中國礦業(yè)大學周圣武概率論與數(shù)理統(tǒng)計4第四章-隨機變量的數(shù)字特征-2-PPT幻燈片

第三章§4.2方差

2.方差的性質(zhì)1.方差的定義3.幾種重要分布的方差

上一節(jié)我們介紹了隨機變量的數(shù)學期望，它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征.但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的.例如，某零件的真實長度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量10次，將測量結(jié)果X用坐標上的點表示如圖：若讓你就上述結(jié)果評價一下兩臺儀器的優(yōu)劣，你認為哪臺儀器好一些呢？乙儀器測量結(jié)果

甲儀器測量結(jié)果較好測量結(jié)果的均值都是a因為乙儀器的測量結(jié)果集中在均值附近

方差的算術(shù)平方根為X的方差。定義

設X是一個隨機變量，若存在，則稱稱為均方差或標準差。1.方差的概念注意：⒈是關于隨機變量X的函數(shù)的數(shù)學期望。離散型已知X分布律連續(xù)型已知X的概率密度命題計算方差的簡便公式⒉方差描述了X的取值與E(X)的偏離程度。證明

解比較量個人射擊的平均環(huán)數(shù)，甲的平均環(huán)數(shù)為

例1X

8

9

10

P

0.3

0.2

0.5

甲、乙兩人射擊，他們的射擊水平由下表給出：試問那個人的射擊水平較高？X：甲擊中的環(huán)數(shù)Y：乙擊中的環(huán)數(shù)Y

8

9

10

P

0.2

0.4

0.4

＝9.2(環(huán))乙的平均環(huán)數(shù)為＝9.2(環(huán))從平均環(huán)數(shù)上看，甲、乙射擊水平是一樣的。但兩人射擊環(huán)數(shù)的方差分別為：這表明乙的射擊水平比甲穩(wěn)定。設隨機變量X的概率密度為求D（X）。

例2解1.設C是常數(shù),則D(C)

=0;2.若C是常數(shù),則D(CX)=C2D(X);2.方差的性質(zhì)3.若X與Y獨立，則⒋若X與Y獨立，且a,b是常數(shù)，則⒌⒍其中一般情況：若X1,X2,…,Xn

相互獨立,則分布期望方差3．常見分布的期望與方差例3設X,Y是兩個相互獨立的且服從正態(tài)分布的隨機變量,且，則求隨機變量服從什么分布？解

Z為正態(tài)隨機變量的線性組合，所以仍然服從正態(tài)分布，且其參數(shù)為故例4設X,Y是兩個相互獨立的且均服從正態(tài)分布的隨機變量,則求隨機變量的數(shù)學期望解

記則故例5設X的可能取值為且，求X的分布律。解設

X的分布律為所以已知例6求的次數(shù)，對X獨立觀察4次，Y表示X的觀察值大于解

由題意可知例7設，且⑴求X和Y的聯(lián)合分布律;⑵求X+Y的方差。解

⑴

X,Y的取值都為-1和1，則⑵X+Y的分布律為練習題1.設X1,X2,…,Xn相互獨立，且都服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，令求E(Y),E(Z),D(Y),D(Z)。2.P106：1，2，33.設股票的價格St在適當?shù)母怕士臻g中的概率分布為其中常數(shù)r>0,σ>0。以該股票為標的資產(chǎn)，執(zhí)行價格為K的歐式看漲期權(quán)在當前時刻t的價值為求Ct。4.

設隨機變量X服從幾何分布，概率分布為P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…，求E(X),D(X)。0<p<1,5.附例在[0,1]中隨機地取兩個數(shù)X,Y,求D(min{X,Y})解110小結(jié)這一講，我們介紹了隨機變量的方差.它是刻劃隨機變量取值在其中心附近離散程度的一個數(shù)字特征.下一講，我們將介紹刻劃兩r.v間線性相關程度的一個重要的數(shù)字特征：協(xié)方差、相關系數(shù)問題

對于二維隨機變量(X,Y):已知聯(lián)合分布邊緣分布對二維隨機變量,除每個隨機變量各自的概率特性外,相互之間