2023年江蘇省南京市中考數(shù)學試卷

第23頁〔共23頁〕2023年江蘇省南京市中考數(shù)學試卷一、選擇題〔本大題共6小題，每題2分，共12分，在每題所給出的四個選項中，恰有一項為哪一項符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上〕1．〔2分〕為了方便市民出行，提倡低碳交通，近幾年南京市大力開展公共自行車系統(tǒng)，根據(jù)規(guī)劃，全市公共自行車總量明年將達70000輛，用科學記數(shù)法表示70000是〔〕A．0.7×105 B．7×104 C．7×105 D．70×1032．〔2分〕數(shù)軸上點A、B表示的數(shù)分別是5、﹣3，它們之間的距離可以表示為〔〕A．﹣3+5 B．﹣3﹣5 C．|﹣3+5| D．|﹣3﹣5|3．〔2分〕以下計算中，結(jié)果是a6的是〔〕A．a(chǎn)2+a4 B．a(chǎn)2?a3 C．a(chǎn)12÷a2 D．〔a2〕34．〔2分〕以下長度的三條線段能組成鈍角三角形的是〔〕A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，75．〔2分〕正六邊形的邊長為2，那么它的內(nèi)切圓的半徑為〔〕A．1 B． C．2 D．26．〔2分〕假設一組數(shù)據(jù)2，3，4，5，x的方差與另一組數(shù)據(jù)5，6，7，8，9的方差相等，那么x的值為〔〕A．1 B．6 C．1或6 D．5或6二、填空題〔本大題共10小題，每題2分，共20分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上〕7．〔2分〕化簡：=；=．8．〔2分〕假設式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，那么x的取值范圍是．9．〔2分〕分解因式：2a〔b+c〕﹣3〔b+c〕=．10．〔2分〕比較大?。憨?．11．〔2分〕分式方程的解是．12．〔2分〕設x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的兩個根，且x1+x2﹣x1x2=1，那么x1+x2=，m=．13．〔2分〕如圖，扇形OAB的圓心角為122°，C是上一點，那么∠ACB=°．14．〔2分〕如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△ABO≌△ADO．以下結(jié)論：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．其中所有正確結(jié)論的序號是．15．〔2分〕如圖，AB、CD相交于點O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位線，且EF=2，那么AC的長為．16．〔2分〕如圖，菱形ABCD的面積為120cm2，正方形AECF的面積為50cm2，那么菱形的邊長為cm．三、解答題〔本大題共11小題，共88分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕17．〔7分〕解不等式組，并寫出它的整數(shù)解．18．〔7分〕計算﹣．19．〔7分〕某校九年級有24個班，共1000名學生，他們參加了一次數(shù)學測試，學校統(tǒng)計了所有學生的成績，得到以下統(tǒng)計圖．〔1〕求該校九年級學生本次數(shù)學測試成績的平均數(shù)；〔2〕以下關(guān)于本次數(shù)學測試說法正確的是〔〕A．九年級學生成績的眾數(shù)與平均數(shù)相等B．九年級學生成績的中位數(shù)與平均數(shù)相等C．隨機抽取一個班，該班學生成績的平均數(shù)等于九年級學生成績的平均數(shù)D．隨機抽取300名學生，可以用他們成績的平均數(shù)估計九年級學生成績的平均數(shù)20．〔8分〕我們在學完“平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)〞三種圖形的變化后，可以進行進一步研究，請根據(jù)例如圖形，完成下表．圖形的變化例如圖形與對應線段有關(guān)的結(jié)論與對應點有關(guān)的結(jié)論平移〔1〕AA′=BB′AA′∥BB′軸對稱〔2〕〔3〕旋轉(zhuǎn)AB=A′B′；對應線段AB和A′B′所在的直線相交所成的角與旋轉(zhuǎn)角相等或互補．〔4〕21．〔8分〕用兩種方法證明“三角形的外角和等于360°〞．如圖，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三個外角．求證∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．證法1：∵，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣〔∠1+∠2+∠3〕．∵，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．請把證法1補充完整，并用不同的方法完成證法2．22．〔8分〕某景區(qū)7月1日﹣7月7日一周天氣預報如圖，小麗打算選擇這期間的一天或兩天去該景區(qū)旅游，求以下事件的概率：〔1〕隨機選擇一天，恰好天氣預報是晴；〔2〕隨機選擇連續(xù)的兩天，恰好天氣預報都是晴．23．〔8分〕如圖中的折線ABC表示某汽車的耗油量y〔單位：L/km〕與速度x〔單位：km/h〕之間的函數(shù)關(guān)系〔30≤x≤120〕，線段BC表示的函數(shù)關(guān)系中，該汽車的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km．〔1〕當速度為50km/h、100km/h時，該汽車的耗油量分別為L/km、L/km．〔2〕求線段AB所表示的y與x之間的函數(shù)表達式．〔3〕速度是多少時，該汽車的耗油量最低？最低是多少？24．〔7分〕如圖，在?ABCD中，E是AD上一點，延長CE到點F，使∠FBC=∠DCE．〔1〕求證：∠D=∠F；〔2〕用直尺和圓規(guī)在AD上作出一點P，使△BPC∽△CDP〔保存作圖的痕跡，不寫作法〕．25．〔9分〕圖中是拋物線拱橋，P處有一照明燈，水面OA寬4m，從O、A兩處觀測P處，仰角分別為α、β，且tanα=，tan，以O為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系．〔1〕求點P的坐標；〔2〕水面上升1m，水面寬多少〔取1.41，結(jié)果精確到0.1m〕？26．〔8分〕如圖，O是△ABC內(nèi)一點，⊙O與BC相交于F、G兩點，且與AB、AC分別相切于點D、E，DE∥BC，連接DF、EG．〔1〕求證：AB=AC．〔2〕AB=10，BC=12，求四邊形DFGE是矩形時⊙O的半徑．27．〔11分〕如圖，把函數(shù)y=x的圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標不變，得到函數(shù)y=2x的圖象；也可以把函數(shù)y=x的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，得到函數(shù)y=2x的圖象．類似地，我們可以認識其他函數(shù)．〔1〕把函數(shù)y=的圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮瑱M坐標不變，得到函數(shù)y=的圖象；也可以把函數(shù)y=的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，得到函數(shù)y=的圖象．〔2〕以下變化：①向下平移2個單位長度；②向右平移1個單位長度；③向右平移個單位長度；④縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標不變；⑤橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變；⑥橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變．〔Ⅰ〕函數(shù)y=x2的圖象上所有的點經(jīng)過④→②→①，得到函數(shù)的圖象；〔Ⅱ〕為了得到函數(shù)y=﹣〔x﹣1〕2﹣2的圖象，可以把函數(shù)y=﹣x2的圖象上所有的點．A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D(zhuǎn)．①→③→⑥〔3〕函數(shù)y=的圖象可以經(jīng)過怎樣的變化得到函數(shù)y=﹣的圖象？〔寫出一種即可〕2023年江蘇省南京市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題〔本大題共6小題，每題2分，共12分，在每題所給出的四個選項中，恰有一項為哪一項符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上〕1．〔2分〕〔2023?南京〕為了方便市民出行，提倡低碳交通，近幾年南京市大力開展公共自行車系統(tǒng)，根據(jù)規(guī)劃，全市公共自行車總量明年將達70000輛，用科學記數(shù)法表示70000是〔〕A．0.7×105 B．7×104 C．7×105 D．70×103【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值大于10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于1時，n是負數(shù)．【解答】解：70000=7×104，應選：B．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．2．〔2分〕〔2023?南京〕數(shù)軸上點A、B表示的數(shù)分別是5、﹣3，它們之間的距離可以表示為〔〕A．﹣3+5 B．﹣3﹣5 C．|﹣3+5| D．|﹣3﹣5|【分析】由距離的定義和絕對值的關(guān)系容易得出結(jié)果．【解答】解：∵點A、B表示的數(shù)分別是5、﹣3，∴它們之間的距離=|﹣3﹣5|=8，應選：D．【點評】此題考查絕對值的意義、數(shù)軸上兩點間的距離；理解數(shù)軸上兩點間的距離與絕對值的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．3．〔2分〕〔2023?南京〕以下計算中，結(jié)果是a6的是〔〕A．a(chǎn)2+a4 B．a(chǎn)2?a3 C．a(chǎn)12÷a2 D．〔a2〕3【分析】A：根據(jù)合并同類項的方法判斷即可．B：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法那么計算即可．C：根據(jù)同底數(shù)冪的除法法那么計算即可．D：冪的乘方的計算法那么：〔am〕n=amn〔m，n是正整數(shù)〕，據(jù)此判斷即可．【解答】解：∵a2+a4≠a6，∴選項A的結(jié)果不是a6；∵a2?a3=a5，∴選項B的結(jié)果不是a6；∵a12÷a2=a10，∴選項C的結(jié)果不是a6；∵〔a2〕3=a6，∴選項D的結(jié)果是a6．應選：D．【點評】〔1〕此題主要考查了同底數(shù)冪的除法法那么：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①底數(shù)a≠0，因為0不能做除數(shù)；②單獨的一個字母，其指數(shù)是1，而不是0；③應用同底數(shù)冪除法的法那么時，底數(shù)a可是單項式，也可以是多項式，但必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什么．〔2〕此題還考查了冪的乘方和積的乘方，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①〔am〕n=amn〔m，n是正整數(shù)〕；②〔ab〕n=anbn〔n是正整數(shù)〕．〔3〕此題還考查了同底數(shù)冪的乘法法那么：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①底數(shù)必須相同；②按照運算性質(zhì)，只有相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加．〔4〕此題還考查了合并同類項的方法，要熟練掌握．4．〔2分〕〔2023?南京〕以下長度的三條線段能組成鈍角三角形的是〔〕A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7【分析】在能夠組成三角形的條件下，如果滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方是直角三角形；滿足較小兩邊平方的和大于最大邊的平方是銳角三角形；滿足較小兩邊平方的和小于最大邊的平方是鈍角三角形，依此求解即可．【解答】解：A、因為32+42＞42，所以三條線段能組銳角三角形，不符合題意；B、因為32+42=52，所以三條線段能組成直角三角形，不符合題意；C、因為3+4＞6，且32+42＜62，所以三條線段能組成鈍角三角形，符合題意；D、因為3+4=7，所以三條線段不能組成三角形，不符合題意．應選：C．【點評】此題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．掌握組成鈍角三角形的條件是解題的關(guān)鍵．5．〔2分〕〔2023?南京〕正六邊形的邊長為2，那么它的內(nèi)切圓的半徑為〔〕A．1 B． C．2 D．2【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用正六邊形中的等邊三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：如圖，連接OA、OB，OG；∵六邊形ABCDEF是邊長為2的正六邊形，∴△OAB是等邊三角形，∴OA=AB=2，∴OG=OA?sin60°=2×=，∴邊長為2的正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為．應選B．【點評】此題考查學生對正多邊形的概念掌握和計算的能力．解答這類題往往一些學生因?qū)φ噙呅蔚母局R不明確，將多邊形的半徑與內(nèi)切圓的半徑相混淆而造成錯誤計算，記住根本概念是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．6．〔2分〕〔2023?南京〕假設一組數(shù)據(jù)2，3，4，5，x的方差與另一組數(shù)據(jù)5，6，7，8，9的方差相等，那么x的值為〔〕A．1 B．6 C．1或6 D．5或6【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)x1，x2，…xn與數(shù)據(jù)x1+a，x2+a，…，xn+a的方差相同這個結(jié)論即可解決問題．【解答】解：∵一組數(shù)據(jù)2，3，4，5，x的方差與另一組數(shù)據(jù)5，6，7，8，9的方差相等，∴這組數(shù)據(jù)可能是2，3，4，5，6或1，2，3，4，5，∴x=1或6，應選C．【點評】此題考查方差、平均數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵利用結(jié)論：數(shù)據(jù)x1，x2，…xn與數(shù)據(jù)x1+a，x2+a，…，xn+a的方差相同解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題〔本大題共10小題，每題2分，共20分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上〕7．〔2分〕〔2023?南京〕化簡：=2；=2．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和立方根的定義化簡即可．【解答】解：==2；=2．故答案為：2；2．【點評】此題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，立方根的定義，是根底題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．8．〔2分〕〔2023?桂林〕假設式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，那么x的取值范圍是x≥1．【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【解答】解：∵式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案為：x≥1．【點評】此題考查的是二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)大于等于0．9．〔2分〕〔2023?南京〕分解因式：2a〔b+c〕﹣3〔b+c〕=〔b+c〕〔2a﹣3〕．【分析】直接提取公因式b+c即可．【解答】解：原式=〔b+c〕〔2a﹣3〕，故答案為：〔b+c〕〔2a﹣3〕．【點評】此題主要考查了提公因式法分解因式，關(guān)鍵是正確找出公因式．10．〔2分〕〔2023?南京〕比較大?。憨?＜．【分析】先判斷出﹣3與﹣2的符號，進而可得出結(jié)論．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴﹣3＜0，﹣2＞0，∴﹣3＜．故答案為：＜．【點評】此題考查的是實數(shù)的大小比較，熟知正數(shù)與負數(shù)比較大小的法那么是解答此題的關(guān)鍵．11．〔2分〕〔2023?南京〕分式方程的解是3．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x=3〔x﹣2〕，去括號得：x=3x﹣6，解得：x=3，經(jīng)檢驗x=3是分式方程的解．【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“轉(zhuǎn)化思想〞，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．12．〔2分〕〔2023?南京〕設x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的兩個根，且x1+x2﹣x1x2=1，那么x1+x2=4，m=3．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出x1+x2=﹣=4，x1x2==m，將其代入等式x1+x2﹣x1x2=1中得出關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，從而此題得解．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的兩個根，∴x1+x2=﹣=4，x1x2==m．∵x1+x2﹣x1x2=4﹣m=1，∴m=3．故答案為：4；3．【點評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出x1+x2=4，x1x2=m．此題屬于根底題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出兩根之和與兩根之積是關(guān)鍵．13．〔2分〕〔2023?南京〕如圖，扇形OAB的圓心角為122°，C是上一點，那么∠ACB=119°．【分析】在⊙O上取點D，連接AD，BD，根據(jù)圓周角定理求出∠D的度數(shù)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：如下列圖，在⊙O上取點D，連接AD，BD，∵∠AOB=122°，∴∠ADB=∠AOB=×122°=61°．∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ACB=180°﹣61°=119°．故答案為：119．【點評】此題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓周角是解答此題的關(guān)鍵．14．〔2分〕〔2023?南京〕如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△ABO≌△ADO．以下結(jié)論：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．其中所有正確結(jié)論的序號是①②③．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，進而得出其它結(jié)論．【解答】解：∵△ABO≌△ADO，∴∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，∴AC⊥BD，故①正確；∵四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∴∠COB=∠COD=90°，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC〔SAS〕，故③正確∴BC=DC，故②正確；故答案為①②③．【點評】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，以及HL，是解題的關(guān)鍵．15．〔2分〕〔2023?南京〕如圖，AB、CD相交于點O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位線，且EF=2，那么AC的長為．【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出DB，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解．【解答】解：∵EF是△ODB的中位線，∴DB=2EF=2×2=4，∵AC∥BD，∴△AOC∽△BOD，∴=，即=，解得AC=．故答案為：．【點評】此題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．〔2分〕〔2023?南京〕如圖，菱形ABCD的面積為120cm2，正方形AECF的面積為50cm2，那么菱形的邊長為13cm．【分析】根據(jù)正方形的面積可用對角線進行計算解答即可．【解答】解：因為正方形AECF的面積為50cm2，所以AC=cm，因為菱形ABCD的面積為120cm2，所以BD=cm，所以菱形的邊長=cm．故答案為：13．【點評】此題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形和菱形的面積進行解答．三、解答題〔本大題共11小題，共88分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕17．〔7分〕〔2023?南京〕解不等式組，并寫出它的整數(shù)解．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集，最后求其整數(shù)解即可．【解答】解：解不等式3x+1≤2〔x+1〕，得：x≤1，解不等式﹣x＜5x+12，得：x＞﹣2，那么不等式組的解集為：﹣2＜x≤1，那么不等式組的整數(shù)解為﹣1、0、1．【點評】此題考查不等式組的解法及整數(shù)解確實定．求不等式組的解集，應遵循以下原那么：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．18．〔7分〕〔2023?南京〕計算﹣．【分析】首先進行通分運算，進而合并分子，進而化簡求出答案．【解答】解：﹣=﹣==．【點評】此題主要考查了分式的加減運算，正確進行通分運算是解題關(guān)鍵．19．〔7分〕〔2023?南京〕某校九年級有24個班，共1000名學生，他們參加了一次數(shù)學測試，學校統(tǒng)計了所有學生的成績，得到以下統(tǒng)計圖．〔1〕求該校九年級學生本次數(shù)學測試成績的平均數(shù)；〔2〕以下關(guān)于本次數(shù)學測試說法正確的是〔〕A．九年級學生成績的眾數(shù)與平均數(shù)相等B．九年級學生成績的中位數(shù)與平均數(shù)相等C．隨機抽取一個班，該班學生成績的平均數(shù)等于九年級學生成績的平均數(shù)D．隨機抽取300名學生，可以用他們成績的平均數(shù)估計九年級學生成績的平均數(shù)【分析】〔1〕用九年級學生的總分除以總?cè)藬?shù)即可得出答案；〔2〕根據(jù)條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖不能求出眾數(shù)和中位數(shù)，從而得出答案．【解答】解：〔1〕根據(jù)題意得：〔80×1000×60%+82.5×1000×40%〕÷1000=81〔分〕，答：該校九年級學生本次數(shù)學測試成績的平均數(shù)是81分；〔2〕A、根據(jù)統(tǒng)計圖不能求出九年級學生成績的眾數(shù)，故本選項錯誤；B．根據(jù)統(tǒng)計圖不能求出九年級學生成績的中位數(shù)，故本選項錯誤；C．隨機抽取一個班，該班學生成績的平均數(shù)不一定等于九年級學生成績的平均數(shù)，故本選項錯誤；D．隨機抽取300名學生，可以用他們成績的平均數(shù)估計九年級學生成績的平均數(shù)，故本選項正確；應選D．【點評】此題考查了眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)的定義．一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．將一組數(shù)據(jù)按照從小到大〔或從大到小〕的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，那么處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，那么中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．20．〔8分〕〔2023?南京〕我們在學完“平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)〞三種圖形的變化后，可以進行進一步研究，請根據(jù)例如圖形，完成下表．圖形的變化例如圖形與對應線段有關(guān)的結(jié)論與對應點有關(guān)的結(jié)論平移〔1〕AB=A′B′，AB∥A′B′AA′=BB′AA′∥BB′軸對稱〔2〕AB=A′B′；對應線段AB和A′B′所在的直線如果相交，交點在對稱軸l上．〔3〕l垂直平分AA′旋轉(zhuǎn)AB=A′B′；對應線段AB和A′B′所在的直線相交所成的角與旋轉(zhuǎn)角相等或互補．〔4〕OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′【分析】〔1〕根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論；〔2〕根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論；〔3〕同〔2〕；〔4〕由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：〔1〕平移的性質(zhì)：平移前后的對應線段相等且平行．所以與對應線段有關(guān)的結(jié)論為：AB=A′B′，AB∥A′B′；〔2〕軸對稱的性質(zhì)：AB=A′B′；對應線段AB和A′B′所在的直線如果相交，交點在對稱軸l上．〔3〕軸對稱的性質(zhì)：軸對稱圖形對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．所以與對應點有關(guān)的結(jié)論為：l垂直平分AA′．〔4〕OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′．故答案為：〔1〕AB=A′B′，AB∥A′B′；〔2〕AB=A′B′；對應線段AB和A′B′所在的直線如果相交，交點在對稱軸l上．；〔3〕l垂直平分AA′；〔4〕OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′．【點評】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，余角和補角的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．〔8分〕〔2023?南京〕用兩種方法證明“三角形的外角和等于360°〞．如圖，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三個外角．求證∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．證法1：∵平角等于180°，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣〔∠1+∠2+∠3〕．∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．請把證法1補充完整，并用不同的方法完成證法2．【分析】證法1：根據(jù)平角的定義得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=540°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角的和差關(guān)系即可得到結(jié)論；證法2：要求證∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，那么∠BAE+∠CBF+∠ACD=2〔∠1+∠2+∠3〕，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：證法1：∵平角等于180°，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣〔∠1+∠2+∠3〕．∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．證法2：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2〔∠1+∠2+∠3〕，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．故答案為：平角等于180°，∠1+∠2+∠3=180°．【點評】此題考查了多邊形的外角和：n邊形的外角和為360°．也考查了三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)．22．〔8分〕〔2023?南京〕某景區(qū)7月1日﹣7月7日一周天氣預報如圖，小麗打算選擇這期間的一天或兩天去該景區(qū)旅游，求以下事件的概率：〔1〕隨機選擇一天，恰好天氣預報是晴；〔2〕隨機選擇連續(xù)的兩天，恰好天氣預報都是晴．【分析】〔1〕由天氣預報是晴的有4天，直接利用概率公式求解即可求得答案；〔2〕首先利用列舉法可得：隨機選擇連續(xù)的兩天等可能的結(jié)果有：晴晴，晴雨，雨陰，陰晴，晴晴，晴陰，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：〔1〕∵天氣預報是晴的有4天，∴隨機選擇一天，恰好天氣預報是晴的概率為：；〔2〕∵隨機選擇連續(xù)的兩天等可能的結(jié)果有：晴晴，晴雨，雨陰，陰晴，晴晴，晴陰，∴隨機選擇連續(xù)的兩天，恰好天氣預報都是晴的概率為：=．【點評】此題考查了列舉法求概率的知識．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．23．〔8分〕〔2023?南京〕如圖中的折線ABC表示某汽車的耗油量y〔單位：L/km〕與速度x〔單位：km/h〕之間的函數(shù)關(guān)系〔30≤x≤120〕，線段BC表示的函數(shù)關(guān)系中，該汽車的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km．〔1〕當速度為50km/h、100km/h時，該汽車的耗油量分別為0.13L/km、0.14L/km．〔2〕求線段AB所表示的y與x之間的函數(shù)表達式．〔3〕速度是多少時，該汽車的耗油量最低？最低是多少？【分析】〔1〕和〔2〕：先求線段AB的解析式，因為速度為50km/h的點在AB上，所以將x=50代入計算即可，速度是100km/h的點在線段BC上，可由中的“該汽車的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km〞列式求得，也可以利用解析式求解；〔3〕觀察圖形發(fā)現(xiàn)，兩線段的交點即為最低點，因此求兩函數(shù)解析式組成的方程組的解即可．【解答】解：〔1〕設AB的解析式為：y=kx+b，把〔30，0.15〕和〔60，0.12〕代入y=kx+b中得：解得∴AB：y=﹣0.001x+0.18，當x=50時，y=﹣0.001×50+0.18=0.13，由線段BC上一點坐標〔90，0.12〕得：0.12+〔100﹣90〕×0.002=0.14，故答案為：0.13，0.14；〔2〕由〔1〕得：線段AB的解析式為：y=﹣0.001x+0.18；〔3〕設BC的解析式為：y=kx+b，把〔90，0.12〕和〔100，0.14〕代入y=kx+b中得：解得，∴BC：y=0.002x﹣0.06，根據(jù)題意得解得，答：速度是80km/h時，該汽車的耗油量最低，最低是0.1L/km．【點評】此題考查了一次函數(shù)的應用，正確求出兩線段的解析式是解好此題的關(guān)鍵，因為系數(shù)為小數(shù)，計算要格外細心，容易出錯；另外，此題中求最值的方法：兩圖象的交點，方程組的解；同時還有機地把函數(shù)和方程結(jié)合起來，是數(shù)學解題方法之一，應該熟練掌握．24．〔7分〕〔2023?南京〕如圖，在?ABCD中，E是AD上一點，延長CE到點F，使∠FBC=∠DCE．〔1〕求證：∠D=∠F；〔2〕用直尺和圓規(guī)在AD上作出一點P，使△BPC∽△CDP〔保存作圖的痕跡，不寫作法〕．【分析】〔1〕BF交AD于G，先利用AD∥BC得到∠FBC=∠FGE，加上∠FBC=∠DCE，所以∠FGE=∠DCE，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理易得∠D=∠F；〔2〕分別作BC和BF的垂直平分線，它們相交于點O，然后以O為圓心，OC為半徑作△BCF的外接圓⊙O，⊙O交AD于P，連結(jié)BP、CP，那么根據(jù)圓周角定理得到∠F=∠BPC，而∠F=∠D，所以∠D=∠BPC，接著可證明∠PCD=∠APB=∠PBC，于是可判斷△BPC∽△CDP．【解答】〔1〕證明：BF交AD于G，如圖，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠FBC=∠FGE，而∠FBC=∠DCE，∴∠FGE=∠DCE，∵∠GEF=∠DEC，∴∠D=∠F；〔2〕解：如圖，點P為所作．【點評】此題考查了作圖﹣相似變換：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．解決〔2〕小題的關(guān)鍵是利用圓周角定理作∠BPC=∠F．25．〔9分〕〔2023?南京〕圖中是拋物線拱橋，P處有一照明燈，水面OA寬4m，從O、A兩處觀測P處，仰角分別為α、β，且tanα=，tan，以O為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系．〔1〕求點P的坐標；〔2〕水面上升1m，水面寬多少〔取1.41，結(jié)果精確到0.1m〕？【分析】〔1〕過點P作PH⊥OA于H，如圖，設PH=3x，運用三角函數(shù)可得OH=6x，AH=2x，根據(jù)條件OA=4可求出x，即可得到點P的坐標；〔2〕假設水面上升1m后到達BC位置，如圖，運用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，然后求出y=1時x的值，就可解決問題．【解答】解：〔1〕過點P作PH⊥OA于H，如圖．設PH=3x，在Rt△OHP中，∵tanα==，∴OH=6x．在Rt△AHP中，∵tanβ==，∴AH=2x，∴OA=OH+AH=8x=4，∴x=，∴OH=3，PH=，∴點P的坐標為〔3，〕；〔2〕假設水面上升1m后到達BC位置，如圖，過點O〔0，0〕，A〔4，0〕的拋物線的解析式可設為y=ax〔x﹣4〕，∵P〔3，〕在拋物線y=ax〔x﹣4〕上，∴3a〔3﹣4〕=，解得a=﹣，∴拋物線的解析式為y=﹣x〔x﹣4〕．當y=1時，﹣x〔x﹣4〕=1，解得x1=2+，x2=2﹣，∴BC=〔2+〕﹣〔2﹣〕=2=2×1.41=2.82≈2.8．答：水面上升1m，水面寬約為2.8米．【點評】此題主要考查了三角函數(shù)、運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、解一元二次方程等知識，出現(xiàn)角的度數(shù)〔30°、45°或60°〕或角的三角函數(shù)值，通常放到直角三角形中通過解直角三角形來解決問題．26．〔8分〕〔2023?南京〕如圖，O是△ABC內(nèi)一點，⊙O與BC相交于F、G兩點，且與AB、AC分別相切于點D、E，DE∥BC，連接DF、EG．〔1〕求證：AB=AC．〔2〕AB=10，BC=12，求四邊形DFGE是矩形時⊙O的半徑．【分析】〔1〕由切線長定理可知AD=AE，易得∠ADE=∠AED，因為DE∥BC，由平行線的性質(zhì)得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，可得∠B=∠C，易得AB=AC；〔2〕如圖，連接AO，交DE于點M，延長AO交BC于點N，連接OE、DG，設⊙O半徑為r，由△AOD∽△ABN得=，得到AD=r，再由△GBD∽△ABN得=，列出方程即可解決問題．【解答】〔1〕證明：∵AD、AE是⊙O的切線，∴AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴∠B=∠C，∴AB=AC；〔2〕解：如圖，連接AO，交DE于點M，延長AO交BC于點N，連接OE、DG，設⊙O半徑為r，∵四邊形DFGE是矩形，∴∠DFG=90°，∴DG是⊙O直徑，∵⊙O與AB、AC分別相切于點D、E，∴OD⊥AB，OE⊥AC，∵OD=OE，OE⊥AC，∵OD=OE．∴AN平分∠BAC，∵AB=AC，∴AN⊥BC，BN=BC=6，在RT△ABN中，AN===8，∵OD⊥AB，AN⊥BC，∴∠ADO=∠ANB=90°，∵∠OAD=∠BAN，∴△AOD∽△ABN，∴=，即=，∴AD=r，∴BD=AB﹣AD=10﹣r，∵OD⊥AB，∴∠GDB=∠ANB=90°，∵∠B=∠B，∴△GBD∽△ABN，∴=，即=，∴r=，∴四邊形DFGE是矩形時⊙O的半徑為．【點評】此題考查圓、切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用參數(shù)解決問題，