≤5/2}，P{2≤X≤3}X-132pk1/41/21/4求X的分布函數(shù)，并求P{X≤1/2},當(dāng)x<-1時(shí)，F(xiàn)(x)=0F(x)=P(X≤

x)解:當(dāng)-1≤x<2時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X=-1}=1/4當(dāng)2≤x<3時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X=