廣東省惠州市麻陂中學高二數(shù)學理上學期期末試題含解析

廣東省惠州市麻陂中學高二數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若點A（m，1）在橢圓+=1的內(nèi)部，則m的取值范圍是（）A．﹣＜m＜ B．m＜﹣或m＞ C．﹣2＜m＜2 D．﹣1＜m＜1參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】利用已知條件列出不等式，求解即可．【解答】解：點A（m，1）在橢圓+=1的內(nèi)部，可得，解得：﹣＜m＜．故選：A．2.下列有四種說法①若復數(shù)滿足方程，則；②線性回歸方程對應的直線一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點，，…，中的一個點；③若,則；④用數(shù)學歸納法證明時，從到的證明，左邊需增添的一個因式是．其中正確的是（

）．A．①②

B．③

C．③④

D．④參考答案：C略3.在平面直角坐標系中,橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點，如果函數(shù)的圖象恰好通過個整點，則稱函數(shù)為階整點函數(shù).有下列函數(shù)：①；

②

③

④，其中是一階整點函數(shù)的是(

)A.①②③④

B.①③④

C.①④

D.④

參考答案：C略4.過橢圓+=1（0<b<a）中心的直線與橢圓交于A、B兩點，右焦點為F2(c,0)，則△ABF2的最大面積是

（

）

A．a(chǎn)b

B．a(chǎn)c

C．bc

D．b2參考答案：C5.下列各點不在曲線上的是（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ． Ｄ．參考答案：D6.雙曲線的實軸長為（） A．2 B．2 C．4 D．4參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)． 【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】雙曲線中，a=2，即可求出實軸長． 【解答】解：雙曲線中，a=2，實軸長為2a=4． 故選：C． 【點評】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學生的計算能力，比較基礎． 7.函數(shù)的圖象大致是(

)參考答案：A8.已知點A（﹣2，0），B（1，0），C（0，1），直線y=kx將△ABC分割為兩部分，則當這兩個部分的面積之積取得最大值時k的值為（）A． B． C． D．﹣參考答案：A【考點】直線的一般式方程；三角形的面積公式．【分析】由題意作圖，結(jié)合基本不等式可得當S1=S2時取等號，由面積公式可得AD的長度，而由方程組可表示點D的坐標，由距離公式可的方程，解之即可．【解答】解：由題意作出圖象（如圖），設兩部分面積分別為S1，S2由題意可得S1+S2=S△ABC==，故由基本不等式可得：S1S2≤=，當且僅當S1=S2時取等號，而當當S1=S2時，顯然直線職能與AC相交，設交點為D，已知直線AC的方程為：y=，則由解得，即點D（，），而由S1=S2可得，2S△AOD=S△ABC，即=，解得AD===，即，化簡得（8k）2=（6k﹣3）2，解得k=或k=（舍去）故選A9.已知等差數(shù)列的公差，前項和滿足：，那么數(shù)列中最大的值是（

）A. B. C. D.參考答案：B10.某國際科研合作項目由兩個美國人，一個法國人和一個中國人共同開發(fā)完成，現(xiàn)從中隨機選出兩個人作為成果發(fā)布人，現(xiàn)選出的兩人中有中國人的概率為（

）A.

B.

C.

D．1參考答案：C用列舉法可知，共6個基本事件，有中國人的基本事件有3個．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設tan（α+β）=，tan（β﹣）=，則tan（α+）=．參考答案：【考點】兩角和與差的正切函數(shù)．【分析】由條件利用兩角差的正切公式求得tan（α+）的值．【解答】解：∵tan（α+β）=，tan（β﹣）=，∴tan（α+）===，12.某體育學校決定修建一條三角形多功能比賽通道(如圖),AB段是跑道,BC段是自行車道,CA段是游泳道,試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算自行車道和游泳道的長度.(單位:km)參考答案：解:由圖可知:∠A=75,∠B=60°,AB=8∵A+B+C=180°

C=45°∴BC=(4+4)km.

同理AC=,

∴AC=413.設x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集B是偶數(shù)集．若命題p：?x∈A，2x∈B；則命題p的否定是

．參考答案：?p：?x∈A，2x?B【考點】命題的否定．【分析】“全稱命題”的否定一定是“存在性命題”據(jù)此可解決問題．【解答】解：∵“全稱命題”的否定一定是“存在性命題”，∴命題p：?x∈A，2x∈B的否定是：?p：?x∈A，2x?B；故答案為：?p：?x∈A，2x?B；【點評】本小題主要考查命題的否定、命題的否定的應用等基礎知識．屬于基礎題．命題的否定即命題的對立面．“全稱量詞”與“存在量詞”正好構成了意義相反的表述．如“對所有的…都成立”與“至少有一個…不成立”；“都是”與“不都是”等，所以“全稱命題”的否定一定是“存在性命題”，“存在性命題”的否定一定是“全稱命題”．14.用反證法證明命題“如果，那么”時，應假設__________.參考答案：【分析】由反證法的定義得應假設：【詳解】由反證法的定義得應假設：故答案為：【點睛】本題主要考查反證法的證明過程，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.15.閱讀下面的程序框圖．若使輸出的結(jié)果不大于37，則輸入的整數(shù)i的最大值為．參考答案：5考點： 程序框圖．

專題： 常規(guī)題型．分析： 按照程序框圖的流程寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，據(jù)題目對輸出s的要求，求出n的最大值，據(jù)判斷框中n與i的關系求出i的最大值．解答： 解：經(jīng)過第一次循環(huán)得到s=2，n=1，經(jīng)過第二次循環(huán)得到s=5，n=2，經(jīng)過第三次循環(huán)得到s=10，n=3，經(jīng)過第四次循環(huán)得到s=19，n=4，經(jīng)過第五次循環(huán)得到s=36，n=5，經(jīng)過第六次循環(huán)得到s=69，n=6，∵輸出的結(jié)果不大于37∴n的最大值為4∴i的最大值為5故答案為：5點評： 本題考查解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構時，常采用寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，找規(guī)律．16.已知直線：ax+by=1（其中a，b是實數(shù)）與圓：x2+y2=1（O是坐標原點）相交于A，B兩點，且△AOB是直角三角形，點P（a，b）是以點M（0，1）為圓心的圓M上的任意一點，則圓M的面積最小值為．參考答案：（3﹣2）π【考點】直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】根據(jù)圓的方程找出圓心坐標和半徑，由|OA|=|OB|根據(jù)題意可知△AOB是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出|AB|的長度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得圓心到直線的距離等于|AB|的一半，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離，兩者相等即可得到a與b的軌跡方程為一個橢圓，圓M的面積最小時，所求半徑為橢圓a2+=1上點P（a，b）到焦點（0，1）的距離最小值，即可得出結(jié)論．【解答】解：由圓x2+y2=1，所以圓心（0，0），半徑為1所以|OA|=|OB|=1，則△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=則圓心（0，0）到直線ax+by=1的距離為，所以2a2+b2=2，即a2+=1．因此，圓M的面積最小時，所求半徑為橢圓a2+=1上點P（a，b）到焦點（0，1）的距離最小值，由橢圓的性質(zhì)，可知最小值為﹣1．所以圓M的面積最小值為π（﹣1）2=（3﹣2）π．故答案為：（3﹣2）π．17.已知橢圓的焦距為，則a=

；當a＜0時，橢圓C上存在一點P，有|PF1|=2|PF2|（F1，F(xiàn)2為橢圓焦點），則△F1PF2的面積為

．參考答案：9或﹣7，．【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】當焦點在x軸上時，解得a=9；當焦點在y軸上時，解得a=﹣7，由此能求出a的值；當a＜0時，橢圓方程為=1，求出|PF2|=2，∴|PF1|=4，|F1F2|=2c=4，由此能求出△F1PF2的面積．【解答】解：∵橢圓的焦距為，∴當焦點在x軸上時，8+a﹣9=（2）2，解得a=9；當焦點在y軸上時，9﹣（8+a）=（2）2，解得a=﹣7，綜上，a的值為9或﹣7．當a＜0時，橢圓方程為=1，橢圓C上存在一點P，有|PF1|=2|PF2|（F1，F(xiàn)2為橢圓焦點），由橢圓定義得：|PF1|+|PF2|=3|PF2|=6，解得|PF2|=2，∴|PF1|=4，∵|F1F2|=2c=4，∴p=（2+4+4）=3+2，∴△F1PF2的面積S==．故答案為：9或﹣7，．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，PA=PB=，（1）求證：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求二面角P﹣AC﹣B的余弦值．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面與平面垂直的判定．【分析】（1）取AB中點O，連結(jié)PO，CO，依題意，可證PO⊥平面ABC，從而可證得平面PAB⊥平面ABCD；（2）以O為原點，OC，OB，OP所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，可求得C、A、B、P各點的坐標，從而可得：=（，1，0），=（0，1，1），設平面PAC的法向量為=（x，y，z），可求得此坐標=（，﹣1，1），而平面BAC的一個法向量為=（0，0，1），設二面角P﹣AC﹣B大小為θ，由cosθ=|cos＜，＞|=可求得答案．【解答】解：（1）證明：取AB中點O，連結(jié)PO，CO，由PA=PB=，AB=2，知△PAB為等腰直角三角形，∴PO=1，PO⊥AB，由AB=BC=2，∠ABC=60°，知△ABC為等邊三角形，∴CO=，由PC=2得PO2+CO2=PC2，∴PO⊥CO，又AB∩CO=O，∴PO⊥平面ABC，又PO?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD；（2）如圖所示，以O為原點，OC，OB，OP所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則C（，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1），A（0，﹣1，0）得：=（，1，0），=（0，1，1），設平面PAC的法向量為=（x，y，z），則，取y=1，則x=，z=1，即=（，﹣1，1），平面BAC的一個法向量為=（0，0，1），設二面角P﹣AC﹣B大小為θ，易知其為銳角，所以cosθ=|cos＜，＞|===．19.（本小題滿分12分）已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率e＝，過橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為(1)求橢圓的標準方程；(2)已知直線l與橢圓相交于P，Q兩點，O為原點，且⊥。試探究點O到直線l的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由。參考答案：解：(1)設橢圓方程為

(a>b>0)，因為e＝，所以…………1據(jù)題意在橢圓上，則，于是，解得b＝1，………………2因為a＝c，a2－c2＝b2＝1，則c＝1，a＝…………4故橢圓的方程為……………………5(2)當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx＋m，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0……………………6所以x1＋x2＝－，x1x2＝………………7于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2·＋km·－＋m2＝……………8因為⊥，所以x1x2＋y1y2＝＋＝＝0，即3m2－2k2－2＝0，所以m2＝……………9設原點O到直線l的距離為d，則d＝＝＝……10當直線l的斜率不存在時，因為⊥，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設直線OP，OQ的方程分別為y＝x，y＝－x可得P，Q或者P，Q.此時，原點O到直線l的距離仍為………11綜上分析，點O到直線l的距離為定值…………1220.已知某公司的品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件，需要另外投入1.9萬元，設R(x)（單位：萬元）為銷售收入，根據(jù)市場調(diào)查，知R(x)＝，其中x是年產(chǎn)量（單位：千件）.

（1）寫出年利潤W關于年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式；（2）當年產(chǎn)量為多少時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？參考答案：解：（1）W＝.（2）當0<x<10時，＝8.1－0.1x2，令＝0，解得：x＝9或x＝－9（舍去），比較W（0），W（9），W（10）得W（9）最大；當x>10時，函數(shù)是減函數(shù)，∴當年產(chǎn)量為9千件時，該公司所獲年利潤最大，最大利潤為38.6萬元.

略21.(本小題滿分12分)某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出名學生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段，…后畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求第四小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；（2）估計這次考試的及格率（分及以上為及格）和平均分；（3）從成績是分以上（包括分）的學生中選兩人，求他們在同一分數(shù)段的概率．參考答案：（1）因為各組的頻率和等于1,故第四組的頻率：f4=1-(0.025+0.015*2+0.01+0.005)*10=0.03分直方圖如右所示……………．4分（2）依題意，60及以上的分數(shù)所在的第三、四、五、六組，頻率和為(0.015+0.03+0.025+0