20版新教材人教B版數(shù)學必修三7.2.2(數(shù)學)

7.2.2

單位圓與三角函數(shù)線7.2.220版新教材人教B版數(shù)學必修三71.單位圓與三角函數(shù)(1)單位圓:在平面直角坐標系中,坐標滿足x2+y2=1的點組成的集合.(2)三角函數(shù)與單位圓:角α的終邊與單位圓相交于點P(x,y),如圖:1.單位圓與三角函數(shù)則sinα=y,cosα=x,tanα=,則角α的終邊與單位圓的交點為P(cosα,sinα).

則sinα=y,cosα=x,tanα=,【思考】單位圓的圓心和半徑分別是什么?提示:單位圓的圓心在原點,半徑為單位長度即半徑等于1.【思考】2.三角函數(shù)線(1)作圖:①角α的終邊與單位圓交于P,過P作PM垂直于x軸,垂足為M.②過A(1,0)作x軸的垂線,交角α的終邊或其反向延長線于點T.2.三角函數(shù)線(2)圖示:(2)圖示:(3)結(jié)論:向量分別稱為角α的正弦線、余弦線、正切線,統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.(3)結(jié)論:向量分別稱為角α的正弦線、余【思考】(1)三角函數(shù)線的長度與三角函數(shù)的值有何關(guān)系?提示:三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值的絕對值.

【思考】(2)三角函數(shù)線的方向能表示三角函數(shù)的正負嗎?請說明理由.提示:能,當三角函數(shù)線與x軸(或y軸)正向同向時,所表示三角函數(shù)值為正的,與x軸(或y軸)正向反向時,所表示三角函數(shù)值為負的.(2)三角函數(shù)線的方向能表示三角函數(shù)的正負嗎?請說明理由.【素養(yǎng)小測】

1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)角α的正弦線的長度等于sinα. (

)(2)對任意角都能作出正弦線、余弦線和正切線.(

)(3)余弦線和正切線的始點都是原點. (

)【素養(yǎng)小測】提示:

(1)×.角α的正弦線的長度等于|sinα|.(2)×.90°角不能作正切線.(3)×.正切線的始點是(1,0).提示:(1)×.角α的正弦線的長度等于|sinα|.2.如圖,在單位圓中角α的正弦線、正切線完全正確的是 (

)2.如圖,在單位圓中角α的正弦線、正切線完全正確的是 (20版新教材人教B版數(shù)學必修三7【解析】選C.α為第三象限角,故正弦線為,正切線為,C正確.【解析】選C.α為第三象限角,故正弦線為,正切3.角α(0<α<2π)的正、余弦線的長度相等,且正、余弦符號相異,那么α的值為 (

)3.角α(0<α<2π)的正、余弦線的長度相等,且正、余弦符【解析】選D.根據(jù)三角函數(shù)值的符號可知,當角α在二、四象限時,角α的正弦、余弦符號相反.又角α的正、余弦線的長度相等,0<α<2π,所以α=.【解析】選D.根據(jù)三角函數(shù)值的符號可知,當角α在4.角的終邊與單位圓的交點的坐標是________.

4.角的終邊與單位圓的交點的坐標是________.

【解析】由于角的終邊與單位圓的交點橫坐標是縱坐標是所以角的終邊與單位圓的交點的坐標是答案:

【解析】由于角的終邊與單位圓的交點橫坐標是類型一三角函數(shù)線的作法及應用【典例】1.角有相同的 (

)A.正弦線 B.余弦線C.正切線 D.不能確定2.求作的正弦線、余弦線和正切線.類型一三角函數(shù)線的作法及應用【思維·引】1.在同一個平面直角坐標系中分別作出角的三角函數(shù)線,比較可得.2.作出平面直角坐標系,作出角的終邊,分別作出它的正弦線、余弦線、正切線即可.【思維·引】1.在同一個平面直角坐標系中分別作出【解析】1.選C.角的終邊互為反向延長線,所以正切線相同.【解析】1.選C.角的終邊互為反向延長線,2.角的終邊(如圖)與單位圓的交點為P.作PM垂直于x軸,垂足為M,過A(1,0)作單位圓的切線AT,與的終邊的反向延長線交于點T,則的正弦線為,余弦線為,正切線為.2.角的終邊(如圖)與單位圓的交點為P.作PM垂直【內(nèi)化·悟】作角的正弦線、余弦線時注意哪些問題?提示:作正弦線、余弦線時,首先找到角的終邊與單位圓的交點,然后過此交點作x軸的垂線,得到垂足,從而得正弦線和余弦線.【內(nèi)化·悟】【類題·通】三角函數(shù)線的作法步驟(1)作直角坐標系和角的終邊.(2)作單位圓,圓與角的終邊的交點為P,與x軸正半軸的交點為A.【類題·通】(3)過點P作x軸的垂線,垂足為M.(4)過點A作x軸的垂線,與角的終邊或其反向延長線交于點T.(5)即向量分別為角的正弦線,余弦線和正切線.(3)過點P作x軸的垂線,垂足為M.【習練·破】1.已知角α的正弦線的長度為單位長度,那么角α的終邊 (

)A.在x軸上B.在y軸上C.在直線y=x上 D.在直線y=-x上【習練·破】【解析】選B.根據(jù)正弦線的定義知,|sinα|=1,所以sinα=±1,所以角α的終邊在y軸上.【解析】選B.根據(jù)正弦線的定義知,|sinα|=1,所以s2.作出-的正弦線、余弦線和正切線.2.作出-的正弦線、余弦線和正切線.【解析】如圖所示,所以角-的正弦線為,余弦線為,正切線為.【解析】如圖所示,所以角-的正弦線為,余弦類型二三角函數(shù)線的綜合應用角度1利用三角函數(shù)線比較大小【典例】比較下列各組數(shù)的大小.類型二三角函數(shù)線的綜合應用【思維·引】在單位圓中正確畫出各角的需要比較大小的三角函數(shù)線.【思維·引】在單位圓中正確畫出各角的需要比較大小的三角函數(shù)線【解析】(1)如圖,在單位圓中作出的余弦線因為的余弦均為負數(shù),所以【解析】(1)如圖,在單位圓中作出的余弦(2)如圖,分別作出的正弦線和正切線,

由圖知,角的正弦線和正切線分別為因為且的正弦和正切均為正數(shù),所以tan>sin.(2)如圖,分別作出的正弦線和正切線,【素養(yǎng)·探】利用三角函數(shù)線比較大小,常常涉及直觀想象的核心素養(yǎng).利用三角函數(shù)線比較大小的步驟:①角的位置要“對號入座”.②比較三角函數(shù)線的長度.③確定三角函數(shù)值的正負.【素養(yǎng)·探】將本例中的條件改為“”,則a,b,c的大小順序排列為________.

將本例中的條件改為“【解析】由如圖的三角函數(shù)線知:因為所以所以b<a<c.答案:b<a<c【解析】由如圖的三角函數(shù)線知:角度2三角函數(shù)線的綜合應用【典例】若α是第一象限角,則sinα+cosα的值與1的大小關(guān)系是 世紀金榜導學號(

)A.sinα+cosα>1 B.sinα+cosα=1C.sinα+cosα<1 D.不能確定角度2三角函數(shù)線的綜合應用【思維·引】畫出三角函數(shù)線,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,即可得到答案.【思維·引】畫出三角函數(shù)線,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,即【解析】選A.如圖,角α的終邊與單位圓交于P點,過P作PM⊥x軸于M點,由三角形兩邊之和大于第三邊可知sinα+cosα>1.【解析】選A.如圖,角α的終邊與單位圓交于P點,過P作PM⊥【類題·通】利用三角函數(shù)線比較函數(shù)值大小的關(guān)鍵及注意點(1)關(guān)鍵:在單位圓中作出所要比較的角的三角函數(shù)線.(2)注意點:比較大小,既要注意三角函數(shù)線的長短,又要注意方向.【類題·通】【習練·破】若α是三角形的內(nèi)角,且sinα+cosα=,則這個三角形是 (

)A.等邊三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形【習練·破】【解析】選D.當0<α≤時,由單位圓中的三角函數(shù)線知,sinα+cosα≥1,而sinα+cosα=,所以α必為鈍角.【解析】選D.當0<α≤時,由單位圓中的三角函數(shù)7.2.2

單位圓與三角函數(shù)線7.2.220版新教材人教B版數(shù)學必修三71.單位圓與三角函數(shù)(1)單位圓:在平面直角坐標系中,坐標滿足x2+y2=1的點組成的集合.(2)三角函數(shù)與單位圓:角α的終邊與單位圓相交于點P(x,y),如圖:1.單位圓與三角函數(shù)則sinα=y,cosα=x,tanα=,則角α的終邊與單位圓的交點為P(cosα,sinα).

則sinα=y,cosα=x,tanα=,【思考】單位圓的圓心和半徑分別是什么?提示:單位圓的圓心在原點,半徑為單位長度即半徑等于1.【思考】2.三角函數(shù)線(1)作圖:①角α的終邊與單位圓交于P,過P作PM垂直于x軸,垂足為M.②過A(1,0)作x軸的垂線,交角α的終邊或其反向延長線于點T.2.三角函數(shù)線(2)圖示:(2)圖示:(3)結(jié)論:向量分別稱為角α的正弦線、余弦線、正切線,統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.(3)結(jié)論:向量分別稱為角α的正弦線、余【思考】(1)三角函數(shù)線的長度與三角函數(shù)的值有何關(guān)系?提示:三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值的絕對值.

【思考】(2)三角函數(shù)線的方向能表示三角函數(shù)的正負嗎?請說明理由.提示:能,當三角函數(shù)線與x軸(或y軸)正向同向時,所表示三角函數(shù)值為正的,與x軸(或y軸)正向反向時,所表示三角函數(shù)值為負的.(2)三角函數(shù)線的方向能表示三角函數(shù)的正負嗎?請說明理由.【素養(yǎng)小測】

1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)角α的正弦線的長度等于sinα. (

)(2)對任意角都能作出正弦線、余弦線和正切線.(

)(3)余弦線和正切線的始點都是原點. (

)【素養(yǎng)小測】提示:

(1)×.角α的正弦線的長度等于|sinα|.(2)×.90°角不能作正切線.(3)×.正切線的始點是(1,0).提示:(1)×.角α的正弦線的長度等于|sinα|.2.如圖,在單位圓中角α的正弦線、正切線完全正確的是 (

)2.如圖,在單位圓中角α的正弦線、正切線完全正確的是 (20版新教材人教B版數(shù)學必修三7【解析】選C.α為第三象限角,故正弦線為,正切線為,C正確.【解析】選C.α為第三象限角,故正弦線為,正切3.角α(0<α<2π)的正、余弦線的長度相等,且正、余弦符號相異,那么α的值為 (

)3.角α(0<α<2π)的正、余弦線的長度相等,且正、余弦符【解析】選D.根據(jù)三角函數(shù)值的符號可知,當角α在二、四象限時,角α的正弦、余弦符號相反.又角α的正、余弦線的長度相等,0<α<2π,所以α=.【解析】選D.根據(jù)三角函數(shù)值的符號可知,當角α在4.角的終邊與單位圓的交點的坐標是________.

4.角的終邊與單位圓的交點的坐標是________.

【解析】由于角的終邊與單位圓的交點橫坐標是縱坐標是所以角的終邊與單位圓的交點的坐標是答案:

【解析】由于角的終邊與單位圓的交點橫坐標是類型一三角函數(shù)線的作法及應用【典例】1.角有相同的 (

)A.正弦線 B.余弦線C.正切線 D.不能確定2.求作的正弦線、余弦線和正切線.類型一三角函數(shù)線的作法及應用【思維·引】1.在同一個平面直角坐標系中分別作出角的三角函數(shù)線,比較可得.2.作出平面直角坐標系,作出角的終邊,分別作出它的正弦線、余弦線、正切線即可.【思維·引】1.在同一個平面直角坐標系中分別作出【解析】1.選C.角的終邊互為反向延長線,所以正切線相同.【解析】1.選C.角的終邊互為反向延長線,2.角的終邊(如圖)與單位圓的交點為P.作PM垂直于x軸,垂足為M,過A(1,0)作單位圓的切線AT,與的終邊的反向延長線交于點T,則的正弦線為,余弦線為,正切線為.2.角的終邊(如圖)與單位圓的交點為P.作PM垂直【內(nèi)化·悟】作角的正弦線、余弦線時注意哪些問題?提示:作正弦線、余弦線時,首先找到角的終邊與單位圓的交點,然后過此交點作x軸的垂線,得到垂足,從而得正弦線和余弦線.【內(nèi)化·悟】【類題·通】三角函數(shù)線的作法步驟(1)作直角坐標系和角的終邊.(2)作單位圓,圓與角的終邊的交點為P,與x軸正半軸的交點為A.【類題·通】(3)過點P作x軸的垂線,垂足為M.(4)過點A作x軸的垂線,與角的終邊或其反向延長線交于點T.(5)即向量分別為角的正弦線,余弦線和正切線.(3)過點P作x軸的垂線,垂足為M.【習練·破】1.已知角α的正弦線的長度為單位長度,那么角α的終邊 (

)A.在x軸上B.在y軸上C.在直線y=x上 D.在直線y=-x上【習練·破】【解析】選B.根據(jù)正弦線的定義知,|sinα|=1,所以sinα=±1,所以角α的終邊在y軸上.【解析】選B.根據(jù)正弦線的定義知,|sinα|=1,所以s2.作出-的正弦線、余弦線和正切線.2.作出-的正弦線、余弦線和正切線.【解析】如圖所示,所以角-的正弦線為,余弦線為,正切線為.【解析】如圖所示,所以角-的正弦線為,余弦類型二三角函數(shù)線的綜合應用角度1利用三角函數(shù)線比較大小【典例】比較下列各組數(shù)的大小.類型二三角函數(shù)線的綜合應用【思維·引】在單位圓中正確畫出各角的需要比較大小的三角函數(shù)線.【思維·引】在單位圓中正確畫出各角的需要比較大小的三角函數(shù)線【解析】(1)如圖,在單位圓中作出的余弦線因為的余弦均為負數(shù),所以【解析】(1)如圖,在單位圓中作出的余弦(2)如圖,分別作出的正弦線和正切線,

由圖知,角的正弦線和正切線分別為因為且的正弦和正切均為正數(shù),所以tan>sin.(2)如圖,分別作出的正弦線和正切線,【素養(yǎng)·探】利用三角函數(shù)線比較大小,常常涉及直觀想象的核心素養(yǎng).利用三角函數(shù)線比較大小的步驟:①角的位置要“對號入座”.②比較三角函數(shù)線的長度.③確定三角函數(shù)值的正負.【素養(yǎng)·探】將本例中的條件改為“”,則a,b,c的大小順序