廣東高考導(dǎo)與練文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)大題沖關(guān)集訓(xùn)(四)立體幾何中的熱點(diǎn)問(wèn)題(含答案詳析)

大題沖關(guān)集訓(xùn)(四)(2013廣東十校聯(lián)考)在以下列圖的幾何體中,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BDCD.求證:AE∥平面BCD;求三棱錐DBCE的體積.(1)證明:取BC的中點(diǎn)M,連接DM、AM,由于BD=CD,所以DM⊥BC,又由于平面BCD⊥平面ABC,BC為交線(xiàn),所以DM⊥平面ABC,由于A(yíng)E⊥平面ABC,所以AE∥DM,又由于A(yíng)E?平面BCD,DM?平面BCD,所以AE∥平面BCD.(2)解:由(1)知AE∥DM,在△BCD中,CD⊥BD,CD=BD,所以MD=BC=1=AE,所以四邊形AMDE是平行四邊形,所以DE∥AM,且DE=AM=,由于DM⊥平面ABC,所以DM⊥AM,又AM⊥BC,BC∩DM=M,所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD,則==S△BCD·DE=×·BC·DM·DE=××2×1×=.以下列圖,在體積為1的三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AA1=1,P為線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn).求證:CA1⊥C1P;線(xiàn)段AB上可否存在一點(diǎn)P,使周?chē)wPAB1C1的體積為?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)P的地址;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明原由.證明:易知四邊形ACC1A1為正方形,所以CA1⊥AC1.由AC⊥AB,AA1⊥底面ABC知AB⊥平面AA1C1C,所以CA1⊥AB.又AB∩AC1=A,所以CA1⊥平面C1AP,故CA1⊥C1P.解:存在.由于=--=1--=,所以當(dāng)PAB1C1的體積為時(shí),P為AB的中點(diǎn).3.(2013深圳一調(diào))如圖甲,☉O的直徑AB=2,圓上兩點(diǎn)C,D在直徑AB的兩側(cè),使∠CAB=,∠DAB=.沿直徑AB折起,使兩個(gè)半圓所在的平面互相垂直(如圖乙),F為BC的中點(diǎn),E為AO的中點(diǎn).依照?qǐng)D乙解答以下各題:求三棱錐CBOD的體積;求證:CB⊥DE;在上可否存在一點(diǎn),使得FG∥平面ACD?若存在,試確定點(diǎn)G的地址;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明原由.解:∵C為圓周上一點(diǎn),且AB為直徑,∴∠C=90°.∵∠CAB=,AC=BC,O為AB的中點(diǎn),∴CO⊥AB,AB=2,∴CO=1.∵兩個(gè)半圓所在平面ACB與平面ADB互相垂直且其交線(xiàn)為AB,CO⊥平面ABD,CO⊥平面BOD.CO就是點(diǎn)C到平面BOD的距離,在Rt△ABD中,S△BOD=S△ABD=

××1×

=,=S△BOD·CO=××1=.(2)證明:在△AOD中,∵∠OAD=60°,OA=OD,∴△AOD為正三角形,又∵E為OA的中點(diǎn),∴DE⊥AO,∵兩個(gè)半圓所在平面ACB與平面ADB互相垂直且其交線(xiàn)為AB,DE⊥平面ABC,∴CB⊥DE.解:存在,G為的中點(diǎn),證明以下:連接OG,OF,FG,∴OG⊥BD,∵AB為☉O的直徑,AD⊥BD,∴OG∥AD,OG?平面ACD,AD?平面ACD,OG∥平面ACD.在△ABC中,O,F分別為AB,BC的中點(diǎn),OF∥AC,OF?平面ACD,∴OF∥平面ACD,OG∩OF=O,∴平面OFG∥平面ACD,又FG?平面OFG,∴FG∥平面ACD.4.(2013潮州市高三期末質(zhì)檢)已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=,AB=BC=2AD=4,E,F分別是AB,CD上的點(diǎn),EF∥BC,AE=x.沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF(如圖),G是BC的中點(diǎn).當(dāng)x=2時(shí),求證:BD⊥EG;當(dāng)x變化時(shí),求三棱錐DBCF的體積f(x)的函數(shù)式.證明:作DH⊥EF,垂足為H,連接BH,GH,EG,∵平面AEFD⊥平面EBCF,交線(xiàn)為EF,DH?平面AEFD.DH⊥平面EBCF,又EG?平面EBCF,故EG⊥DH,EH=AD=BC=BG,EF∥BC,∠ABC=90°.∴四邊形BGHE為正方形,故EG⊥BH.又BH,DH?平面DBH,且BH∩DH=H,故EG⊥平面DBH.又BD?平面DBH,故EG⊥BD.(2)解:∵AE⊥EF,平面AEFD⊥平面EBCF,交線(xiàn)為EF,AE?平面AEFD.AE⊥平面EBCF.又由(1)知DH⊥平面EBCF,故AE∥DH,∴四邊形AEHD是矩形,DH=AE,故以F,B,C,D為極點(diǎn)的三棱錐DBCF的高DH=AE=x.又S△BCF=BC·BE=×4×(4-x)=8-2x.∴三棱錐DBCF的體積f(x)=S△BFC·DH=S△BFC·AE=(8-2x)x=-x2+x.5.(2013山東濰坊一模)以下列圖,四邊形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,點(diǎn)E、F分別在BC、AD上,EF∥AB.現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC,設(shè)AD中點(diǎn)為P.當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí),求證:CP∥平面ABEF.設(shè)BE=x,問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí),三棱錐ACDF的體積有最大值?并求出這個(gè)最大值.解:(1)取AF的中點(diǎn)Q,連QE、QP,則QPDF,又DF=4,EC=2,且DF∥EC,所以QPEC,即四邊形PQEC為平行四邊形,所以CP∥EQ,又EQ?平面ABEF,CP?平面ABEF,故CP∥平面ABEF.(2)由于平面ABEF⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF,AF⊥EF,所以AF⊥平面EFDC.由已知BE=x,所以AF=x(0<x≤4),FD=6-x,故=S△CDF·AF=××2×(6-x)·x=(6x-x2)=[-(x-3)2+9]=-(x-3)2+3.所以,當(dāng)x=3時(shí),有最大值,最大值為3.6.(2013清遠(yuǎn)市高三調(diào)研)圖1是兩個(gè)全等的紙板梯形P1BCP2和P3CDP4疊合一起形成的,重疊部分是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD,P1A=P4A=2,P2D=P3B=2,將圖1中的四個(gè)紙板三角形沿虛線(xiàn)折起,使四點(diǎn)P1,P2,P3,P4聚為一點(diǎn)P,就形成了四棱錐PABCD,如圖2所示,其中E,F分別是AD,PB的中點(diǎn).(1)證明:AD⊥AF;證明:AF∥平面PEC;求三棱錐FAEC的體積.(1)證明:∵PA⊥AD,AD⊥AB,PA∩AB=A,AD⊥平面PAB.∵AF?平面PAB,∴AF⊥AD.(2)證明:取PC的中點(diǎn)G,連接FG,GE.FGBC