國家開放大學(xué)2022春（202207）《1079高等代數(shù)專題研究》期末考試真題及答案-開放本科

20222022年7月試卷代號：1079國家開放大學(xué)2022年春季學(xué)期期末統(tǒng)一考試

高等代數(shù)專題研究試題答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（供參考）一、單項選擇題（本題共2（ ）分，每小題4分）D2.C3.C4.D5.B）分，每小題4分）二、壊空題（本題共2（）分，每小題4分）6.17.4AX=AX對稱矩陣非退化（可逆）三、計算題（本題共45分，每小題15分）解：a4=l.a0=12.可能的有理根是±1,±2,±3,±4,±6,± （5 分）因為/（±1）*0J（±3）。0J（±4）。0,/（±6）。0J（±12）豐0J（-2）。0故±1.-2.±3.±4.±6.+12都不是根.而f（2）=0.故2是/（、）的根.……（10分）用綜合除法驗證.2是,（%）的二重根.……（15分）12.解：把ai,a2,a3,a4寫成列向量組成矩陣A,對A進(jìn)行初等行變換，化成階梯形矩陣：（10分）由此可知（10分）由此可知a1（a2,a4是”的一組基?dimW=3. （15分）1A-1解：該二次型的矩陣為A=A4 2.（5分）-124.利用A是正定實對稱矩陣的充分必要條件是它的各階順序主子式都大于零，可得14-I14-I2>0,A-1解得一2V4V1. （15分）A-142=-4A2-4A24-8>0（15分）四、證明題（本題15分）證明：必要性.若實對稱矩陣4與B相似，則存在可逆矩陣7,使得B=T-】AT.由此可得xBw=\XE-B\=|AE-T-MTI=|7*T|?\AE-A\?|T|=\XE-A\=xA^因此.人與B有相同的特征多項式.……（6分）充分性.若實對稱矩陣4與B有相同的特征多項式，則它們有相同的特征值%,….”.于是，存在正交矩陣P與Q.使得P~rAP=足???，Q-'bq=人2???進(jìn)而P~XAP=Q—BQB=QP^APQ-1=(PQT)_i4(PQT)因此A與B相似.……(15分)20222022年7月試卷代號：1079國家開放大學(xué)2022年春季學(xué)期期末統(tǒng)一考試

高等代數(shù)專題研究試題一、 單項選擇題（本題共20分，每小題4分）下列運算中，（ ）是整數(shù)集Z上的代數(shù)運算.a,b=a》 B.a■b=VaFC.a?b=- D.a?b=a—bb按通常數(shù)的加法與乘法，復(fù)數(shù)域C可以看成實數(shù)域R上的線性空間，則它的TOC\o"1-5"\h\z維數(shù)是（ ）.A.0 B. 1C.2 D.無限設(shè)A為71階方陣，則A可對角化的充分必要條件是（ ）.A.A有71九個不同特征值 B. A有n個實特征值C.A有處個線性無關(guān)的特征向量D. A有n個不同的特征向量關(guān)于正交變換的敘述，下列選項中錯誤的是（ ）.正交變換保持向量的長度不變正交變換保持向量的內(nèi)積不變正交變換把標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基正交變換在任一組基下的矩陣都是正交矩陣A是正定矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）.A.|A|>0 B.A的元素全是正實數(shù)C.A非退化 D.A的主對角線上的元素全為正二、 填空題（本題共20分，每小題4分）復(fù)數(shù)域上的不可約多項式的次數(shù)是—次的.向量組。=（1,0,1）,#=（0,1,2）,y=（-2,3,Q）線性相關(guān)，則a= . 虱是一個71階方陣，如果存在非零”維列向量/及數(shù)入，使得—，則稱數(shù)入是方陣A的一個特征值，稱X^A的屬于特征值入的特征向量.設(shè)。是歐氏空間/的對稱變換，貝此在/的標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是—.雙線性函數(shù)「是非退化的充分必要條件是它的度量矩陣是—的.三、 計算題（本題共45分.每小題15分）求多項式/（%）=%4—5x3+llx2-16x+12的有理根.設(shè)向量組的=（1,-1,1,0）,a2=（一2,1,0,2）,%=（一1,0丄2）,%=（1,1,一2,-4）,求W=L（alfa2'。3，%）的基與維數(shù).求入取何值時，下