點(diǎn)估計(jì)估計(jì)量的評(píng)選

參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)1估計(jì)理論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要內(nèi)容之一。一個(gè)隨機(jī)變量，當(dāng)它的分布類(lèi)型為已知時(shí)，如何通過(guò)抽樣研究，對(duì)它的分布函數(shù)或密度函數(shù)的參數(shù)作一個(gè)合理的估計(jì)？當(dāng)我們感興趣于它的某些數(shù)字特征時(shí)，又如何利用子樣提供的信息去作估計(jì)？估計(jì)量的“最佳”評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)是什么？參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)用子樣的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來(lái)作為總體某未知參數(shù)或某數(shù)字特征的估計(jì)量的方法稱(chēng)為點(diǎn)估計(jì)。將樣本觀測(cè)值代入估計(jì)量得到一估計(jì)值。2參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)之方法1——樣本數(shù)字特征法這種方法不只局限于數(shù)字特征的估計(jì)，事實(shí)上某些重要分布的分布函數(shù)或分布密度的參數(shù)與數(shù)字特征有關(guān)。1.以樣本均值作為總體均值的估計(jì)量即：2.以樣本方差作為總體方差的估計(jì)量即：3參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)之方法1——樣本數(shù)字特征法得：例1已知隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，X1，X2，...X20

是它的一個(gè)樣本，試估計(jì)X的分布密度中的參數(shù)。解：已知又4參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)之方法2——矩法估計(jì)當(dāng)要估計(jì)的參數(shù)比較多時(shí)，樣本數(shù)字特征法是不夠用的，要用——設(shè)是一隨機(jī)變量，是它的一個(gè)樣本。稱(chēng)為樣本的階原點(diǎn)矩。若存在，則稱(chēng)之為X的階原點(diǎn)矩。記作若存在，則稱(chēng)之為X的階中心矩。記作稱(chēng)為樣本的階中心矩。矩法估計(jì)：5參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)之方法2——矩法估計(jì)設(shè)是一隨機(jī)變量，是它的一個(gè)樣本。顯然，隨機(jī)變量的1階原點(diǎn)矩正是它的數(shù)學(xué)期望：隨機(jī)變量的2階中心矩正是它的方差：這是總體方差除樣本方差之外的另一估計(jì)量。矩法估計(jì)：我們有：我們有：6例2設(shè)是一隨機(jī)變量，是它的一個(gè)樣本，且X的分布密度如下：試估計(jì)參數(shù)的值。解：由方程（1）至（5），可解得未知參數(shù)之估計(jì)量：7點(diǎn)估計(jì)之方法3——極大似然法例3設(shè)盒子里裝有許多白球和紅球，不知道哪種球多，只知道兩種球的比例是3:1，我們希望通過(guò)實(shí)驗(yàn)去判別白球占的比例是1/4還是3/4。解：采用有放回抽樣方式從盒子里抽取3個(gè)球，記白球數(shù)為X。則其中是1/4或3/4，是待定參數(shù)。就是1/4或3/4為參數(shù)值計(jì)算二項(xiàng)概率得下表：顯然，當(dāng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是X=0或1時(shí)，我們認(rèn)為反之，當(dāng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是X=2或3時(shí)，我們認(rèn)為8點(diǎn)估計(jì)之方法3——極大似然法參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)就是1/4或3/4為參數(shù)值計(jì)算二項(xiàng)概率得下表：顯然，當(dāng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是X=0或1時(shí)，我們認(rèn)為反之，當(dāng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是X=2或3時(shí)，我們認(rèn)為因?yàn)樽訕邮莵?lái)自總體的，它能很好地反映總體的概率分布特征，所以在作參數(shù)估計(jì)時(shí)，應(yīng)從子樣的觀察值出發(fā)，選取使得子樣落在觀察值的鄰近的概率達(dá)到最大的參數(shù)值作為總體參數(shù)值的估計(jì)值。這就是極大似然法的原理。9點(diǎn)估計(jì)之方法3——極大似然法參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)定義6.2——設(shè)連續(xù)型總體的概率密度函數(shù)為是未知參數(shù)。樣本的聯(lián)合密度函數(shù)（似然函數(shù)）記作對(duì)固定的樣本值，若有使則稱(chēng)參數(shù)是的極大似然估計(jì)值。對(duì)多個(gè)參數(shù)的極大似然估計(jì)的定義類(lèi)似。對(duì)離散型情形極大似然估計(jì)的定義類(lèi)似，以代替則可。10點(diǎn)估計(jì)之方法3——極大似然法參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)對(duì)多個(gè)參數(shù)情形，極大似然方程組由各偏導(dǎo)為零給出。解極大似然方程可得參數(shù)的估計(jì)值。以上式子求導(dǎo)更為簡(jiǎn)便，得另一極大似然方程：又11例4設(shè)是一隨機(jī)變量，是它的一個(gè)樣本。X的分布密度如下，求參數(shù)的極大似然估計(jì)量。其它解：似然函數(shù)（當(dāng)時(shí)）：由似然方程：參數(shù)的極大似然估計(jì)量為12估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)用不同的估計(jì)方法或從不同的角度出發(fā)作估計(jì)，很有可能得到不同的估計(jì)量，怎么判別出哪一個(gè)“更佳”呢？無(wú)偏性定義6.3——設(shè)是參數(shù)的一個(gè)估計(jì)量，若成立，則稱(chēng)是的無(wú)偏估計(jì)量。如：設(shè)是一隨機(jī)變量，是它的一個(gè)樣本。因?yàn)樗詷颖揪凳强傮w均值的無(wú)偏估計(jì)量。13因?yàn)闉榉奖闫鹨?jiàn)，記總體均值為方差為14所以樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量。所以與有相同的和15估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)因?yàn)樗猿龢颖揪低?，總體均值有許多無(wú)偏估計(jì)量。那么，當(dāng)一個(gè)參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量不只一個(gè)時(shí)，怎樣判定哪一個(gè)更好呢？設(shè)是一隨機(jī)變量，是它的一個(gè)樣本,若估計(jì)量的方差較大，即各估計(jì)值的差異較大，于是，用一個(gè)具體的估計(jì)值去代表總體參數(shù)時(shí)易產(chǎn)生較大的誤差。所以我們從估計(jì)量的方差的角度給出另一評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)。16估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)二.優(yōu)效性（有效性）定義6.4——設(shè)都是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，若，即則稱(chēng)較優(yōu)效（有效）。當(dāng)樣本容量固定時(shí)，使達(dá)到最小值的稱(chēng)為的優(yōu)效估計(jì)量。17估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)二.優(yōu)效性（有效性）設(shè)是一隨機(jī)變量，是它的一個(gè)樣本,因?yàn)樗裕鳛榭傮w期望的估計(jì)量，較更佳。進(jìn)一步可證，是總體期望的優(yōu)效估計(jì)量。18估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性和優(yōu)效性（有效性）是估計(jì)量的兩個(gè)主要評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)，要做到兩者兼顧，方能找到“最佳”估計(jì)量，比如，當(dāng)無(wú)偏估計(jì)量的方差都不足夠小時(shí)，用它的某觀察值作為總體參數(shù)的估計(jì)值仍會(huì)產(chǎn)生較大誤差，這時(shí)我們應(yīng)考慮方差較小的略有偏差的估計(jì)量。這就是所謂的組合性評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)。此處不詳述。19利用MINITAB求概率及作圖輸入數(shù)據(jù)2021計(jì)算分布密度值2223242526計(jì)算分布函數(shù)值2728293031利用MINITAB求其它函數(shù)值及作圖輸入數(shù)據(jù)