第一講 數(shù)的開方實數(shù)培優(yōu)競賽輔導(dǎo)【含答案】

第一講數(shù)的開方，實數(shù)培優(yōu)競賽輔導(dǎo)知識要點：平方根①定義：若x=a,則_____叫做_____的一個平方根。記作：x=______（a≥0）.其中_______叫a的算術(shù)平方根。②平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)的平方根有______個，它們互為_______；0的平方根是；負數(shù)平方根；一個非負數(shù)的算術(shù)平方根是一個_____數(shù)。立方根①定義：若x=a，則______叫做_______的立方根，記x=______，②立方根的性質(zhì)：互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根之和為_______。即：,3、實數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)．______與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)．任何有理數(shù)都可以表示為分數(shù)（p、q是兩個互質(zhì)的整數(shù)，且q≠0）的形式．注意：1、平方與開平方、立方與開立方互為逆運算。2、相關(guān)公式：（）；=；；；。3、三個非負數(shù)：，，（a≥0）。平方根等于本身的數(shù)是立方根等于本身的數(shù)是；算術(shù)平方根等于本身的數(shù)是；二、基礎(chǔ)夯實一．選擇題1、下列給出的“25的平方根是±5”的表達式中，正確的是（）A．=±5B．=﹣5C．±=±5D．=52、下列說法正確的是（）A．一個數(shù)的立方根有兩個 B．一個非零數(shù)與它的立方根同號C．若一個數(shù)有立方根，則它就有平方根 D．一個數(shù)的立方根是非負數(shù)3、下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)軸上任一點表示唯一的有理數(shù)B．?dāng)?shù)軸上任一點表示唯一的無理數(shù)C．兩個無理數(shù)之和一定是無理數(shù)D．?dāng)?shù)軸上任意兩點之間都有無數(shù)個點4、下列語句：①﹣1是1的平方根．②帶根號的數(shù)都是無理數(shù)．③無理數(shù)都是無限小數(shù)．④無限小數(shù)是無理數(shù)⑤的立方根是2．⑥（﹣2）2的算術(shù)平方根是2．⑦﹣125的立方根是±5．⑧有理數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)．其中正確的有（）A．2個B．3個C．4個D．5個5、已知a、b是實數(shù)，下列命題結(jié)論正確的是（）A．若a＞b，則a2＞b2 B．若a＞｜b｜，則a2＞b2C．若｜a｜＞b，則a2＞b2 D．若a3＞b3，則a2＞b26、一個數(shù)的平方是4，這個數(shù)的立方是（）A．8B．﹣8C．8或﹣8D．4或﹣4的算術(shù)平方根與的相反數(shù)的倒數(shù)的積是（）A.﹣1 B.±1C.-C.-1 D.8、一個立方體的體積是9，則它的棱長是（）A．3B．3C．D．9、如圖,數(shù)軸上A,B兩點表示的數(shù)分別為QUOTE和5.1,則A,B兩點之間表示整數(shù)的點共有()A.6個 B.5個 C.4個 D.3個10、如圖，數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)分別為－1和，點B關(guān)于點A的對稱點C，則點C所表示的數(shù)為()A．－3B．－2C．－3＋D．2＋11、在實數(shù)、0、、3.1415、、、2.123122312223…,，，中，無理數(shù)的個數(shù)為（）A.4個 B.5個 C.6個 D.7個12、一個正數(shù)x的兩個平方根分別是a＋1與a?5，則x值為()A．2B．－3C．9D．-913、估算的值是在（）A．2與3之間B．3與4之間C．4與5之間D．5與6之間14、數(shù)軸上有兩點A、B分別表示實數(shù)a、b，則線段AB的長度是（）A．a(chǎn)﹣bB．a(chǎn)+bC．|a﹣b|D．|a+b|15、若x2=（﹣3）2，y3﹣27=0，則x+y的值是（）A．0B．6C．0或6D．0或﹣616、使為最大的負整數(shù)，則a的值為（）A.±5B．5C．﹣5D．不存在17、如果－b是a的立方根，則下列結(jié)論正確的是（）A．－b3＝a B．－b＝a3 C．b＝a3 D．b3＝a18、兩個無理數(shù)的和，差，積，商一定是（）A．無理數(shù)B．有理數(shù)C．0D．實數(shù)19、若（）A、0B、1C、-1D、220、實數(shù)的平方根為（）A．a(chǎn)B．±aC．± D．±二．填空題1、的平方根是_______，的算術(shù)平方根是，的立方根是_______，的平方根為_____。2、若與互為相反數(shù)，則=______。3、若和互為相反數(shù)。則x+y=_______。4、設(shè)、為實數(shù)，且，則的值是______5、邊長為的兩個正方形拼成一個正方形的邊長為6、比較大?。?，7、若則x＝______．8、若（x﹣15）2=169，（y﹣1）3=﹣0.125，則x-y=_________．9、的平方根與﹣的立方根的積為_________．三．解答題1、計算：﹣++．2、已知x是的整數(shù)部分，y是的小數(shù)部分，求的平方根．培優(yōu)競賽精例【例1】、實數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡【變式題組】已知，化簡：【例2】（全國競賽）已知非零實數(shù)a、b滿足，則a＋b等于()A．－1B．0C．1D．2【變式題組】已知，求的值。2、x，y，m適合不等式，試求的平方根?！纠?】若a為?2的整數(shù)部分，b?1是9的平方根，且，求a＋b的值．【變式題組】1、若3＋的小數(shù)部分是a，3?的小數(shù)部分是b，則a＋b的值為____．2、-5的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則（＋a）--b＝____．3、已知M是滿足不等式的所有整數(shù)a的和，N是滿足不等式的最大整數(shù)．求M＋N的平方根．【例4】若a、b都為有理效，且滿足．求a＋b的平方根．．【變式題組】設(shè)a、b為有理數(shù)，且a、b滿足等式a2＋3b＋b＝21?5，則a＋b＝____．（西安市競賽題）已知m、n是有理數(shù)，且（＋2）m＋(3－2)n＋7＝0求m、n．?dāng)?shù)的開方培優(yōu)競賽檢測1、若，則的值為（）A.B.C.D.2、設(shè)，b＝－2，，則a、b、c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<b<cB．a(chǎn)<c<bC．b<a<cD．c<a<b3、若為實數(shù)，在下列式子中，能使成立的是（）A.B.C.D.4、下列判斷中正確的是（）.（A）若（B）若（C）若（D）若5、若-3，則的取值范圍是().（A）＞3（B）≥3（C）＜3（D）≤36、當(dāng)_______時，+3有最大值，最大值是________7、如圖，直徑為2的圓與數(shù)軸有唯一的公共點P．點P表示的實數(shù)為－1，如果該圓沿數(shù)軸正方向滾動一周后與數(shù)軸的公共點為P′，那么點P′所表示的數(shù)是____．8、若b＝＋＋3l，且a＋11的算術(shù)平方根為m，4b＋1的立方根為n，求m，n．9、已知a，b是有理數(shù)，并且滿足等式5-a=2b+-a，求a，b的值第一講數(shù)的開方，實數(shù)輔導(dǎo)答案知識要點：平方根①定義：若x=a,則___x__叫做____a_的一個平方根。記作：x=______（a≥0）.其中_______叫a的算術(shù)平方根。②平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)的平方根有_兩_____個，它們互為___相反數(shù)____；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根；一個非負數(shù)的算術(shù)平方根是一個非負數(shù)。立方根①定義：若x=a，則_x_____叫做___a____的立方根，記x=______，②立方根的性質(zhì)：互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根之和為__0_____。即：,實數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)．_實數(shù)_____與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)．任何有理數(shù)都可以表示為分數(shù)（p、q是兩個互質(zhì)的整數(shù)，且q≠0）的形式．注意：1、平方與開平方、立方與開立方互為逆運算。相關(guān)公式：a；（）；=；a；-a；；a；。3、三個非負數(shù)：，，（a≥0）。平方根等于本身的數(shù)是0立方根等于本身的數(shù)是0，算術(shù)平方根等于本身的數(shù)是0，1二、基礎(chǔ)夯實一．選擇題1、下列給出的“25的平方根是±5”的表達式中，正確的是（C）A．=±5B．=﹣5C．±=±5D．=52、下列說法正確的是（B）A．一個數(shù)的立方根有兩個 B．一個非零數(shù)與它的立方根同號C．若一個數(shù)有立方根，則它就有平方根 D．一個數(shù)的立方根是非負數(shù)3、下列說法正確的是（D）A．?dāng)?shù)軸上任一點表示唯一的有理數(shù)B．?dāng)?shù)軸上任一點表示唯一的無理數(shù)C．兩個無理數(shù)之和一定是無理數(shù)D．?dāng)?shù)軸上任意兩點之間都有無數(shù)個點4、下列語句：①﹣1是1的平方根．②帶根號的數(shù)都是無理數(shù)．③無理數(shù)都是無限小數(shù)．④無限小數(shù)是無理數(shù)⑤的立方根是2．⑥（﹣2）2的算術(shù)平方根是2．⑦﹣125的立方根是±5．⑧有理數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)．其中正確的有（B）A．2個B．3個C．4個D．5個5、已知a、b是實數(shù)，下列命題結(jié)論正確的是（B）A．若a＞b，則a2＞b2 B．若a＞｜b｜，則a2＞b2C．若｜a｜＞b，則a2＞b2 D．若a3＞b3，則a2＞b26、一個數(shù)的平方是4，這個數(shù)的立方是（C）A．8B．﹣8C．8或﹣8D．4或﹣4的算術(shù)平方根與的相反數(shù)的倒數(shù)的積是（C）A.﹣1 B.±1 C.-1 D.8、一個立方體的體積是9，則它的棱長是（D）A．3B．3C．D．9、如圖,數(shù)軸上A,B兩點表示的數(shù)分別為QUOTE和5.1,則A,B兩點之間表示整數(shù)的點共有(C)A.6個 B.5個 C.4個 D.3個10、如圖，數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)分別為－1和，點B關(guān)于點A的對稱點C，則點C所表示的數(shù)為(B)A．－3B．－2C．－3＋D．2＋11、在實數(shù)、0、、3.1415、、、2.123122312223…,，，中，無理數(shù)的個數(shù)為（B）A.4個 B.5個 C.6個 D.7個12、一個正數(shù)x的兩個平方根分別是a＋1與a?5，則x值為(C)A．2B．－3C．9D．-913、估算的值是在（C）A．2與3之間B．3與4之間C．4與5之間D．5與6之間14、數(shù)軸上有兩點A、B分別表示實數(shù)a、b，則線段AB的長度是（C）A．a(chǎn)﹣bB．a(chǎn)+bC．D．|a+b|15、若x2=（﹣3）2，y3﹣27=0，則x+y的值是（C）A．0B．6C．0或6D．0或﹣616、使為最大的負整數(shù)，則a的值為（A）A.±5B．5C．﹣5D．不存在17、如果－b是a的立方根，則下列結(jié)論正確的是（A）A．－b3＝a B．－b＝a3 C．b＝a3 D．b3＝a18、兩個無理數(shù)的和，差，積，商一定是（D）A．無理數(shù)B．有理數(shù)C．0D．實數(shù)19、若（B）A、0B、1C、-1D、220、實數(shù)的平方根為（D）A．a(chǎn)B．±aC．± D．±二．填空題1、的平方根是_______，的算術(shù)平方根是14，的立方根是_______，的平方根為_____。2、若與互為相反數(shù)，則=__1____。3、若和互為相反數(shù)。則x+y=____1___。4、設(shè)、為實數(shù)，且，則的值是___5、邊長為的兩個正方形拼成一個正方形的邊長為26、比較大?。?gt;，>7、若則x＝_-1_____．8、若（x﹣15）2=169，（y﹣1）3=﹣0.125，則x-y=_27.5或1.5________．9、的平方根與﹣的立方根的積為_________．三．解答題1、計算：﹣++．答案：92、已知x是的整數(shù)部分，y是的小數(shù)部分，求的平方根．答案：9培優(yōu)競賽精例【例1】、實數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡答案：原式=a【變式題組】已知，化簡：答案：5-2x【例2】（全國競賽）已知非零實數(shù)a、b滿足，則a＋b等于(C)A．－1B．0C．1D．2【變式題組】已知，求的值。解：a-20210a-2020+=a所以=2020a-2021=2020=20202、x，y，m適合不等式，試求的平方根。，的平方根為【例3】若a為?2的整數(shù)部分，b?1是9的平方根，且，求a＋b的值．解：由題可得a=2，b-1=3所以a=2，b=4或-2因為所以a=2，b=4所以a+b=6【變式題組】1、若3＋的小數(shù)部分是a，3?的小數(shù)部分是b，則a＋b的值為__1__．2、-5的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則（＋a）--b＝_1__．3、已知M是滿足不等式的所有整數(shù)a的和，N是滿足不等式的最大整數(shù)．求M＋N的平方根．解：M=2,N=2所以M＋N的平方根為?！纠?】若a、b都為有理效，且滿足．求a＋b的平方根．．解：任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）還是有理數(shù)，但兩個無理數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）不一定是無理數(shù)．∵，∴即，∴，a＋b＝12＋13＝25．∴