05剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)習(xí)題解答

第五章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)選擇題一繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，某時(shí)刻的角速度為①，角加速度為d,則其轉(zhuǎn)動(dòng)加快的依據(jù)是：（）A.a>0B.①>0,a>0C.①<0,a>0D.①>0,a<0解：答案是B。用鉛和鐵兩種金屬制成兩個(gè)均質(zhì)圓盤,質(zhì)量相等且具有相同的厚度,則它們對(duì)過盤心且垂直盤面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（）相等；B.鉛盤的大；C.鐵盤的大；D.無法確定誰大誰小解：答案是C。簡要提示：鉛的密度大，所以其半徑小，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：J=Mr2/2。一輕繩繞在半徑為r的重滑輪上，輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，一是以力F向下拉繩使輪轉(zhuǎn)動(dòng)；二是以重量等于F的重物掛在繩上使之轉(zhuǎn)動(dòng)，若兩種情況使D.無法確定輪邊緣獲得的切向加速度分別為和a2，則有：（）A.a1=a2B.a1>a2C.a1<a2D.無法確定解：答案是B。簡要提示：（1）簡要提示：（1）由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，F(xiàn)r=Ja1和ai=ra1，得：ai=Fr2/Jmg-T=ma（2）受力分析得：<Tr=Ja2',其中m為重物的質(zhì)量，T為繩子的張力。a=ra22得：a2=Fr2/(J+mr2)，所以a1>a2。一半徑為R,質(zhì)量為m的圓柱體，在切向力F作用下由靜止開始繞軸線作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則在2秒內(nèi)F對(duì)柱體所作功為：（）A.4F2/mB.2F2/mC.F2/mD.F2/2m解：答案是A。簡要提示：由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：FR=2M胳，得：A0=2皿=比所以：W=MA9=4F2/m一電唱機(jī)的轉(zhuǎn)盤正以?0的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為人，現(xiàn)將一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2的唱片置于轉(zhuǎn)盤上，則共同轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)為:A.1—①B.丿1+丿2①C.厶wJ+J0J0J01212解：答案是A。簡要提示：角動(dòng)量守恒已知銀河系中一均勻球形天體，現(xiàn)時(shí)半徑為R,繞對(duì)稱軸自轉(zhuǎn)周期為T由于引力凝聚作用，其體積不斷收縮，假設(shè)一萬年后，其半徑縮小為r,則那時(shí)該天體的：（）自轉(zhuǎn)周期增加，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增加；自轉(zhuǎn)周期減小，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能減小；自轉(zhuǎn)周期減小，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增加；自轉(zhuǎn)周期增加，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能減小。解：答案是C。22簡要提示：由角動(dòng)量守恒，-MR2W=-Mr2w，得轉(zhuǎn)動(dòng)角頻率增大，所以5051212轉(zhuǎn)動(dòng)周期減小。轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為E=——MR-wE=——Mr-w-可得Ek>Ek0。k0250k25kk0繩子通過高處一固定的、質(zhì)量不能忽略的滑輪，兩端爬著兩只質(zhì)量相等的猴子，開始時(shí)它們離地高度相同，若它們同時(shí)攀繩往上爬，且甲猴攀繩速度為乙猴的兩倍，則（）兩猴同時(shí)爬到頂點(diǎn)甲猴先到達(dá)頂點(diǎn)乙猴先到達(dá)頂點(diǎn)無法確定誰先誰后到達(dá)頂點(diǎn)解：答案是B。簡要提示：考慮兩個(gè)猴子和滑輪組成的系統(tǒng)，滑輪所受的外力（重力和支撐力）均通過滑輪質(zhì)心，由于甲乙兩猴的重量（質(zhì)量）相等，因此在開始時(shí)系統(tǒng)對(duì)于通過滑輪質(zhì)心并與輪面垂直的轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零，而在兩猴攀繩過程中，系22統(tǒng)受到的合外力矩始終保持為零，因此系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。設(shè)滑輪關(guān)于上述轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為①,乙猴相對(duì)于繩子的向上速率為勺,繩子向甲這一邊運(yùn)動(dòng)的速率為V，則甲相對(duì)繩子向上運(yùn)動(dòng)的速率為2v0,因此甲和乙相對(duì)地面向上運(yùn)動(dòng)的速率分別為（2v0-卩）和（v0+v）。根據(jù)系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒定律,有Jw+m（V0+v）R一m（2v0一v）R=0式中J=1mR2，w=v/R，這樣可解出v=-v。故甲猴和乙猴相對(duì)于地面的250速率分別為2v0-v=8v0/5和v0+v=7v0/5，故甲猴先到達(dá)頂點(diǎn)。填空題1.半徑為30cm的飛輪，從靜止開始以0.5rad-s-2的角加速度勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，則飛輪邊緣上一點(diǎn)在轉(zhuǎn)過2400時(shí)的切向加速度為；法向加速度為。解：答案是0.15m-s-2；0.4冗m-s-2。簡要提示：a=ra=0.15m-s-1。T由0=—at2，w=at，得：a=w2r=0.4兀m-s-22nTOC\o"1-5"\h\z2.一質(zhì)量為0.5kg、半徑為0.4m的薄圓盤，以每分鐘1500轉(zhuǎn)的角速度繞過盤心且垂直盤面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，今在盤緣施以0.98N的切向力直至盤靜止，則所需時(shí)間為s。解：答案是16s。簡要提示：由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，F(xiàn)R=1MR2a，w=at，2wmr50kx0.5x0.4.,得：t===16s2F2x0.98ml1“填空題3圖3.一長為l,質(zhì)量不計(jì)的細(xì)桿，兩端附著小球m1和m2（m1>mml1“填空題3圖解：答案是2（件-⑴go（m1+佗"ll2簡要提示：由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，(mg-mg)=(m+m)—a122124得：a=2(mi-m2g(mi+m2”如圖所示，質(zhì)量為M,半徑為r的繞有細(xì)線的圓柱可繞固定水平對(duì)稱軸無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，若質(zhì)量為m的物體縛在線索的一端并在重力作用下，由靜止開始向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)m下降h的距離時(shí)，m的動(dòng)能與M的動(dòng)能之比為。解：答案是2m。M簡要提示：由v=wr，簡要提示：由v=wr，填空題4圖EkmE2m—km=EMkM如圖所示，一質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿AB，A端靠在光滑的豎直墻壁上，B端置于粗糙水平地面上靜止，桿身與豎直方向成。角，則A端對(duì)墻壁的壓力為。解：答案是端置于粗糙水平地面上靜止，桿身與豎直方向成。角，則A端對(duì)墻壁的壓力為。解：答案是2mgtan0。簡要提示所以：受力分析如圖所示，由剛體平衡條件得：Nilcos0=mgN]=2mgtan0一位轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0的花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員以角速度①0自轉(zhuǎn)，其角動(dòng)量為，；轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為，。當(dāng)其收回手臂使轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減為J0/3時(shí)，則其角動(dòng)量變?yōu)?；轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能變?yōu)?。解：答案是J0?0；J彳/2；3?0；3J彳/2簡要提示：角動(dòng)量守恒一圓形轉(zhuǎn)臺(tái)可繞中心軸無摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng)，臺(tái)上有一輛玩具小汽車相對(duì)臺(tái)面

由靜止啟動(dòng)，當(dāng)其繞軸作順時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)將作轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)汽車突然剎車停止轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，系統(tǒng)的守恒；而和.不守恒。解：答案是逆時(shí)針；角動(dòng)量；動(dòng)量；機(jī)械能計(jì)算題1.一細(xì)桿繞其上端在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，桿與豎直方向的夾角0=-cos-1。42TOC\o"1-5"\h\z求：(1)桿擺動(dòng)的角速度和角加速度;(2)距上端0.5m處的一點(diǎn)的速度和加速度。d0兀2.兀d?兀3兀解：(1)o==-sint;a==-costdt82dt162-2--3--4-(2)v=ol=-sint；a=la=-cost；a=o2l=sin2t162t322n12822.如圖所示，半徑rA=0.1m的A輪通過皮帶B與半徑rC=0.25m的C輪連在一起。已知A輪以0.5-rad-s-的角加速度由靜止勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，皮帶不滑動(dòng)，求：⑴C輪達(dá)到每分鐘100轉(zhuǎn)所需的時(shí)間；計(jì)算題2圖(2)計(jì)算題2圖=2-V=10-/3rad-s-1得：?A=(rC/rA=2-V=10-/3rad-s-1得：?A=(rC/rA)OC=25-/3rad-s-1，t=o/a=16.7sA⑵VA=丁A=VC=2?6m-s-1；aAa=ra=0.16m-s—2；tCAanA=?ArA=68皿-s-2；anC=?2rC=E-s-2一塊勻質(zhì)長方形薄板ABCD,邊長分別為a、b質(zhì)量為M,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求:(1)薄板對(duì)x和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；⑵薄板對(duì)邊長AB的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(3)薄板對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：薄板的質(zhì)量面密度為PS=M/ab(1)dJ=x2pbdx所以：J=Ia/2x2pbdx=Ma2/12xSx-a/2Sxx同理：dJ=y2padyyS所以：J=ib/2y2pbdy=Mb2/12y-同理：dJ=y2padyyS(2)由平行軸定理：yAC計(jì)算題3圖(3)由薄板垂直軸定理：J=J+J=M(a2+b2)/12zxyJAB=JyAC計(jì)算題3圖(3)由薄板垂直軸定理：J=J+J=M(a2+b2)/12zxy在質(zhì)量為M,半徑為R的均質(zhì)圓盤上挖出兩個(gè)半徑為r的圓孔，圓孔中心在半徑R的中點(diǎn)，如圖所示，求剩余部分對(duì)過大圓盤中心且與盤面垂直的軸計(jì)算題4圖計(jì)算題4圖解：由補(bǔ)償法：J=MR2/2-2J'1R由平行軸定理：J'=-mr2+m(-)222其中：=Mr2/—2S得：J=M(—2—r2)/2—Mr4/—2=M(—2—2r2)(—2+r2)/2—2如圖所示，半徑為r,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的定滑輪A可繞水平光滑軸o轉(zhuǎn)動(dòng),輪上纏繞有不能伸長的輕繩，繩一端系有質(zhì)量為m的物體B，B可在傾角為。的光滑斜面上滑動(dòng)，求B的加速度和繩中張力。解：物體B運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程mgsin0-T=ma定滑輪A的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程及a=ra聯(lián)立解得B的加速度Tr及a=ra聯(lián)立解得B的加速度gsin0gsin0a=—mr2+J方向沿斜面向下。繩中張力為mgsin0mr2+Jvv一V=2Lw1）hmax=—(mhmax=—(m_msine)gk21如圖所示，質(zhì)量為m1的物體可在傾角為的光滑斜面上滑動(dòng)。m1的一邊系有勁度系數(shù)為k的彈簧，另一邊系有不可伸長的輕繩，繩繞過轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J半徑為r的小滑輪與質(zhì)量為m2（＞m1）的物體相連。開始時(shí)用外力托住m2使彈簧保持原長，然后撤去外力，求m2由靜止下落h距離時(shí)的速率及m2下降的最大距離。解：在m2由靜止下落h距離的過程中機(jī)械能守恒,因此有m2gh=2(mi+m2)v2+1J2+1kh2+mighsine式中w=-，解得m2由靜止下落h距離時(shí)的速率r22(m2sin0)ghkh2m2下降到最低時(shí)，加］、m2速率為零，代入上式，得到m?下降的最大距計(jì)算題7計(jì)算題7圖質(zhì)量為M長為L的均勻直桿可繞過端點(diǎn)o的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以水平速度v與靜止桿的下端發(fā)生碰撞，如圖所示，若M=6m,求質(zhì)點(diǎn)與桿分別作完全非彈性碰撞和完全彈性碰撞后桿的角速度大小。解：（1）完全非彈性碰撞時(shí)，質(zhì)點(diǎn)射入桿內(nèi)，與桿一起轉(zhuǎn)動(dòng)。在此過程中質(zhì)點(diǎn)和桿系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，設(shè)系統(tǒng)繞端點(diǎn)o轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為①，因此mvL=Jw=(3ML+mL2)?=(2mL+mL2)?=3mL①解出w=—3L（2）完全彈性碰撞時(shí)，碰撞前后系統(tǒng)關(guān)于端點(diǎn)o的角動(dòng)量守恒，設(shè)碰撞后質(zhì)點(diǎn)的水平速度為v',直桿繞端點(diǎn)o轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w，因此有mvL=mv'L+Jw=mv'L+—6mLw3得到22）碰撞前后系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，因此有1111mv2=mv2+J?2=mv2+mL?22222由上式得到V2—V'2=2L2?2將（2）式和（1）式兩邊相除，得到3）V+V-L3）再由（3）式和（1）式解得2v?=——3L如圖所示，一長為L,質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒，一端懸掛在o點(diǎn)上，可繞水平軸在豎直面內(nèi)無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，在同一懸掛點(diǎn)，有長為l的輕繩懸掛一小球，質(zhì)量也為m，當(dāng)小球懸線偏離鉛垂方向某一角度由靜止釋放，小球在懸點(diǎn)正下方與靜止細(xì)棒發(fā)生彈性碰撞。若碰撞后小球剛好靜止，試求繩長l應(yīng)為多少？o計(jì)算題8圖解：在碰撞過程中，小球和棒都在垂直位置，因此系統(tǒng)受到的關(guān)于轉(zhuǎn)軸o的合外力矩為零，因此系統(tǒng)在碰撞前后瞬間的角動(dòng)量守恒。設(shè)碰撞后瞬間細(xì)棒繞轉(zhuǎn)軸o轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為?，o計(jì)算題8圖mvl=mL2?3另外由于沒有摩擦和阻尼，因此系統(tǒng)在碰撞期間的機(jī)械能也守恒。即小球的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為棒的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能mv2=丄mL2?2223或解設(shè)碰撞后小球的速率為V,則由角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，有mvl=mv'l+mL2?3mv2=mv'2+mL2?22223求得3l2—L2求得v=v3l2+L令V二0，則312-L=0解得■7解得l=L3轉(zhuǎn)臺(tái)繞中心豎直軸以角速度①°勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,現(xiàn)有質(zhì)量為m的小鋼球以每秒n個(gè)的速率垂直落入轉(zhuǎn)臺(tái)上半徑為r的圓軌道內(nèi),求轉(zhuǎn)臺(tái)的加速度隨時(shí)間的變化關(guān)系。解：由角動(dòng)量守恒，初始時(shí)角動(dòng)量為：L=Jw，0t時(shí)刻系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角動(dòng)量為：J'=J+ntmr2；L=JW所以角速度為：w=JW0/(J+mntr2)在一半徑為R、質(zhì)量為M、可繞中心豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤的邊上,站著一個(gè)質(zhì)量為m的人，求當(dāng)人沿圓盤的邊緣走完一周回到原有位置時(shí)，圓盤轉(zhuǎn)過的角度為多大？解：設(shè)人相對(duì)于圓盤的速率為e,圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w,由角動(dòng)量守恒定律得：L=1MR2w-m(v—wR)R=0；.w=2me、?2，…(M+2m)R所以圓盤轉(zhuǎn)過的角度為：A0=所以圓盤轉(zhuǎn)過的角度為：A0=wt=2mvt(M+2m)R4兀mM+2mA計(jì)算題11A計(jì)算題11圖11.質(zhì)量為5kg、半徑為25cm的輪子，裝在一根長為40cm的輕桿的中部，