留數(shù)與留數(shù)定理

留數(shù)與留數(shù)定理第一頁，共35頁。一、孤立奇點(diǎn)及其類型定義1設(shè)在不解析，而在的去心鄰域內(nèi)解析，則稱為的孤立奇點(diǎn)．

第二頁，共35頁。例如，是的孤立奇點(diǎn)．是的奇點(diǎn)，而非孤立奇點(diǎn)，因?yàn)槎际撬钠纥c(diǎn)．當(dāng)n無限增大時(shí)，在不論怎樣小的去心鄰域內(nèi)總有的奇點(diǎn)存在．第三頁，共35頁。設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，那么的某去心鄰域內(nèi)展為洛朗級數(shù)，其中正冪次項(xiàng)部分是在以為中心圓域內(nèi)解析函數(shù)(稱為解析部分)，所以點(diǎn)的奇異性完全體現(xiàn)在負(fù)冪次項(xiàng)的級數(shù)部分(稱為主要部分)．下面就洛朗級數(shù)負(fù)冪次項(xiàng)部分的情況對孤立奇點(diǎn)進(jìn)行分類．

第四頁，共35頁。定義2設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，且在的去心鄰域內(nèi)洛朗級數(shù)展開式有如下三種情況：（1）若沒有負(fù)冪次項(xiàng)，則稱為的可去奇點(diǎn)；（2）若關(guān)于的最高次冪項(xiàng)為，即

則稱為的m級極點(diǎn)；（3）若有無窮個(gè)的負(fù)冪次項(xiàng)，則稱為的本性奇點(diǎn)．第五頁，共35頁。例１已知，展式中沒有負(fù)冪次項(xiàng)，故為的可去奇點(diǎn)．例２已知，展式中的最高次冪項(xiàng)為，故為的二級極點(diǎn)．第六頁，共35頁。例３已知，展式中有無窮多負(fù)冪次項(xiàng)，故為的本性奇點(diǎn)．關(guān)于孤立奇點(diǎn)類型的判別，我們有如下結(jié)論：第七頁，共35頁。定理1設(shè)在內(nèi)解析，則(1)為的可去奇點(diǎn)的充要條件是存在極限，其中為一復(fù)常數(shù)；(2)為的極點(diǎn)的充要條件是；(3)為的本性奇點(diǎn)的充要條件是不存在且不為無窮．證明：略。第八頁，共35頁。現(xiàn)在研究極點(diǎn)的特征．設(shè)在內(nèi)解析，且是的級極點(diǎn)，則在內(nèi)，有洛朗展式

其中．于是在內(nèi)，(13.6)其中在內(nèi)是解析的函數(shù)，且．反之，如果在內(nèi)可表示成(13.6)，而在內(nèi)解析且，那么不難推出是的m級極點(diǎn)，第九頁，共35頁。結(jié)論：是的m級極點(diǎn)的充要條件是

其中在解析且．于是有：第十頁，共35頁。例４

判斷函數(shù)孤立奇點(diǎn)的類型．

解：和為的孤立奇點(diǎn)．因?yàn)?/p>

其中在解析且，故是

的三級極點(diǎn)．類似地，分別是的一級極點(diǎn)．第十一頁，共35頁。定義3設(shè)，其中在解析且，則稱是的m級零點(diǎn)．例如，則和分別是的一級與三級零點(diǎn)．由定義3可得結(jié)論：設(shè)在解析，則為的m級零點(diǎn)的充要條件是．(13.7)第十二頁，共35頁。事實(shí)上，若為的m級零點(diǎn)，則可寫為，設(shè)在的泰勒展開式為，其中，從而在的泰勒展開式為

由此可見，當(dāng)時(shí)，，

．這就證明了上述結(jié)論的必要性，充分性請讀者自己證明．第十三頁，共35頁。例５

問為的幾級零點(diǎn)？

解：因?yàn)椋?，，故是的三級零點(diǎn)．零點(diǎn)與極點(diǎn)有如下關(guān)系：第十四頁，共35頁。定理2若是的m級零點(diǎn)，則是的m級極點(diǎn)，反之也成立．證明：若是的m級零點(diǎn)，則有，其中在解析且．由此，當(dāng)時(shí)，

其中在解析且，所以是的m級極點(diǎn)．第十五頁，共35頁。反之，如果是的m級極點(diǎn)，則有

這里在解析且，于是有，其中也在解析且，由定義3可知是的m級零點(diǎn)．定理2為判斷函數(shù)的極點(diǎn)及其類型提供了一個(gè)較為簡便的方法．

第十六頁，共35頁。例６

函數(shù)有哪些奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出它們?yōu)閹准墭O點(diǎn)．

解：凡是使的點(diǎn)都是的奇點(diǎn)，這些奇點(diǎn)是，且均為孤立奇點(diǎn)。又由于，所以都是的一級零點(diǎn)，也就是的一級極點(diǎn)．第十七頁，共35頁。二、留數(shù)與留數(shù)定理定義4設(shè)是的孤立奇點(diǎn)，在去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)中負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)稱為在的留數(shù)，記作，即．(13.8)第十八頁，共35頁。設(shè),是的孤立奇點(diǎn)，曲線C是函數(shù)解析域內(nèi)圍繞的任一正向簡單閉曲線，等式兩邊逐項(xiàng)積分得

于是有(13.9)關(guān)于留數(shù)，我們有下面的重要定理：第十九頁，共35頁。定理3(留數(shù)定理)設(shè)曲線C是一條正向簡單閉曲線，在C內(nèi)有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，除此以外，在C內(nèi)及C上解析，則(13.10)證：如圖13.3，在曲線C內(nèi)用互不包含且互不相交的正向簡單閉曲線將各孤立奇點(diǎn)圍繞起來，圖13-3第二十頁，共35頁。由復(fù)合閉路定理,進(jìn)而

故利用這個(gè)定理，求沿封閉曲線C的積分，就可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)的留數(shù)．第二十一頁，共35頁。例７求，C為正向圓周．解：在C內(nèi)被積函數(shù)有兩個(gè)孤立奇點(diǎn)和,下面分別求.在內(nèi)

故第二十二頁，共35頁。在內(nèi)

故由留數(shù)定理得原式

第二十三頁，共35頁。求函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)，如果先知道奇點(diǎn)為何種類型，一般來說會更方便，因?yàn)椋?）若為的可去奇點(diǎn)，則（2）若為的本性奇點(diǎn)，則將在解析域內(nèi)展為洛朗級數(shù)，其中負(fù)一次冪項(xiàng)系數(shù)即為所求留數(shù)；（3）若為的極點(diǎn)，則可用下列計(jì)算規(guī)則求留數(shù)．第二十四頁，共35頁。規(guī)則１若為的一級極點(diǎn)，則

．證：由于為的一級極點(diǎn)，故有，上式兩邊同乘以，得

兩端取極限，得．第二十五頁，共35頁。規(guī)則２若為的m級極點(diǎn)，則

證：由于為的m級極點(diǎn)，所以

上式兩邊同乘以，得

兩邊對z求m-1階導(dǎo)數(shù)，得

令，兩端取極限得結(jié)論成立．第二十六頁，共35頁。規(guī)則３設(shè)，及在都解析，若則是的一級極點(diǎn)，且．證：因?yàn)榈囊患墭O點(diǎn)，由規(guī)則１，

已知在解析，且，于是

第二十七頁，共35頁。

例8求，C為正向圓周．解：在C內(nèi)有一個(gè)一級極點(diǎn)和一個(gè)二級極點(diǎn)．由規(guī)則１，．由規(guī)則２，

由留數(shù)定理，原式第二十八頁，共35頁。例９計(jì)算積分，C為正向圓周．解：在C內(nèi)有四個(gè)一級極點(diǎn)．由規(guī)則３，．同理可求，，由留數(shù)定理，原式

第二十九頁，共35頁。例10

計(jì)算積分，C為正向圓周．解：在C內(nèi)有兩個(gè)孤立奇點(diǎn)和．因?yàn)椋允堑目扇テ纥c(diǎn)，從而另外由規(guī)則１，

由留數(shù)定理，原式第三十頁，共35頁。例11

計(jì)算定積分，其中．

解：令，則，，代入原式得

.記，令得,.第三十一頁，共35頁。其中在圓內(nèi)，且為的一級極點(diǎn)．由規(guī)則３得，根據(jù)留數(shù)定理，得