2021年江蘇省鹽城市東臺梁垛鎮(zhèn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021年江蘇省鹽城市東臺梁垛鎮(zhèn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.數(shù)列{an}中，若，，則（

）A.29 B.2563 C.2569 D.2557參考答案：D【分析】利用遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列，進(jìn)而求得的表達(dá)式，即可求出，也就可以得到的值?！驹斀狻繑?shù)列中，若，，可得，所以是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為5，所以，．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法——構(gòu)造法。利用遞推關(guān)系，選擇合適的求解方法是解決問題的關(guān)鍵，常見的數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法有：公式法，累加法，累乘法，構(gòu)造法，取倒數(shù)法等。2.已知向量，滿足，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】將變形解出夾角的余弦值，從而求出與的夾角。【詳解】由得，即

又因?yàn)?/p>

，所以，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的夾角，屬于簡單題。3.函數(shù)

(

)A．是偶函數(shù)，在區(qū)間

上單調(diào)遞增B．是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減C．是奇函數(shù)，在區(qū)間

上單調(diào)遞增D

是奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減參考答案：B4.下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是（

）A．=，=

B．=，=C．

D．參考答案：D略5.已知等比數(shù)列{an}中，，，則的值是(

)．A.16 B.14 C.6 D.5參考答案：D【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可求得，進(jìn)而求得；根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可知，代入求得結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可知：由得：

本題正確選項(xiàng)：D6.已知集合A={x|ax2﹣3x+2=0，a∈R}，若集合A中至多有一個元素，則實(shí)數(shù)a的值是(

)A．a(chǎn)=0 B．a(chǎn)≥ C．a(chǎn)=0或a≥ D．不確定參考答案：C【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷．【專題】集合思想；分類法；集合．【分析】因集合A是方程ax2﹣3x+2=0的解集，欲使集合A={x|ax2﹣3x+2=0}至多有一個元素，只須此方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根或沒有實(shí)數(shù)根，或只有一個實(shí)根，下面對a進(jìn)行討論求解即可．【解答】解：∵集合A={x|ax2﹣3x+2=0}至多有一個元素，分類討論：①當(dāng)a=0時，A={x|﹣3x+2=0}只有一個元素，符合題意；②當(dāng)a≠0時，要A={x|ax2﹣3x+2=0}至多有一個元素，則必須方程：ax2﹣3x+2=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根或沒有實(shí)數(shù)根，∴△≤0，得：9﹣8a≤0，∴a≥，故選：C．【點(diǎn)評】本小題主要元素與集合關(guān)系的判斷、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．7.一個等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為45，前2n項(xiàng)和為60，則前3n項(xiàng)和為（）A．85 B．108 C．73 D．65參考答案：D【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比數(shù)列，由此能求出結(jié)果．【解答】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)得：Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比數(shù)列，∵等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為45，前2n項(xiàng)和為60，∴45，60﹣45，S3n﹣60成等比數(shù)列，∴（60﹣15）2=45（S3n﹣60），解得S3n=65．故選：D．8.函數(shù)的大致圖像是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除A,C；由,可排除B，故選D.

9.已知向量，若與垂直，則的值等于（

）[來A．B．C．6D．2

參考答案：B10.已知函數(shù)，，那么集合中元素的個數(shù)為（

）

A.1

B.0

C.1或0

D.1或2

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，x∈[1，]，并且的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．參考答案：12.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則

。參考答案：513.已知函數(shù)在R上為增函數(shù)，且滿足，則的取值范圍是___________．參考答案：14.．在正三棱錐S—ABC中，M、N分別是棱BC、SC的中點(diǎn)，且MN⊥AN，若側(cè)棱SA＝2，則正三棱錐S—ABC外接球的表面積是________．參考答案：36π15.計(jì)算2sin390°﹣tan（﹣45°）+5cos360°=．參考答案：7【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式與特殊角的三角函數(shù)求值即可得出．【解答】解：原式=2sin30°﹣（﹣1）+5×1=1+1+5=7．故答案為：7．16.若三條直線：，：和：不能構(gòu)成三角形，則的值為

參考答案：或或17.=

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)，（1）當(dāng)時，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（2）當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：（1）由恒成立，令

·······2分當(dāng)故在遞減，在遞增，

······4分故當(dāng)時，最小值為

······6分（2）由已知可知函數(shù)恰有兩個不同零點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)有兩個不同的交點(diǎn)

·············8分

···········10分

············12分略19.如圖，正方形ABCD所在平面與四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，F(xiàn)A=FE，∠AEF=45°．（1）求證：EF⊥平面BCE；（2）設(shè)線段CD、AE的中點(diǎn)分別為P、M，求PM與BC所成角的正弦值；（3）求二面角F﹣BD﹣A的平面角的正切值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）證明BC⊥EF．EF⊥BE．然后證明EF⊥平面BCE．（2）取BE的中點(diǎn)N，連結(jié)CN，MN，證明PM∥CN．說明CN與BC所成角∠NCB即為所求，在直角三角形NBC中，求解．（3）說明∠FHG為二面角F﹣BD﹣A的平面角．設(shè)AB=1，則AE=1，在Rt△BGH中與在Rt△FGH中，求解二面角F﹣BD﹣A的平面角的正切值．【解答】（本小題滿分12分）解：（1）因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF．所以BC⊥EF．因?yàn)椤鰽BE為等腰直角三角形，AB=AE，所以∠AEB=45°又因?yàn)椤螦EF=45°，所以∠FEB=45°+45°=90°，即EF⊥BE．因?yàn)锽C?平面BCE，BE?平面BCE，BC∩BE=B，所以EF⊥平面BCE．（2）取BE的中點(diǎn)N，連結(jié)CN，MN，則，所以PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN．所以CN與BC所成角∠NCB即為所求，正方形ABCD所在平面與四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，設(shè)AE=a，BE=．BC=a，NC==，在直角三角形NBC中，．（3）由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD．作FG⊥AB，交BA的延長線于G，則FG∥EA．從而，F(xiàn)G⊥平面ABCD．作GH⊥BD于H，連結(jié)FH，則由三垂線定理知，BD⊥FH．因此，∠FHG為二面角F﹣BD﹣A的平面角．因?yàn)镕A=FE，∠AEF=45°，所以∠AFE=90°，∠FAG=45°．設(shè)AB=1，則AE=1，．．在Rt△BGH中，∠GBH=45°，，．在Rt△FGH中，．故二面角F﹣BD﹣A的平面角的正切值為．20.（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分別是AB，BB1的中點(diǎn)．（1）證明：BC1∥平面A1CD；（2）設(shè)AA1=AC=CB=1，AB=，求三棱錐D一A1CE的體積．參考答案：考點(diǎn)： 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．專題： 綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析： （1）連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)，可得BC1∥DF，利用線面平行的判定定理，即可證明BC1∥平面A1CD；（2）證明CD⊥平面ABB1A1，DE⊥A1D，轉(zhuǎn)換底面，即可求三棱錐D一A1CE的體積．解答： （1）證明：連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)．又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC1∥DF（2）∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱∴AA1⊥CD∵AC=CB，D為AB中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∵AA1∩AB=A，∴CD⊥平面ABB1A1，∴AA1=AC=CB=1，AB=，∴∠ACB=90°，CD=，A1D=，DE=，A1E=，∴A1D2+DE2=A1E2，∴DE⊥A1D，∴=．點(diǎn)評： 本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，求三棱錐的體積，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．21.已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1．若對任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0都有[f（m）+f（n）]（m+n）＞0．（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并說明理由；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若不等式f（x）≤3﹣|t﹣a|a對所有x∈[﹣1，1]和a∈[1，3]都恒成立，求實(shí)數(shù)t的范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）由奇函數(shù)的定義和單調(diào)性的定義，將n換為﹣n，即可得到；（2）由題意可得f（a+）＜﹣f（﹣3a）=f（3a），由f（x）在[﹣1，1]遞增，可得不等式組，解得即可；（3）由題意可得，3﹣|t﹣a|a≥f（x）max=1，即|t﹣a|a≤2對a∈[1，3]恒成立．再由絕對值的含義，可得對a∈[1，3]恒成立，分別求得兩邊函數(shù)的最值，即可得到t的范圍．【解答】解：（1）用﹣n代替n得：[f（m）+f（﹣n）]（m﹣n）＞0，又f（x）為奇函數(shù)，則[f（m）﹣f（n）]（m﹣n）＞0，根據(jù)符號法則及單調(diào)性的定義可知：f（x）為增函數(shù)；（2）若，即為f（a+）＜﹣f（﹣3a）=f（3a），由f（x）在[﹣1，1]遞增，可得，解得；（3）由題意可得，3﹣|t﹣a|a≥f（x）max=1，即|t﹣a|a≤2對a∈[1，3]恒成立．即對a∈[1，3]恒成立，由于a﹣在[1，3]遞增，可得a=3時，取得最大值；a+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=取得最小值．即有．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用：求最值和解不等式，考查不等式恒成立問題的解法注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．22.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)．（1）求b的值；（2）用定義法證明函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）利用f（0）=0即可解出；（2）利用減函數(shù)的定義即可證明；（3）利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性即可解出．【解答】解：（1）∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)．∴f（0）==0，解得