山東省日照市校際聯(lián)合考試2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2019級(jí)高三上學(xué)期期末校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，再進(jìn)行交集運(yùn)算.【詳解】或故選：C2.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，進(jìn)而利用復(fù)數(shù)的除法可求得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，因此，.故選：A.3.在的展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，展開(kāi)式中第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，展開(kāi)式中第和項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.【詳解】因?yàn)橹挥幸豁?xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：B4.已知△是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，且，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】把△放在直角坐標(biāo)系中，可以根據(jù)題干中的條件寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出的值即可.【詳解】把△如下圖放在直角坐標(biāo)系中，由于△的邊長(zhǎng)為1，故，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，，設(shè)，，，，.故選：B.5.某市從6名優(yōu)秀教師中選派3名同時(shí)去3個(gè)災(zāi)區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案的種數(shù)為（）A.48 B.60 C.96 D.168【答案】C【解析】【分析】用6人中任選派3人方法數(shù)減去甲和乙同去的方法可得．【詳解】由題意所求方法數(shù)為6人中任選派3人的方法數(shù)減去甲和乙同去的方法：．故選：C.6.設(shè)函數(shù)，，，則函數(shù)的圖象與軸所圍成圖形中的封閉部分面積是（）A.6 B.8 C.7 D.9【答案】C【解析】【分析】先畫出的圖象，再經(jīng)過(guò)平移和翻折得到，進(jìn)而得到的圖象，再求解的圖象與軸所圍成圖形中的封閉部分面積.【詳解】圖象，如圖1，把的圖象向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再把x軸下方部分沿著x軸翻折，得到的圖象，如圖2，再把的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，在把把x軸下方部分沿著x軸翻折，得到的圖象，如圖3，則與軸所圍成圖形中的封閉部分面積為故選：C7.十八世紀(jì)，數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了公式…，其中，若，下列選項(xiàng)中與的值最接近的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】已知式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，然后令代入，并結(jié)合角的變換，誘導(dǎo)公式變形可得．【詳解】因?yàn)椤?，所以，令得，即．故選：A．8.在底面半徑為12的圓柱內(nèi)，有兩個(gè)半徑也為12的球面，其球心距為26，若作一平面與這兩個(gè)球面相切，且與圓柱交成一個(gè)橢圓，則這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之和為（）A.44 B.46 C.48 D.50【答案】D【解析】【分析】設(shè)兩個(gè)球的球心分別為，橢圓的長(zhǎng)軸為，橢圓與兩球的切點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)，作出由與確定的平面與兩個(gè)球及圓柱的截面，并過(guò)作的垂線，交圓柱的母線于點(diǎn)，連接與切球的切點(diǎn)，分別在中，利用和余弦的定義，結(jié)合已知的數(shù)據(jù)即可求出的長(zhǎng)，即得橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，再求出短軸的長(zhǎng)即可【詳解】設(shè)兩個(gè)球的球心分別為，所得橢圓的長(zhǎng)軸為，直線與交于點(diǎn)，設(shè)它們確定的平面為，作出平面與兩個(gè)球及圓柱的截面，如圖所示，過(guò)作的垂線，交圓柱的母線于點(diǎn)，連接與切球的切點(diǎn)，連接，因?yàn)橹?，，，所以，因?yàn)殇J角與的兩邊對(duì)應(yīng)互相垂直，所以，所以在中，，因?yàn)榈拈L(zhǎng)等于球的直徑，所以，所以，即橢圓的長(zhǎng)軸為26，在中，，所以橢圓的焦距為10，所以橢圓的短軸長(zhǎng)為，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之和為50，故選：D二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖是某市2021年月居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(CPI)月度漲跌幅度折線圖(同比增長(zhǎng)率=(今年第個(gè)月-去年第個(gè)月)去年第個(gè)月，環(huán)比增長(zhǎng)率(現(xiàn)在的統(tǒng)計(jì)周期-上一個(gè)統(tǒng)計(jì)周期），正確的是（）A.2021年9月CPI環(huán)比上升，同比上漲B.2021年9月CPI環(huán)比上升，同比無(wú)變化C.2021年3月CPI環(huán)比下降，同比上漲D.2021年3月CPI環(huán)比下降，同比上漲【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)折線圖逐一判斷即可.【詳解】由折線圖可知，2021年9月CPI環(huán)比上升，同比上漲，2021年3月CPI環(huán)比下降，同比上漲，故AD正確；BC錯(cuò)誤.故選：AD10.已知函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象經(jīng)如下變換得到：先將的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，則下列正確的是（）A.B.函數(shù)關(guān)于對(duì)稱C.在上的值域?yàn)镈.若，則【答案】ABD【解析】【分析】利用函數(shù)的平移伸縮可判斷A；令，求出對(duì)稱軸，可判斷B；利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域可判斷C；由函數(shù)的最小正周期為，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，將的圖象向右平移個(gè)單位，得到，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，得到，故A正確；對(duì)于B，令，得，當(dāng)時(shí)，關(guān)于對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，，，，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)知，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由函數(shù)的最小正周期為，所以，故D正確；故選：ABD11.數(shù)列的各項(xiàng)均是正數(shù)，，，函數(shù)在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，則下列正確的是（）A.B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是等比數(shù)列D.【答案】ABD【解析】【分析】求出函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程，可得出，利用等比數(shù)列的定義可判斷AB選項(xiàng)；計(jì)算得出，可判斷C選項(xiàng)；推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，故函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即，由已知可得，對(duì)任意，，則，即，所以，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，B對(duì)；，A對(duì)；且，故數(shù)列不是等比數(shù)列，C錯(cuò)；由上可知，因?yàn)椋?，則，即，所以，且，故數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，因此，，D對(duì).故選：ABD.12.焦點(diǎn)為的拋物線與圓交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，方程的曲線記為是圓與軸的交點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列正確的是（）A.給定，對(duì)于任意，圓弧所對(duì)的圓心角B.對(duì)于給定的角，存在，使得圓弧所對(duì)的圓心角C.對(duì)于任意，該曲線有且僅有一個(gè)內(nèi)接正D.當(dāng)時(shí)，存在面積大于2022內(nèi)接正【答案】BC【解析】【分析】由題設(shè)拋物線與圓的方程可得交點(diǎn)橫坐標(biāo)與圓半徑的關(guān)系為，結(jié)合各項(xiàng)條件，應(yīng)用特殊值法判斷AB的正誤，由于隨著圓半徑的增大，直線與的交點(diǎn)從圓上會(huì)變化，直到時(shí)交點(diǎn)剛好為拋物線與圓的交點(diǎn)上，此后再增大位置不變，即可判斷CD的正誤.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，聯(lián)立拋物線與圓的方程，消去y得，即，而且，∴，即橫坐標(biāo)與半徑的關(guān)系，∵拋物線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即，∴當(dāng)時(shí)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，∵由題意知：關(guān)于x軸對(duì)稱，則對(duì)于給定的角，存在使得圓弧所對(duì)的圓心角，即只需存在使即可.∴令，則，解得或，當(dāng)時(shí)，在如下圖陰影部分變化，有，當(dāng)時(shí)，若趨近于時(shí),趨近于，故在如下圖陰影部分變化，有∴或時(shí)，有，即，所以對(duì)于給定的角，存在，使得圓弧所對(duì)的圓心角，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由，于是軸，直線：，同理，∴與分別都只有一個(gè)交點(diǎn)，即對(duì)于任意，該曲線有且僅有一個(gè)內(nèi)接正△，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如下圖示，拋物線與圓只有一個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)為原點(diǎn)，不符合題意，但此時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)在圓上，會(huì)一直增大，如下圖示，直到，即與、重合分別為、，此時(shí)，∴.當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)在拋物線上，的變化對(duì)沒(méi)有影響，如下圖示，，∴D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則函數(shù)的最小值為_(kāi)______.【答案】7【解析】【分析】由，得，構(gòu)造導(dǎo)數(shù)關(guān)系，利用基本不等式即可得到.【詳解】法一：，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故答案為：7.法二：，令得或，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值為：，故答案為：7.【點(diǎn)晴】此題考基本不等式，屬于簡(jiǎn)單題.14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)f(x)=asinax+cosax(a>0)在一個(gè)最小正周期長(zhǎng)的區(qū)間上的圖像與函數(shù)的圖像所圍成封閉圖形的面積為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式求得最小正周期，利用定積分即可求得面積．【詳解】由得最小正周期所以函數(shù)在一個(gè)最小正周期長(zhǎng)的區(qū)間上的圖像與函數(shù)的圖像所圍成封閉圖形的面積為故答案為：15.如圖，棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)在平面內(nèi)，三條棱,,都在平面的同側(cè).若頂點(diǎn),到平面的距離分別為,，則平面與平面所成銳二面角的余弦值為_(kāi)_______

【答案】【解析】【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，設(shè)

連結(jié)則四面體為直角四面體；

作平面的法線作于于于

連結(jié)，令由等體積可得令可得設(shè)，解得；

則的法向量為由得，∴，平面的法向量為，則平面與平面所成銳二面角的余弦值為16.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)分段函數(shù)解析式，判斷的取值范圍，利用解析式將展開(kāi)，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題變?yōu)樵跁r(shí)有解的問(wèn)題，然后利用導(dǎo)數(shù)求解該問(wèn)題即可.【詳解】根據(jù)分段函數(shù)解析式，可知：若都大于等于1，，則，不符合題意，若都小于1，那么，不符合題意，故一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1，不妨設(shè)，則，即，設(shè)，則，所以即，設(shè)，則該函數(shù)在時(shí)有解，而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，所以，因?yàn)樵跁r(shí)有解，故須使，解得，即，故答案為：四、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知中，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件，利用余弦定理，求得，進(jìn)而求得的值；（2）由，得到，進(jìn)而求得的值.【詳解】（1）在中，因?yàn)?，即由余弦定理可得，因?yàn)椋?（2）在中，可得，可得，由，可得，又由，則，則，所以.18.數(shù)列中，已知，數(shù)列{bn}滿足，點(diǎn)在直線上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列中滿足：①；②存在使的項(xiàng)組成新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}所有項(xiàng)的和.【答案】（1），（2）341【解析】【分析】(1)由與的關(guān)系式可得通項(xiàng)公式，再由點(diǎn)與直線的關(guān)系可得的通項(xiàng)公式；(2)找出滿足條件的共同項(xiàng)再求和即可.【小問(wèn)1詳解】，，，①，，，滿足①，所以是以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，所以.因點(diǎn)在直線上，所以，，是首項(xiàng)為1公差為3的等差數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】且滿足的中項(xiàng)一定是除3余1的數(shù)，即形如的數(shù)，同時(shí)滿足，所以，，，，數(shù)列{cn}所有項(xiàng)的和為：.19.如圖所示，在三棱臺(tái)中，，，，，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求平面和平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明平面平面，進(jìn)而證明平面；（2）由題得平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作交于，進(jìn)而以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解.【詳解】解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，由三棱臺(tái)的性質(zhì)知四邊形是梯形，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn).所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)所以為，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）因?yàn)?，，，所以平面，在平面?nèi)過(guò)點(diǎn)作交于，則，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，，設(shè)平面的法向量，因?yàn)?，，所以由得取，得，設(shè)平面的法向量，因?yàn)?，，所以由得取，得，設(shè)平面和平面所成銳二面角為，則.故平面和平面所成銳二面角的余弦值為.20.2021年某出版社對(duì)投稿某期刊的600篇文章進(jìn)行評(píng)選，每篇文章送3位專家進(jìn)行評(píng)議，3位專家中有2位以上(含2位)專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”的文章，將認(rèn)定為“不入圍文章”，有且只有1位專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”的文章，將再送2位專家進(jìn)行復(fù)評(píng)，2位復(fù)評(píng)專家中有1位以上(含1位)專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”的文章，將認(rèn)定為“不入圍文章”.設(shè)每篇文章被每位專家評(píng)議為“不合格”的概率均為，且各篇文章是否被評(píng)議為“不合格”相互獨(dú)立.（1）記一篇參評(píng)的文章被認(rèn)定為“不入圍文章”的概率為，求；（2）若擬定每篇文章需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為1500元，不需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為900元；除評(píng)審費(fèi)外，其他費(fèi)用總計(jì)為10萬(wàn)元.該出版社總預(yù)算費(fèi)用為80萬(wàn)元，現(xiàn)以此方案實(shí)施，問(wèn)是否會(huì)超過(guò)預(yù)算?并說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）不會(huì)超過(guò)預(yù)算，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）一篇參評(píng)的文章被認(rèn)定為“不入圍文章”分為兩種情況，①初評(píng)被認(rèn)定為“不入圍文章”，②復(fù)評(píng)的文章被認(rèn)定為“不入圍文章”.兩種情況的概率相加即可求出；（2）先求出一篇文章評(píng)審費(fèi)用為1500元的概率，再求出一篇文章評(píng)審費(fèi)用為900元的概率，進(jìn)而求出評(píng)審一篇文章的平均費(fèi)用的最大值，再求出600篇文章總費(fèi)用的最大值，即可說(shuō)明不會(huì)超過(guò)預(yù)算.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橐黄恼鲁踉u(píng)被認(rèn)定為“不入圍文章”的概率為，一篇文章復(fù)評(píng)后被認(rèn)定為“不入圍文章”的概率為，所以一篇參評(píng)的文章被認(rèn)定為“不入圍文章”的概率+；【小問(wèn)2詳解】設(shè)每篇文章的評(píng)審費(fèi)用為元，則的可能取值為.，..令.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，的最大值為，實(shí)施此方案，最高費(fèi)用為：（萬(wàn)元）.因此實(shí)施此方案，不會(huì)超過(guò)預(yù)算.21.在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線，是曲線上一點(diǎn).（1）求曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若且直線與直線交于點(diǎn)，求的值；（3）若點(diǎn)在軸上，的內(nèi)切圓的方程為，求面積的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義直接判斷出軌跡寫出方程即可；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程求出，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算，即可求解；（3）求出DE的長(zhǎng)，