大一下-第八節(jié)

1定義設(shè)函數(shù)z

f

(x,y)在點(diǎn)(x0

,y0

)的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于(x0

,y0

)的點(diǎn)

(x,y)：若滿足不等式f

(x,y)

f

(x0

,y0

)，則稱(chēng)函數(shù)在(x0

,y0

)有極大值；若滿足不等式f(x,y)

f

(x0

,y0

)，則稱(chēng)函數(shù)在(x0

,y0

)有極小值；極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).一、多元函數(shù)的極值(1)(2)(3)例1

函數(shù)z

3

x2

4

y2在(0,0)

處有極小值．在(0,0)處有極大值．x2例２

函數(shù)

z

y2例３在(0,0)

處無(wú)極值．函數(shù)z

xy(1)定理（必要條件）設(shè)函數(shù)z

f

(x,y)在點(diǎn)(x0

,y0

)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x0

,y0

)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：f

x

(x0

,y0

)

0，f

y

(x0

,y0

)

0.2、多元函數(shù)取得極值的條件不妨設(shè)z

f

(

x,

y)在點(diǎn)(

x0

,

y0

)處有極大值,則對(duì)于(x0

,y0

)的某鄰域內(nèi)任意(x,y)(x0

,y0

)都有f

(x,y)

f

(x0

,y0

),證故當(dāng)

y

y0，

x

x0

時(shí)，有

f

(

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

),說(shuō)明一元函數(shù)f

(x,y0

)在x

x0處有極大值,必有

f

x

(

x0

,

y0

)

0;類(lèi)似地可證f

y

(

x0

,

y0

)

0.推廣

如果三元函數(shù)u

f

(

x,

y,

z)在點(diǎn)P(

x0

,

y0

,

z0

)具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在P(x0

,y0

,z0)有極值的必要條件為f

x

(

x0

,

y0

,

z0

)

0，

f

y

(

x0

,

y0

,

z0

)

0，fz

(

x0

,

y0

,

z0

)

0.例如,

點(diǎn)(0,0)是函數(shù)z

xy的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn).問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？(3)定理（充分條件）(2)定義

凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱(chēng)極值點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn).注意：駐點(diǎn)設(shè)函數(shù)z

f

(

x,y)在點(diǎn)(

x0

,

y0

)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又

f

x

(

x0

,

y0

)

0,

f

y

(

x0

,

y0

)

0，令

f

xx

(

x0

,

y0

)

A，

f

xy

(

x0

,

y0

)

B

，

f

yy

(

x0

,

y0

)

C

，則f

(x,y)在點(diǎn)(x0

,y0

)處是否取得極值的條件如下：AC

B2

0時(shí)具有極值，當(dāng)A

0時(shí)有極大值，當(dāng)A

0時(shí)有極小值；AC

B2

0時(shí)沒(méi)有極值；3AC

B2還需另作

0時(shí)可能有極值,也可能沒(méi)有極值，．(4）求函數(shù)z

f

(

x,

y)極值的一般步驟：第一步解方程組f

x

(x,y)

0,求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn).f

y

(

x,

y)

0第二步

對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(

x0

,

y0

)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.第三步

定出AC

B2

的符號(hào)，再判定是否是極值.例3求函數(shù)f

(x,y)

x3

y3

3x2

3

y2

9x

的極值。例

4

求由方程x2

y2

z2

2

x

2

y

4z

10

0確定的函數(shù)z

f

(

x,

y)的極值解

將方程兩邊分別對(duì)x,

y求偏導(dǎo)2

x

2z

zx

2

4zx

0y

y2

y

2z

z

2

4z

0由函數(shù)取極值的必要條件知,駐點(diǎn)為P(1,1),將上方程組再分別對(duì)x,y

求偏導(dǎo)數(shù),,12

z12

zyy

PC

z

|

xy

P,

B

z

|

0,xx

PA

z

|

0

(z

2),函數(shù)在P

有極值.1(2

z)2故

B2

AC

將P(1,1)代入原方程,

有z1

2,

z2

6,14當(dāng)z

2時(shí)，

A

1

0,所以z

f

(1,1)

2為極小值；24當(dāng)z

6時(shí)，

A

1

0,所以z

f

(1,1)

6為極大值.與一元函數(shù)相類(lèi)似，

可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.二、多元函數(shù)的最值例

5

求二元函數(shù)z

f

(

x,

y)

x

2

y(4

x

y)在直線x

y

6，x軸和y

軸所圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值.先求函數(shù)在D

內(nèi)的駐點(diǎn)，x解yox

y

6DD如圖,解方程組

f

(

x,

y)

2

xy(4

x

y)

x2

y

0f

(

x,

y)

x2

(4

x

y)

x2

y

0yx得區(qū)域D內(nèi)唯一駐點(diǎn)(2,1),

且

f

(2,1)

4,再求f

(x,y)在D邊界上的最值，在邊界x

0和y

0上f

(x,y)

0,在邊界x

y

6上，即y

6

x于是f

(x,y)

x2

(6

x)(2),由

f

4

x(

x

6)

2

x2

0,x得x1

0,

x2

4

y

6

x

|x4

2,f

(4,2)

64,比較后可知f

(2,1)

4為最大值,f

(4,2)

64為最小值.xyox

y

6D例6求z

x2x

y

y2

1的最大值和最小值.

0,(

x2

y2

1)

2

x(

x

y)(

x2

y2

1)2zx

0,(

x2

y2

1)

2

y(

x

y)(

x2

y2

1)2zy

得駐點(diǎn)(

1

,

1

)和(

1

,

1

),2

2

2

2解由即邊界上的值為零.1

,z(

1

,

1

)

1

,2

221z(

1

,

1

)

2

2所以最大值為2

2

21，最小值為

.因?yàn)閘im

0x

y

y2

1yx

x2無(wú)條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無(wú)其他條件.例7.

某廠要用鐵板做一積為2m3

的有蓋長(zhǎng)方體，問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),

才能使用料最省?解:

設(shè)

長(zhǎng),寬分別為

x

,

y

m

,則高為

2

m,所用材料的面積為則A

2令xy

2

x

y

2

22

2x

y

y

0

x

0

因此可xy

xyx

y

y

x

xx2A

2(

y

2

)

0yy2A

2(

x

2

)

0得駐點(diǎn)(3

2,3

2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).

即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為

3

2高為

3

2

3

2

時(shí),

所用材料最省.

2

3

2例8.有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板,把它折起來(lái)做成一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,問(wèn)怎樣折法才能使斷面面積最大.解:設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為

x

cm,

傾角為

,

則斷面面積為x24A

1

(24

2

x

2x

cos

24

2x)

x

sin2

24x

sin

2

x2

sin

x2

cos

sin24

2xx2(

D

:

0

x

12

,

0

)令由題意知,最大值在定義域D

內(nèi)達(dá)到,

而在域D

內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),

故此點(diǎn)即為所求.A

24x

sin

2

x2

sin

x2

cos

sin(

D

:

0

x

12

,

0

)2Ax

24

sin

4

x

sin

2

x

sin

cos

0A

24

x

cos

2

x2

cos

x2

(cos2

sin2

)

0sin

0

,

x

012

2

x

x

cos

024

cos

2

x

cos

x(cos2

sin2

)

03解得:

60°

,

x

8

(cm)實(shí)例：

有200元錢(qián)，他決定用來(lái)

兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤(pán)和

磁帶，設(shè)他x

張磁盤(pán)，y盒磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為U

(x,y)

ln

x

ln

y．設(shè)每張磁盤(pán)8元，每盒磁帶10元，問(wèn)他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果．問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：求U

(x,y)

ln

x

lny在條件8

x

10

y

200下的極值點(diǎn)．三、條件極值

日乘數(shù)法求函數(shù)z

f

(

x,

y)在條件

(

x,

y)

0下的極值。(1)條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值．可能極值點(diǎn)，先構(gòu)造函數(shù)F

(

x,

y)

f

(

x,y)

(

x,y)，其中

為某一常數(shù)，可由

fx

(

x,

y)

x

(

x,

y)

0,y

f

(

x,

y)

(

x,

y)

0,y

(

x,

y)

0.，其中x,y就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).解出x,y,(2)日乘數(shù)法要找函數(shù)z

f

(

x,

y)在條件

(

x,

y)

0下的日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況：要找函數(shù)u

f

(

x,

y,

z,

t

)在條件

(

x,

y,

z,

t

)

0，

(

x,

y,

z,

t

)

0下的極值，先構(gòu)造函數(shù)F

(

x,

y,

z,

t

)

f

(

x,

y,

z,

t

)

1

(

x,

y,

z,

t

)

2

(

x,

y,

z,

t

)其中1

,2均為常數(shù)，可由偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出x,y,z,t

，即得極值點(diǎn)的坐標(biāo).例

9

將正數(shù)

12

分成三個(gè)正數(shù)x,

y,

z

之和

使得u

x3

y2

z為最大.例

9

將正數(shù)

12

分成三個(gè)正數(shù)x,

y,

z

之和

使得u

x3

y2

z為最大.解令

F

(

x,

y,

z)

x

3

y2

z

(

x

y

z

12),x

y

z

12F

F

3

2F

x

y

032

x

yz

02

23

x

y z

0zyx則

解得唯一駐點(diǎn)(6,4,2)，u

63

42

2

6912.max故最大值為例

10

在第一卦限內(nèi)作橢球面

x

2

y

2

z

2

1a2

b2

c2的切平面，使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo).解設(shè)P(x0

,y0

,z0

)為橢球面上一點(diǎn),令F

(

x,

y,

z)

x2

y2

z2

1,02

xx

P則F

|

0a

2

b22

yy

P，

F|

a2

b2

c2，F(xiàn)

|0c

22zz

P過(guò)P(x0

,y0

,z0

)的切平面方程為0(

x

x

)

x00a

2b2y0(z

z

)

0,0c

2za2

b2

c20

(

y

y

)

x

x y

y0

0化簡(jiǎn)為z

z0

1,x0

y0

z0該切平面在三個(gè)軸上的截距各為a2

b2

c2x

，

y

，z

,所圍四面體的體積

V

6

x0

y0

z0a

2b2c

216xyz

,a

2

b2

c

2x

2y

2

z

2在條件

0

0

0

1下求V

的最小值,令u

ln

x0

ln

y0

ln

z0

,G(

x0

,

y0

,

z0

)x2y2

z2

ln

x0

ln

y0

ln

z0

(

0

0

0

1),

0,00000

1

0

0,

Gz

0y2

y20a2

b2

c2由

x2a2

b2

c2,GyGx當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為(3

3

3a

b

c，

，

)時(shí),四面體的體積最小V2

3

abc.min

1

0

0

0

a2 0

0

b2

c20b2

y0a2

x

1

2y0

0

1

2x0x2

y2

z202

z0

c

02z可得即10x

3ca3b3y0

z0

，多元函數(shù)的極值（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值日乘數(shù)法四、小結(jié)思考題若f

(x0

,y)及f

(x,y0

)在(x0

,y0

)點(diǎn)均取得極值，則f

(x,y)在點(diǎn)(x0

,y0

)是否也取得極值？思考題解答不是.例如f

(x,