高考數(shù)學(xué)專題立體幾何初步《棱柱、棱錐和棱臺》突破解析

第13章立體幾何初步13.1基本立體圖形13.1.1棱柱、棱錐和棱臺必備知識基礎(chǔ)練1.下列關(guān)于棱柱的說法中,錯(cuò)誤的是()A.三棱柱的底面為三角形B.一個(gè)棱柱至少有五個(gè)面C.若棱柱的底面邊長相等,則它的各個(gè)側(cè)面全等D.五棱柱有5條側(cè)棱、5個(gè)側(cè)面,側(cè)面為平行四邊形答案C解析顯然選項(xiàng)A正確;底面邊數(shù)最少的棱柱是三棱柱,它有五個(gè)面,故B正確;若棱柱的底面邊長相等,它的各個(gè)側(cè)面為平行四邊形,即邊長相等,但夾角不一定相等,故C錯(cuò)誤;D正確.2.如圖所示,截去正方體一角得到的新多面體的面數(shù)是()A.8 B.7 C.6 D.5答案B解析截去正方體一角得到的新多面體多了一個(gè)面,故面數(shù)為7.3.(2020山東青島檢測)設(shè)集合M={正四棱柱},N={長方體},P={直四棱柱},Q={正方體},則這四個(gè)集合之間的關(guān)系是()A.P?N?M?Q B.Q?M?N?PC.P?M?N?Q D.Q?N?M?P答案B解析根據(jù)定義知,正方體是特殊的正四棱柱,正四棱柱是特殊的長方體,長方體是特殊的直四棱柱,所以{正方體}?{正四棱柱}?{長方體}?{直四棱柱},故選B.4.一個(gè)棱臺至少有個(gè)面,面數(shù)最少的棱臺有個(gè)頂點(diǎn),有條棱.

答案5695.紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北,現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開,外面朝上展平,得到如圖所示的平面圖形,則標(biāo)“△”的面的方位是.

答案北6.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,若AB⊥AD且AB=3,AD=4,AA1=5,則AC1的長為.

答案52解析依題意該直四棱柱為長方體,∴AC12=AB2+AD2+AA12=32+42+52=50,∴AC17.如圖,在正方形ABCD中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),沿圖中虛線將3個(gè)三角形折起,使點(diǎn)A,B,C重合,重合后記為點(diǎn)P.問:(1)折起后形成的空間圖形是什么空間圖形?(2)若正方形邊長為2a,則每個(gè)面的三角形面積為多少?解(1)如圖折起后的空間圖形是三棱錐.(2)S△PEF=12a2,S△DPF=S△DPE=12×2a×a=a2,S△DEF=4a2-12a2-2a2=3關(guān)鍵能力提升練8.如圖都是正方體的平面展開圖,還原成正方體后,其中兩個(gè)完全一樣的是()A.(1)(2) B.(2)(3)C.(3)(4) D.(1)(4)答案B解析圖(1)還原后,①⑤對面,②④對面,③⑥對面;圖(2)還原后,①④對面,②⑤對面,③⑥對面;圖(3)還原后,①④對面,②⑤對面,③⑥對面;圖(4)還原后,①⑥對面,②⑤對面,③④對面.綜上,可得還原成正方體后,其中兩個(gè)完全一樣的是(2)(3).9.用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截得的棱臺上、下底面積之比為1∶4,截去的棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離為3,則棱臺的上、下底面的距離為()A.12 B.9 C.6 D.3答案D解析設(shè)原棱錐的高為h,由題意得3h2=14,則h=6,因而棱臺的高為3,故選D.10.如圖,能推斷這個(gè)幾何體可能是三棱臺的選項(xiàng)是()A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1答案C解析選項(xiàng)A中,A1B1AB≠B1C1BC,故A不符合題意;選項(xiàng)B中,B1C1BC≠A1C1AC,11.(多選)下列說法不正確的是()A.棱臺的兩個(gè)底面相似B.棱臺的側(cè)棱長都相等C.棱錐被平面截成的兩部分是棱錐和棱臺D.棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形答案BCD解析由棱臺的定義知A正確,B,C不正確;棱柱的側(cè)棱都相等且互相平行,且側(cè)面都是平行四邊形,但側(cè)面并不一定全等,D不正確.12.(多選)下面圖形中是正方體平面展開圖的是()答案AC解析由正方體平面展開圖的性質(zhì)知,A,C是正方體的平面展開圖;B不能折成正方體;D折疊后有一個(gè)面重合,另外還少一個(gè)面,故不能折成正方體.13.一個(gè)長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是2,3,6,答案6解析設(shè)長方體長、寬、高分別為x,y,z,則yz=2,xz=3,yx=6,三式相乘得x2y2z2=6,即xyz=6,解得x=3,y=2,z=1,所以x214.試從正方體ABCD-A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)中任取若干,連接后構(gòu)成以下空間圖形,作出圖形并且用適當(dāng)?shù)姆柋硎境鰜?(1)只有一個(gè)面是等邊三角形的三棱錐;(2)四個(gè)面都是等邊三角形的三棱錐;(3)三棱柱.解(1)如圖①所示,三棱錐A1-AB1D1(答案不唯一).(2)如圖②所示,三棱錐B1-ACD1(答案不唯一).(3)如圖③所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).15.如圖,在一個(gè)長方體的容器中裝有少量水,現(xiàn)將容器繞著其底部的一條棱傾斜,在傾斜的過程中:(1)水面的形狀不斷變化,可能是矩形,也可能變成不是矩形的平行四邊形,對嗎?(2)水的形狀也不斷變化,可以是棱柱,也可能變?yōu)槔馀_或棱錐,對嗎?(3)如果傾斜時(shí)不是繞著底部的一條棱,而是繞著其底部的一個(gè)頂點(diǎn),上面的第(1)題和第(2)題對不對?解(1)不對.水面的形狀就是用一個(gè)與棱(將長方體傾斜時(shí)固定不動(dòng)的棱)平行的平面截長方體時(shí)截面的形狀,因而可以是矩形,但不可能是非矩形的平行四邊形.(2)不對.水的形狀就是用與棱(將長方體傾斜時(shí)固定不動(dòng)的棱)平行的平面將長方體截去一部分后剩余部分的空間圖形,此空間圖形是棱柱,水比較少時(shí),是三棱柱,水多時(shí),可能是四棱柱或五棱柱,但不可能是棱臺或棱錐.(3)用任意一個(gè)平面去截長方體,其截面形狀可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形,因而水面的形狀可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形,水的形狀可以是棱錐、棱柱,但不可能是棱臺,故此時(shí)(1)對,(2)不對.學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,A1A=5,現(xiàn)有一只甲殼蟲從點(diǎn)A出發(fā)沿長方體表面爬行到點(diǎn)C1來獲取食物,試畫出它的最短爬行路線,并求其路程的最小值.解把長方體的部分面展開,如圖,有三種情況.對甲、乙、丙三種展開