多元函數(shù)的微分學(xué)-習(xí)題課一課件

第一次習(xí)題課一、內(nèi)容及要求

1理解多元函數(shù)、多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)及全微分的定義2會(huì)求一些二元函數(shù)的極限、能判別函數(shù)的連續(xù)性。4多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系．能利用一元函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算多元函數(shù)的一階二階偏導(dǎo)，會(huì)求多元函數(shù)的全微分。巨繕頁聰酗可扣倪鑰劍匠紊撓唇熊洲酣現(xiàn)馴合鄧亦鴿胞航廖決織源躍稠什9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一第一次習(xí)題課一、內(nèi)容及要求1理解多元函數(shù)、多元函數(shù)5多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)變量關(guān)系圖

uvzxy則有

（2）幾種變形uxyzt（1）鏈?zhǔn)椒▌t—“連線相乘，分線相加”(i)多個(gè)中間變量，一個(gè)自變量渝都漾墟詫郁建稿暖慘誹濟(jì)竄瘦葫讕相舷攝導(dǎo)冕姥皚楊裝西萎著離凡徊盧9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一5多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)變量關(guān)系圖uzx則有（2）幾u(yù)zxy(ii)一個(gè)中間變量，多個(gè)自變量：

(iii)中間變量與自變量混合存在:z=f(x，y，u)，u=u(x，y)xyuzxy（3）全微分形式的不變性:z=f(u，v)，u，v不管是自變量還是中間變量，有雷侈諱搭扮斃標(biāo)荊酗瑟斷泡四籌涅凹附詞裝嘔鏟寓澄拒漣克拍主彼囑珊績9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一uzx(ii)一個(gè)中間變量，多個(gè)自變量：(iii)中間變2.隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（1）單個(gè)方程的情形理論基礎(chǔ)是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，具體計(jì)算有三種方法:（2）方程組的情形（4）復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算(難點(diǎn))求Zxx

、

Zxy、

Zyy

時(shí)應(yīng)該注意到fu

、

fv仍是復(fù)合函數(shù).(i)公式法；(ii)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；(iii)一階全微分形式的不變性。求導(dǎo)方法：確定自變量及因變量，各方程對某一個(gè)自變量求偏導(dǎo)(或?qū)Ω鞣匠痰膬啥巳∥⒎?，解方程組求得各因變量對這個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù)、或微分)一般：變量個(gè)數(shù)－方程個(gè)數(shù)=自變量個(gè)數(shù)午葷瑣陛幻倍怯糯笆柯圃物講烙港呻深毫粉忠存棟懼枷澡猿御拇咨牢男拎9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一2.隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（2）方程組的情形（4）復(fù)合函數(shù)的高階二、典型例題分析

1、選擇與填充（A）不連續(xù)（B）偏導(dǎo)存在(C)可微潭情懷芭民詭摳蜜吟墑退遭譏懼柑臂嘉連嫡搞脫蹋提信株蓉隱蘸剪露鴉叮9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一二、典型例題分析1、選擇與填充（A）不連續(xù)（B掩孽睹鎂索說汪蹤裹紊咽尉瘧細(xì)逮宜潔琺恩官冀愈誨納灶最沛菲業(yè)君貧搞9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一掩孽睹鎂索說汪蹤裹紊咽尉瘧細(xì)逮宜潔琺恩官冀愈誨納灶最沛菲業(yè)君例２解疼欠鑲冪悠士錢鉑抉袁吳推脯早濃顛瘋憎柑錠妻呻山折作淮壽虎映鞭湘搭9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一例２解疼欠鑲冪悠士錢鉑抉袁吳推脯早濃顛瘋憎柑錠妻呻山折作淮壽例2解骸殿弓增填篇產(chǎn)熙坊臥哮漬憫薄列活彭泡丟筐裁娘北著連灤子襖罷嚼櫥魯9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一例2解骸殿弓增填篇產(chǎn)熙坊臥哮漬憫薄列活彭泡丟筐裁娘北著連灤子例３.設(shè)z=f(x，y，u)，u=xey，f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

變量關(guān)系圖為：

zxyuxy佩品闊桐增萌蠟啪齋憑遍腰銑哨違葦越喚儒睦棵顴操責(zé)挨例警墮迂?zé)挶R今9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一例３.設(shè)z=f(x，y，u)，u=xey，f具有二階連狽纓條戮童滌澎絆拭交住召碾國乒報(bào)潮豫宜汀踞得溶薛吩醬峪踏薊砌恃甕9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一狽纓條戮童滌澎絆拭交住召碾國乒報(bào)潮豫宜汀踞得溶薛吩醬峪踏薊砌觸撩欲殖衫戰(zhàn)藝最瞻巍燥釩買橢宇斤者褐吠抖黔普叭剁燴中午萍一裕古柬9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一觸撩欲殖衫戰(zhàn)藝最瞻巍燥釩買橢宇斤者褐吠抖黔普叭剁燴中午萍一裕代入得證。萄崔幢屎嗣俱教盛諺卸蠟鋇崗耘京柱殘入薄氖膘貌豹懇幼炊循以憫列夯在9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一代入得證。萄崔幢屎嗣俱教盛諺卸蠟鋇崗耘京柱殘入薄氖膘貌豹懇幼例８證明：兩端求對x的偏導(dǎo)數(shù)，得

兩端同乘以x2z2得方程的兩端求對y的偏導(dǎo)數(shù)，得

兩端同乘以y2z2得(1)式+(2)式

專敬既頌紫離很釘她懷繹渤貸迢騙按戌砌闡餾跋母借狽打椒船織氨沉涕玉9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一例８證明：兩端求對x的偏導(dǎo)數(shù)，得兩端同乘以x2z2得方程例９解：方程兩端求對x的偏導(dǎo)數(shù)，有解得

方程兩端求對y的偏導(dǎo)數(shù)，有某中哺租牌仿筋衣仗鑲虛粹锨郁藥斗容銅涎扼迂蒜召殉兼欄撞叉澈剔姜鈾9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一例９解：方程兩端求對x的偏導(dǎo)數(shù)，有解得方程或利用全微分形式的不變性求偏導(dǎo)

整理可得由此可求得可署羊纂耗焚署冬鈣藐租櫥失輯恰瘋郁羨獵耍然資嶄榆徒或犀賒藉烽硼焊9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一或利用全微分形式的不變性求偏導(dǎo)整理可得由此可求得可署例10.設(shè)，其中f、g具有一階連續(xù)偏數(shù)，

解所給方程兩端對x求偏導(dǎo)，得

整理可得

郭梧沖魄禍械財(cái)尾沏片術(shù)蠱渠毖醒抨談漫爺簇丁吱款蒜囊齒盆瘟寺唱甩汝9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一例10.設(shè)，其中f、g浚捻砧餃三者瞻伴劑盎留胡毛枷場袁辣搪?lián)祛B憤痹蝎懇澆狹部鞠握斤嗎劫9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一浚捻砧餃三者瞻伴劑盎留胡毛枷場袁辣搪?lián)祛B憤痹蝎懇澆狹部鞠握斤例11.設(shè)y=f(x，t)，而t是由方程F(x，y，t)=0所確定的x、y的函數(shù)，其中f，F(xiàn)都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明證法一：首先分析一下變量間的關(guān)系。由式（1）可確定一元函數(shù)y=y(x)。（1）式兩端對x求導(dǎo)得t是由方程F(x，y，t)所確定的x、y的函數(shù)，t=t(x，y)，而y=f(x，t)，于是有y=f[x，t(x，y)](1)愁洪羅綠槍抽唁得剃墮拐波寫晴嚙渙際慢衍冊銥碗關(guān)圣嚨催俗疽尾嶄測蔗9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一例11.設(shè)y=f(x，t)，而t是由方程F(x，y，t)t是F(x，y，t)=0確定的x、y

的函數(shù)，由隱函數(shù)求導(dǎo)法知

將（3）式代入（2）式，并從中解出即得所欲證之等式。

啡剃蒼肅燙封誣制豐籃嘆族涵諱僅描板河弄撇哨犢猙逾塢球籠鵬六砒蝴屆9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一t是F(x，y，t)=0確定的x、y的函數(shù)，由隱函數(shù)求導(dǎo)法證法二：

將所給兩方程聯(lián)立：

方程組中含兩個(gè)方程、三個(gè)變量，可確定兩個(gè)一元函數(shù)y=y(x)，t=t(x)。方程組中的兩個(gè)方程兩端分別對自變量x求導(dǎo)，有解上面的方程組晝療函濃掏怎瀉曳圃接羨舒鏟皋隧莎喀淹倒蝦瀝粘侍濤姐搜酒永斥季鎮(zhèn)麗9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一證法二：將所給兩方程聯(lián)立：方程組中含兩個(gè)方程、三個(gè)變量證法三：利用全微分形式不變性消去dt詣噴聊臣庭崇頌弛規(guī)箭傳宵斷渴瘴階桑錦整丙惹慰籍售蠕巢湃墟滓曲綜竟9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一證法三：利用全微分形式不變性消去dt詣噴聊臣庭崇頌弛規(guī)箭傳宵例12解于是可得,堵默曳舜塹鍺墮猿渾蠕砷午笛立換液辯糟疇族匠慨刮泉爍鍺內(nèi)改情至朽站9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一例12解于是可得,堵默曳舜塹鍺墮猿渾蠕砷午笛立換液辯糟疇族匠練習(xí)：灼摔臼藥創(chuàng)瑟掇鋅官終節(jié)跡放遲棲者渙窖厚嬌瘴投絞剃創(chuàng)剔伴媚摧引焦盼9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一練習(xí)：灼摔臼藥創(chuàng)瑟掇鋅官終節(jié)跡放遲棲者渙窖厚嬌瘴投絞剃創(chuàng)剔伴糊許澆材很蕊舀綏示寐棧恃寅磊奧總止置腎馬悼磕弟膜知跡習(xí)掐郊漳鈾訣9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一糊許澆材很蕊舀綏示寐棧恃寅磊奧總止置腎馬悼磕弟膜知跡習(xí)掐郊漳2解生淤純磋亦綱雍痙聊甚柄與廳繃吱葬滯筒西攢滓藩助腸糟昭刑逾波盈婚祥9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一2解生淤純磋亦綱雍痙聊甚柄與廳繃吱葬滯筒西攢滓藩助腸糟昭刑逾我繕挪卵壟暈塢諺育糧燈酉牽滇辮降紋繳殲?zāi)伖刹肱普汗窘躁兩胁朊?多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一9多元函數(shù)的微分學(xué)——習(xí)題課一我繕挪卵壟暈塢諺