專題04 立體幾何（理科）

高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家課外補習專用PAGE歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。PAGE29高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。專題四立體幾何（理科）【高考考場實情】立體幾何是高中數(shù)學的主干知識．課程標準下的高中數(shù)學教材螺旋式地安排了兩部分內(nèi)容：《數(shù)學2》（必修）；《數(shù)學》（選修2－1）——“空間幾何體”、“點、直線、平面之間的位置關系”、“空間直角坐標系”和“空間向量與立體幾何”.作為高考必考內(nèi)容，立體幾何主要考查學生的空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力等.縱觀2014~2017年新課標全國高考數(shù)學卷，從年份、卷號、題號、分值、問題的載體、考查的知識點與方法等幾個方面，制成下面的表格，從中可以透視近五年立體幾何的命題視角和考查方向.年份卷別選擇題或填空題解答題2014年全國I卷理12：三視圖（求最長的棱長）文8：三視圖（判斷幾何體）理19：（1）證明線段相等；（2）求二面角的余弦值文19：（1）證明線線垂直；（2）求三棱柱的高全國II卷理6/文6：三視圖（毛坯體積比）理11：異面直線所成角的余弦值文7：三棱錐的體積理18：（1）證明線面平行；（2）已知二面角大小求三棱錐體積文18（1）證明線面平行；（2）求點到面的距離2015年全國I卷理6/文6：米堆（圓錐的四分之一）的體積（數(shù)學文化）理11/文11：三視圖（組合體，求球的半徑）理18：（1）證明面面垂直；（2）求異面直線所成角的余弦值文18（1）證明面面垂直；（2）求三棱錐的側面積全國II卷理6/文6：三視圖（體積比）理9/文9：球的表面積（球內(nèi)接三棱錐問題）理19：（1）作圖題；（2）求線面角的正弦值文19：（1）作圖題；（2）求幾何體體積比2016年全國I卷理6/文7：三視圖（求八分之七的球的表面積）理11/文11：求異面直線所成角的正弦值理18：（1）證明面面垂直；（2）求二面角的余弦值文18（1）證明中點問題；（2）作圖并求四面體的體積全國II卷理6/文7：三視圖（求組合體的表面積）理14：位置關系（符號語言）理19：（1）證明線面垂直；（2）求二面角的正弦值文19：（1）證明線線垂直；（2）求五棱錐的體積全國III卷理9/文10：三視圖（求平行六面體的表面積）理10/文11：與直三棱柱的上、下底面相切的球的體積理19：（1）證明線面平行；（2）求線面角的正弦值文19：（1）證明線面平行；（2）求四面體的體積2017年全國I卷理7：三視圖（組合體）理16；三棱錐的體積的最大值文6：線面平行文16：球的表面積（球內(nèi)接三棱錐）理18：（1）證明面面垂直；（2）求二面角的余弦值文18（1）證明面面垂直；（2）求四棱錐的側面積全國II卷理4/文6：三視圖（求體積）理10：異面直線所成角的余弦值文15：長方體的外接球的表面積理19：（1）證明線面平行；（2）求二面角的余弦值文18：（1）證明線面平行；（2）求四棱錐體積全國III卷理8/文9：圓柱外接球文10：線線垂直理16：線線所成角理19：（1）證明面面垂直；（2）求二面角的余弦值文19：（1）證明線線垂直；（2）求幾何體的體積比【考查重點難點】從2014~2017年新課標全國高考數(shù)學卷匯總表可以看出，考查立體幾何的題型題序相對穩(wěn)定．試卷常常設置兩道小題（大部分以選擇題形式呈現(xiàn)，有時也以填空題的形式呈現(xiàn)），一道解答題，合計22分．小題一道相對容易、一道中等或中偏上難度（有時在壓軸題的位置）；解答題一般在18或19題的位置，屬中檔題，難度不是太大.下面主要以全國高考數(shù)學卷為例，分析學生解答立體幾何試題存在的問題，尋找解決問題的對策，并提出幾點備考對策，供老師們高三復習參考.【存在問題分析】（一）識圖、作圖、用圖能力弱【指點迷津】識圖、作圖、用圖能力的培養(yǎng)，直接影響著空間象能力的形成.學生的識圖、作圖、用圖能力弱，通常表現(xiàn)在不能正確地畫出幾何體的三視圖、不會還原三視圖或還原成錯誤的幾何體、不會識別幾何體中的空間點、線、面的位置關系、把握不清空間圖形中的數(shù)量關系、不能恰當?shù)乩米儞Q處理圖形、不會運用基本圖形思考問題和解決問題、混淆展開和折疊前后圖形中的變量與不變量等.【例1】(2013新課標=2\*ROMANII卷理7改編)一個四面體的頂點在空間直角坐標系O－xyz中的坐標分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為().【解析】如圖所示，該四面體在空間直角坐標系O－xyz的圖像為右圖，選A.【名師點睛】本題考查學生畫直觀圖和利用直觀圖畫三視圖的基本技能，試題以空間直角坐標系為載體，并在指定的投影面畫三視圖，考查了空間想象能力和閱讀理解能力，較好地體現(xiàn)了試題的新穎性.學生主要是對所畫的直觀圖中的位置關系和數(shù)量關系的錯誤理解，以及畫三視圖時虛實不分導致失誤.事實上,正確地理解直觀圖的含義、理解三視圖的形成原理，并在解決問題過程中，將四面體放置在正方體中，問題就易于解決.【例2】（2014年新課標=1\*ROMANI卷理12）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的個條棱中，最長的棱的長度為（）....6.4【解析】如圖所示，該幾何體為三棱錐，其中，，故最長的棱的長度為，選C.【名師點睛】本題主要考查三視圖還原為幾何體，以及三棱錐中的棱長比較與計算.試題對空間想象能力要求比較高.學生的主要錯誤在于對三視圖感知不全面，無法將三視圖還原為正確的幾何體或是部分學生判斷最長線段依賴直觀錯選B.由三視圖還原到空間幾何體并不一定是唯一的，即使是唯一的，也需要有一個“組圖”的過程，這是問題的難點所在.解決問題關鍵在于首先要領會三視圖的形成原理、厘清三視圖之間的關系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬．其次要明確由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1.定底面：根據(jù)俯視圖確定；2.定棱及側面：觀察正視圖和側視圖確定幾何體的側棱及側面特征，調整實線、虛線對應棱的位置；3.定形狀：確定幾何體的形狀．本題“組圖”過程如下圖所示：【例3】（2013新課標Ⅰ卷理6）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為_________.【解析】設球的半徑為R，由題可知R，R－2，正方體棱長一半可構成直角三角形，即△OBA為直角三角形，如圖．BA＝4，OA＝R－2，OB＝R，由R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5，則球的體積為.【名師點睛】球的問題是高考的?？键c，主要在球與簡單幾何體的接與切的背景下，考查立體幾何的相關問題，屬中等偏易或中等的試題.這類問題的解決的首要步驟也是關鍵點就是畫出正確的直觀圖.本題主要考查球的截面性質和球的體積等基礎知識，在對具體實物的抽象和建模中，考查學生的閱讀理解能力、空間想象能力、運算求解能力.學生錯誤的主要原因在于，沒能抽象出正方體容器的上面（空的平面）與水深（高）關系的直觀模型.事實上，球的直觀圖的畫法，已經(jīng)暗示了解決球的問題的基本方法，如圖所示：1.找出問題中的兩個關鍵截面，即水平截面以及與水平截面垂直的大圓面（軸截面），以此為框架，畫出直觀圖，定出球心的位置；2.將問題中的數(shù)量關系和位置關系轉化到兩個截面中.這樣，問題往往就迎刃而解了.立何幾何中，簡單幾何體的直觀圖，不僅僅是為了畫的好看，更重要的是它能直觀地反映出幾何體的各種關系.在簡單幾何體的直觀圖中構造出問題的圖形，在關鍵的截面（含底面）中思考數(shù)量關系和位置關系，是實現(xiàn)空間問題轉化為平面問題的橋粱，這一定要引起我們的重視.【例4】（2015新課標=2\*ROMANII卷理19）如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4.過點E，F(xiàn)（=1\*ROMANI）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；下略【解析】（Ⅰ）交線圍成的正方形如圖：【名師點睛】本題通過幾體何截面的確定（作圖），考查空間線面的位置關系，考查推理論證能力和空間想象能力.學生的主要失誤在于：其一是教學上的誤區(qū)——不夠重視，其二是思維的局限，忘了作圖不僅可以通過定性的分析，也可以通過定量的計算輔助分析.如本小題中點位置的確定，必須通過計算輔助，而G點的確定是通過線面的位置關系推理、化歸，最后在平面上作出的.它的依據(jù)是幾何的公理、定理.值得注意的是,常識不能忘！點是線的交點，線是面的交線，在已知平面上移動直線，在垂面上畫垂線！還有，立體幾何的問題，多數(shù)可以理解為與作圖相關，如證明線面平行，可以理解為在已知平面上作（找）一條直線與已知直線平行，而所作（找）的直線又可以看作為，過已知直線作一個平面與已知平面的交線.【例5】（2016年新課標Ⅱ卷理19）如圖，菱形的對角線與交于點，，點分別在上，，交于點．將沿折到位置，．（Ⅰ）證明：⊥平面；（Ⅱ）下略.【解析】（Ⅰ）由已知得又由得故因此，從而由得由得所以于是故.又因，所以.【名師點睛】本題屬于翻折問題，考查線面垂直的證明，考查空間想象能力，考查推理論證能力.在運動變化中探究幾何性質，在變中探究不變，是對學生高層次思維能力的考查.本題出錯的原因為：一是在折疊過程中沒有厘清“變量”和“不變量”，導致條件認識不清楚；二是推理的理由不充分，以想當然的方式代替必要的證明，如問題中的的證明.事實上，解決翻折問題的關鍵：1.弄清翻折前后保持不變的元素.通常情況，若原圖中的一部分仍在同一個半平面內(nèi)，則組成這部分圖形的元素保持著原有的數(shù)量和位置關系；2.將不變的條件整合到空間圖形中，形成條件確定的立體幾何問題.【例6】（2003年全國卷理12）一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則些球的表面積為（）（A）（B）（C）（D）【解析】將四面體補成正方體，則正方體的棱長是1，正方體的對角線長為，則此球的表面積為：4π=3π，選A．【名師點睛】本題以球的四面體為載體，考查空間想象能力和運算求解能力.學生的解題是通過大圓軸截面計算，因運算的復雜性產(chǎn)生錯誤的.在立體幾何的學習中，我們不僅要學會讀圖、識圖、作圖，還要注意會用圖，通過對圖形重新構造和變換（割、補、拼等），在簡單和新的幾何體中考慮問題，使得問題更易于解決.（二）定義概念模糊不清【指點迷津】數(shù)學概念不僅僅是明晰研究對象，也是數(shù)學思考問題、解決問題的出發(fā)點.立體幾何中的概念、定義模糊不清主要表現(xiàn)為：1.文本描述與幾何體形狀無法匹配，即看到概念的文本描述，頭腦中無法形成與之相應的幾何體；2.沒考慮定義的限制條件，如各類角的取值范圍，如很多學生就常常忘記異面直線所成的角的取值范圍而導致解題結果錯誤等.【例7】（2008全國Ⅰ卷理16）等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點，則所成角的余弦值等于．【答案】.【解析】設，作，則，為二面角的平面角.，結合等邊三角形與正方形可知此四棱錐為正四棱錐，則,,所以，故所成角的余弦值.【另解】以為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，則點,,則,所以，故所成角的余弦值.C.o.【名師點睛】本題以四棱錐為載體，考查空間異面直線所成角的求解.學生在概念上的錯誤在表現(xiàn)在：1.不能利用空間向量法求兩異面直線所成的角；2.建系求異面直線所成角用或計算時，對求出的向量夾角的余弦值為，沒有用異面直線所成角的取值范圍進行修正.事實上，只要緊扣異面直線所成角的概念，利用向量的知識計算相關量，最后根據(jù)角的限制調整所求的值.（三）定理性質理解不透【指點迷津】定理性質理解不透，會導致推理論證欠嚴謹或思路不明.學生在使用定理進行推理時，往往表現(xiàn)出如下的錯誤：1.定理條件掌握不全，如學生們在使用直線與平面平行的判定定理時，常常遺忘“已知直線一定要在平面外”這個關鍵的條件；2.受初中平面定理的負遷移影響導致對立體幾何相關定理的理解錯誤；3.符號書寫不規(guī)范.如直線與平面是包含與不包含的關系，卻常寫成是屬于與不屬于的關系等.【例8】（2015年江蘇）如圖，在直三棱柱中，已知，，設的中點為，.求證：（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）.【解析】（=1\*ROMANI）（=2\*ROMANII）【名師點睛】本題主要考查立體幾何線面位置關系的證明，考察直線與平面平行，直線與平面垂直直線與直線垂直等基礎知識.與平面幾何知識相結合考察學生的空間想象和推理論證能力.學生的主要錯誤在于：1.遺漏等；2.沒有考慮到，側面為正方形，因此得不到；3.要證，考生無法找對哪條線垂直哪個面，推理的方向不對.事實上，規(guī)范、嚴謹?shù)慕忸}思路來自對立體幾何相關定義、定理、和公理的準確理解，推理論證時，務必緊扣定理的條件，要避免“跳步”、“濫用符號”、“語言隨意”和“以圖代證”等；同時，采用執(zhí)果索因的分析方法、知因索果的推理論證，引導學生會從已知條件中甄別推理需要的信息，將條件有效地運用到解題過程中去，否則不僅會失去部分的分數(shù)，甚至因邏輯的源由，完全失分都有可能的.（四）建系的合理性欠思考【例9】（2015年新課標1卷理18）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面AFC.（Ⅱ）求直線AE與直線CF所成角的余弦值.【解析】（Ⅰ）連結在菱形中，不妨設,由，可得，可得.又因為在在直角梯形中，由，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.（Ⅱ）如圖，以G為坐標原點，分別以的方向為軸，y軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0,)，F(xiàn)（－1,0，），C（0，，0），∴.故.所以直線AE與CF所成的角的余弦值為.【名師點睛】本題主要考查立體幾何的線面、面面位置關系，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力.本題的學生的主要失誤點：一是沒有建好坐標系，被“圖”迷惑了雙眼，一下子盯住點B、D，把點B或點D視為空間直角坐標系的原點導致整題失分．二是因貪快，導致圖形中的坐標系漏畫，例如：如圖建立空間直角坐標系，但圖中是空的．三是空間直角坐標系建成左手系，而不是建成右手系．事實上，建立合理的坐標系是代數(shù)法解立體幾題的關鍵.建立坐標系就是構造（尋找）三線兩兩垂直，可分步處理，先找兩線垂直或先找平面的垂線（在垂面上找，即通過線面、面面垂直尋找，即本題中的平面EFDB和垂線EB、DF），再移動位置定出原點的位置，這是基本功，一定要通過合理地訓練，讓學生過關.當然，建系時證明三線兩兩垂直是不可缺少的.【解決問題對策】（一）重樹圖形觀念【指點迷津】立體幾何的研究對象是空間圖形，重點研究的是空間圖形的形狀、大小及其相互關系，其主要特點是借助于圖形進行推理，圖形成了思維的重要載體，圖形能幫我們直觀地感受空間線線、線面、面面的位置關系，培養(yǎng)空間想能力．因此，我們重視圖形觀念的樹立，正確地識別空間圖形、合理地構建空間圖形、靈活地運用空間圖形，這是求解立體幾何問題的關鍵之一.【例1】（2015新課標2卷理9）已知A,B是球O的球面上兩點,∠AOB=90°,C為該球面上的動點.若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()（A）36π（B）64π（C）144π （D）256π【解析】解答本題關鍵是學生能以A,B，O為所在的圓面為“襯托面”畫出球與三棱錐結合的模型圖，然后使用等體積思想，快速將體積的最值轉化為求高的最值.如圖所示，當點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為，此時，解得，則球的表面積為，故選C．【例2】（2016年新課標Ⅱ卷理14）是兩個平面，是兩條直線，有下列四個命題：=1\*GB3①如果，那么.②如果，那么.③如果，那么.④如果，那么與所成的角和與所成的角相等.其中正確的命題有．(填寫所有正確命題的序號）【解析】在正方體或長方體模型中找線或畫線與面，借助“直觀感知，操作確認”，填②③④.【例3】（2017年新課標Ⅱ卷理4，文6）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）（A）（B）（C）（D）【解析】由題意，該幾何體是一個組合體，下半部分是一個底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積，上半部分是一個底面半徑為3，高為6的圓柱的一半，其體積，故該組合體的體積．故選B．【例4】（2016年新課標Ⅰ卷文18）如圖,已知正三棱錐P-ABC的側面是直角三角形,PA=6,頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點E,連接PE并延長交AB于點G.（=1\*ROMANI）證明G是AB的中點；（=2\*ROMANII）在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由）,并求四面體PDEF的體積．【解析】（I）因為在平面內(nèi)的正投影為,所以因為在平面內(nèi)的正投影為,所以所以平面,故又由已知可得,,從而是的中點.（II）關鍵是讀懂圖形，平面平面平面平面故在平面內(nèi),過點作的平行線交于點,即為在平面內(nèi)的正投影.理由如下：由已知可得,,又,所以,因此平面,即點為在平面內(nèi)的正投影.連接,因為在平面內(nèi)的正投影為,所以是正三角形的中心.由（I）知,是的中點,所以在上,故由題設可得平面,平面,所以,因此由已知,正三棱錐的側面是直角三角形且,可得在等腰直角三角形中,可得所以四面體的體積（二）構建認知結構【指點迷津】把立幾知識網(wǎng)絡生成知識樹形圖，把樹形圖畫在筆記本上，真真切切形成自己可以隨取隨用的知識樹、知識網(wǎng)，便于在解答問題時引起條件反射，并聯(lián)系到相應的數(shù)學概念、公式、公理、判定定理和性質定理，運用恰當?shù)姆椒ń忸}．立體幾何的解題過程就是邏輯推理的過程，也是不斷進行代數(shù)運算、幾何直觀的過程.如點、線、平面之間的位置關系的知識結構圖：對學生而言，還應將下面第五點中的解題方法融入其中，才能形成良好的認知結構.（三）領悟兩種互化【指點迷津】1.數(shù)學語言的相互轉化.線線、線面、面面的判定定理和性質定理的文字語言、符號語言、圖形語言的相互轉化，是證明空間平行（垂直）的前提.如我們常把“面面平行（垂直）問題”轉化為“線面平行（垂直）問題”，再轉化為“線線平行（垂直）問題”．在解決平行（垂直）關系的判定時，一般遵循從“低維”向“高維”的轉化；而應用性質定理時，其順序則正好相反．2.空間與平面的相互轉化.空間問題平面化是解決立體幾何問題的基本策略，不能僅是當成一句口號，要將它落實到對立體幾何的定義、定理中，應用到求解立體幾何問題中，這是我們研究和解決立何幾何問題的思維模式.上述的兩種轉化，也體現(xiàn)了數(shù)學學習對立統(tǒng)一的辯證思維，它可以幫助學生學會數(shù)學地閱讀、理解、交流，進而更深刻地理解立體幾何問題，并學會解決問題.【例5】（2016年新課標1卷理18）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是．（=1\*ROMANI）證明：平面ABEF平面EFDC；（=2\*ROMANII）求二面角E-BC-A的余弦值．【解析】（I）由已知可得，，所以平面．又平面，故平面平面．（II）過作，垂足為，由（I）知平面．以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系．由（I）知為二面角的平面角，故，則，，可得，，，．由已知，，所以平面．又平面平面，故，．由，可得平面，因此BE⊥EF，BE⊥EC，所以為二面角的平面角，．從而可得．所以，，，．設是平面的法向量，則，即，所以可?。O是平面的法向量，則，同理可?。畡t．故二面角的余弦值為．【名師點睛】上述證明用到了六個線面平行與垂直的判定定理和性質定理及其相互轉化，以及蘊涵證題過程中空間與平面的相互轉化的思維策略.（四）分析與綜合并用【指點迷津】分析法與綜合法是數(shù)學的基本思維方式之一，必須要遵循的，它有助于推理論證能力的培養(yǎng).事實上，求解立何幾何問題中，在觀察圖形并弄清條件和結論的基礎上，我們要兩頭并進，常常需要進行這樣的追問：1.由條件想性質：“由條件可以得到什么”，如題目中有直線與平面平行或垂直、平面與平面平。行或垂直這樣的條件，可以聯(lián)想這種位置關系的性質定理是什么？能得到什么？需要添加什么樣的輔助線（或面）？這樣一想，有時解題思路會很快在頭腦中形成.2.由結論想判定：“結論需要什么條件才能成立”如果題目要證直線與平面平行或垂直、平面與平面平行或垂直這樣的結論，可以聯(lián)想這種位置關系的判定定理是什么？根據(jù)這個判定定理，結合已知條件，定理中哪些條件已經(jīng)有了？還需要什么條件？需要添加什么樣的輔助線或輔助面？【例6】(2008全國大綱卷文18)四棱錐中，底面為矩形，側面底面，，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）略．【解析】條件中給出面面垂直，則由面面垂直的性質定理可知，可以在其中一個平面內(nèi)作（找）一條直線與交線垂直，同時還能由線面垂直得到線面垂直，結合條件，故過A點可引中垂線.而結論要求（Ⅰ）證，可設想其中一直線垂直于過另一直線的垂線，兩頭一對接，思路就產(chǎn)生了.（Ⅰ）取中點，連接交于點，，，又面平面，平面，．與相似，，即，平面，．（五）活用求解方法 【指點迷津】1.一般來說，解決立體幾何問題的方法包括傳統(tǒng)法與向量法.用傳統(tǒng)法解決問題時，能夠看清問題的實質，但面對復雜的問題時，有難度，需要較強的空間想象能力和邏輯思維能力；用向量法解決立體問題，具有模式可遵循，體現(xiàn)了它的優(yōu)勢.具體解決問題時，要具體分析，靈活選用，才能提高解決問題的能力.2.重視對典型問題求解的基本思想方法的掌握，做到應用自如，形成技巧.如有關多面體的三視圖問題，常構造“長方體”或“正方體”，即可輕松破解此類問題．以球為背景的多面體或旋轉體與其切接問題，常需利用“優(yōu)美直角三角形”或構造長方體給予解決．求不規(guī)則的幾何體的體積常用“割補法”和“等體積變換法”等．常用向量法求空間角：求異面直線所成的角就是先求出兩異面直線的方向向量，再求出這兩向量的夾角的余弦值的絕對值，即為該兩異面所成角的余弦值．求線面所成角就是求出該直線的方向向量與該平面的法向量，再利用兩向量的夾角的余弦值的絕對值，即可得到線面所成角的正弦值．求二面角就是求出兩個平面的法向量，再求出這兩向量的夾角的余弦值，判斷空間幾何體的特征，從而得空間二面角的大小，注意這三種角的取值范圍與所成角公式的區(qū)別點．對不易直接求點面距離的問題，通過構造三棱錐，把問題轉化為求三棱錐的高，再利用等體積法，轉化為易求的三棱錐的高的體積，通過方程思想，即可求出三棱錐的高，從而得到所求的點面距離．【例7】（2017年新課標Ⅱ卷理19）如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中點．（I）證明：直線平面PAB；（II）略【解析】1.要證線面平行，根據(jù)直線與平面平行的判定定理，需要在平面PAB中找一條直線與直線平行；2.要證線面平行，根據(jù)面面平行的性質定理，需要過直線作一個與平面PAB平行的平面；3.通過向量運算解決平行問題.解法1（作相交截面）如圖1，過沿作截面，交平面于，證.解法2（作平行截面）如圖2，過作平行于平面的截面，交于，證，.解法3（空間向量）由.知直線平面PAB.【名師點評】空間向量是解決立體幾何的一個新工具，處理立體幾何問題往往可以省去許多不必要的麻煩，其突出的特點是以算代證．（六）規(guī)范解題過程【指點迷津】在平時的立體幾何的考試訓練中，加強審題能力（讀題與觀圖），強化立體幾何解題的規(guī)范性訓練，同時加強邏輯表達能力的訓練，并提升運算求解能力（如空間的點的坐標、向量的坐標，以及法向量的計算一定不要出錯）．加強規(guī)范化訓練是提高成績的保證，立體幾何解答題的證明過程要做到“步步有理有據(jù)”，要分清主次，要理清哪些步驟是必須寫的（如建立空間直角坐標系方面，不被“圖”迷惑了雙眼，需找準或盯準兩兩垂直的“三只腳”．建立空間直角坐標系，既要注意建成右手系，還需注意圖形的畫與標注），即得分點，哪些步驟是可以在演草紙上演算的，只有“精”寫過程，才能節(jié)約時間，答題過程也才能簡捷、清晰．當然“精”寫過程是建立在寫全步驟的基礎之上的，任何的“跳步”書寫都容易產(chǎn)生歧義，都是要失分的．除了步驟要寫“精”以外，結果還要做“對”．“會而不對”的現(xiàn)象是很常見的，這也是制約“得分”的“致命點”．在訓練之后，應盡可能的及時訂正，從根源上找到錯因所在，適時總結知識上存在的不足,真正做到審題到位，思維全，下筆準，答題快．【新題好題訓練】1．已知底面是正方形的直四棱柱的外接球的表面積為，且，則與底面所成角的正切值為（）A.B.C.D.【答案】C2．在三棱錐中，，，，，，且三棱錐的外接球的表面積為，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵，，∴∴∵，∴三棱錐的外接球是以，，為棱的長方體的外接球，長方體的對角線為外接球的直徑.∵三棱錐的外接球的表面積為∴外接球的半徑為，即.∴，即.故選B.點睛：本題考查了有關球的組合體問題，解答時要認真審題，注意球的性質的合理運用，求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）利用球的截面的性質，球心與截面圓心的連線垂直截面，同時球的半徑，小圓的半徑和球心到截面的距離滿足勾股定理，求得球的半徑，即可求解求得表面積與體積．3．甲、乙兩個幾何體的三視圖如圖所示（單位相同），記甲、乙兩個幾何體的體積分別為，，則（）A.B.C.D.【答案】D∴故選D.點睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側視圖，確定組合體的形狀.4．設直三棱柱ABC-A1B1C1的所有頂點都在一個球面上，且球的表面積是40π，AB=AC=AA1，∠BAC=120°，則此直三棱柱的高是________.【答案】【解析】設三角形BAC邊長為，則三角形BAC外接圓半徑為，因為所以即直三棱柱的高是.5．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________．【答案】【解析】由三視圖可知,該幾何體是由半個圓柱和一個三棱錐構成,故體積為.6．如圖，在四棱錐中，，且.(Ⅰ)證明：平面平面；(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.【答案】①見解析；②.【解析】試題分析：（1）由,可證明，進而證出面面垂直；（2）取的重點，建立如圖所示的空間直角坐標系，令,則，則，求出兩個面的法向量，即可利用向量夾角公式求出.②取的重點，建立如圖所示的空間直角坐標系，令,則，則所以令平面的法向