統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)：第3章 分布數(shù)量特征的統(tǒng)計(jì)描述

第三章分布數(shù)值特征的統(tǒng)計(jì)描述第一節(jié)平均水平、集中趨勢(shì)和位置的度量第二節(jié)分布離散程度的度量第三節(jié)分布的偏度和峰度*1第一節(jié)平均水平、集中趨勢(shì)和位置的度量統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的含義與作用數(shù)值平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)

幾何平均數(shù)、冪平均數(shù)位置平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系2一、平均數(shù)的含義與作用含義社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體各單位某一標(biāo)志在一定時(shí)間、地點(diǎn)條件下所達(dá)到的一般水平。作用（1）反映總體各單位變量分布的集中趨勢(shì)和一般水平。（2）常用來進(jìn)行同類現(xiàn)象在不同空間、不同時(shí)間條件下的對(duì)比分析。（3）用于分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系34分類(1)數(shù)值平均數(shù)：以分配數(shù)列的所有各項(xiàng)數(shù)據(jù)來計(jì)算的平均數(shù)。特點(diǎn)：分配數(shù)列中任何一項(xiàng)數(shù)據(jù)的變動(dòng)，都會(huì)在一定程度上影響到數(shù)值平均數(shù)的計(jì)算結(jié)果。包括：算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)。(2)位置平均數(shù)：根據(jù)數(shù)列中處于特殊位置上的個(gè)別單位或部分單位的標(biāo)志值來確定的。包括：眾數(shù)和中位數(shù)。二、算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的概念及與強(qiáng)對(duì)相對(duì)指標(biāo)的區(qū)別算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算簡單算術(shù)平均數(shù)：適用于未分組的資料加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：已編制分配數(shù)列的情況下是非標(biāo)志平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)5（一）概念、與強(qiáng)對(duì)相對(duì)指標(biāo)的區(qū)別

6工人勞動(dòng)生產(chǎn)率全員勞動(dòng)生產(chǎn)率人均糧食產(chǎn)量人均糧食消費(fèi)量鋼鐵工人平均鋼產(chǎn)量人均鋼產(chǎn)量人均GDP人均石油消費(fèi)量7平均指標(biāo)還是強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)？（二）算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算簡單算術(shù)平均數(shù)：適用于未分組的資料加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：已編制分配數(shù)列的情況是非標(biāo)志平均數(shù)8引例：市場(chǎng)上有三種蘋果，甲種每斤2元，乙種每斤1.6元，丙種每斤1.2元。問：（1）三種蘋果各買一斤，則平均每斤價(jià)錢是多少？（2）甲種蘋果買2斤，乙種買3斤，丙種買5斤，則平均每斤價(jià)錢又是多少？1.簡單算術(shù)平均數(shù)

92.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)適用于已編制分配數(shù)列的情況，包括以下兩種：單項(xiàng)式數(shù)列的算術(shù)平均數(shù)組距式加權(quán)算術(shù)平均數(shù)10（1）單項(xiàng)式數(shù)列的算術(shù)平均數(shù)例：某機(jī)械廠工人日產(chǎn)零件數(shù)的分配數(shù)列。求工人的平均日產(chǎn)量。公式：11權(quán)數(shù)加權(quán)各組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)在計(jì)算平均數(shù)的過程中起著權(quán)衡輕重的作用，故常將其稱作“權(quán)數(shù)”。（2）組距式加權(quán)算術(shù)平均數(shù)例：某年我國80個(gè)產(chǎn)棉大縣的分配數(shù)列如表。求平均每縣產(chǎn)棉量。以組中值作為各組的代表值12注意：這里假定各組標(biāo)志值在組內(nèi)分布是均勻的。但一般來講，分布是不均勻的，結(jié)果與簡單算術(shù)平均不一樣。（3）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的頻率公式13成績（分）人數(shù)（人）比重（%）組中值（x）60以下6125560~7012246570~8019387580~9010208590~1003695合計(jì)50100－（4）權(quán)數(shù)的作用和形式14加權(quán)算術(shù)平均數(shù)受兩個(gè)因素的影響，一個(gè)是分配數(shù)列中各組的標(biāo)志值xi，另一個(gè)是各組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)fi。各組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)在計(jì)算平均數(shù)的過程中起著權(quán)衡輕重的作用，故常將其稱作“權(quán)數(shù)”。15

（5）正確選擇權(quán)數(shù)—當(dāng)從相對(duì)數(shù)或平均數(shù)求平均數(shù)時(shí)例：某管理局所屬15個(gè)企業(yè)銷售計(jì)劃完成情況資料如右表。請(qǐng)計(jì)算平均計(jì)劃完成程度。（注：計(jì)劃完成程度=實(shí)際完成數(shù)/計(jì)劃任務(wù)數(shù)）選擇權(quán)數(shù)的準(zhǔn)則：最終的平均指標(biāo)的涵義要符合原來相對(duì)指標(biāo)(平均指標(biāo))本身的涵義。此時(shí)選什么作為權(quán)數(shù)？163.是非標(biāo)志平均數(shù)—一種特殊的平均數(shù)是非標(biāo)志？17產(chǎn)品合格與否xf合格（是）1N1不合格（非）0N2合計(jì)—N18用上式得到的p，即是非標(biāo)志的平均數(shù)。也稱為總體中具有某種屬性的單位成數(shù)，簡稱成數(shù)。一般來講用p表示“是”所占的比重，q表示“非”所占的比重。（三）算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì) 性質(zhì)1：算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)志值個(gè)數(shù)的乘積等于各標(biāo)志值的總和簡單算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)1920性質(zhì)2：各單位標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于021性質(zhì)3：各單位標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方和為最小22性質(zhì)4*：對(duì)被平均的變量實(shí)施某些線性變換后，新變量的算術(shù)平均數(shù)等于對(duì)原變量的算術(shù)平均數(shù)實(shí)施同樣的線性變換的結(jié)果三、調(diào)和平均數(shù)（H）調(diào)和平均數(shù)的公式調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用場(chǎng)合23（一）調(diào)和平均數(shù)的公式調(diào)和平均數(shù)：又稱倒數(shù)平均數(shù)，是總體單位各標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。簡單調(diào)和平均數(shù)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)24在運(yùn)用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)時(shí)，如果各組權(quán)數(shù)相等，就可以采用簡單調(diào)和平均數(shù)（二）調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用場(chǎng)合調(diào)和平均數(shù)通常是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形，即當(dāng)已知各組的變量值x和算術(shù)平均數(shù)的分子數(shù)據(jù)（xf）而缺乏其分母數(shù)據(jù)（f）時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)通?？赏ㄟ^變形利用以分子數(shù)據(jù)（xf）為權(quán)數(shù)的調(diào)和平均數(shù)形式來計(jì)算。25例1：求工人平均日產(chǎn)量某工廠工人日產(chǎn)零件數(shù)資料如右所示（假設(shè)只知道x和m）。求工人平均日產(chǎn)量。26可以看出，已知分配數(shù)列各組標(biāo)志值及其標(biāo)志總量時(shí)，計(jì)算平均數(shù)可用加權(quán)調(diào)和平均法，權(quán)數(shù)m為各組的標(biāo)志總量。27例2：求平均利潤率某公司下屬三個(gè)部門銷售情況，求三個(gè)部門的平均利潤率28部門銷售利潤率（%）x利潤額（萬元）ABC12107120200105合計(jì)－425例3：求平均計(jì)劃完成程度例：某管理局所屬15個(gè)企業(yè)銷售計(jì)劃完成情況資料如下表：求平均計(jì)劃完成程度2930例4：求平均畝產(chǎn)已知某地區(qū)甲、乙、丙三個(gè)鄉(xiāng)糧食平均畝產(chǎn)和糧食總產(chǎn)量如表，求全區(qū)平均畝產(chǎn)。3132四、幾何平均數(shù)（一）公式幾何平均數(shù)是N項(xiàng)標(biāo)志值連乘積的N次方根。1.簡單幾何平均數(shù)2.加權(quán)幾何平均數(shù)33（二）應(yīng)用在某些情況下，若總體總量是由標(biāo)志值相乘得出，這時(shí)平均數(shù)就應(yīng)該用幾何平均數(shù)的方式來計(jì)算。34某產(chǎn)品經(jīng)過三個(gè)流水連續(xù)作業(yè)的車間加工生產(chǎn)而成，本月第一車間的產(chǎn)品合格率為90%，第二車間的產(chǎn)品合格率為80%，第三車間的產(chǎn)品合格率為70%。則全廠的總合格率為：這樣三個(gè)車間平均合格率為例1：平均合格率35例2：以復(fù)利計(jì)算利息時(shí)的平均利率假設(shè)p0為本金，r為利率，pn為n年后的本利和若以單利計(jì)算若以單利計(jì)算36可以看出，以復(fù)利計(jì)算利息時(shí)，n年后本利率的總量為n個(gè)（1+r）相乘，所以本利率的平均數(shù)用幾何平均數(shù)計(jì)算。例2：以復(fù)利計(jì)算利息時(shí)的平均利率

37冪平均數(shù)38

平均數(shù)方程五、眾數(shù)Mo出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值。在分配曲線圖上，眾數(shù)就是曲線的最高峰所對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值。1.未分組資料和單項(xiàng)式分組資料出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。2.組距分組數(shù)列先確定次數(shù)最多的眾數(shù)組，然后假定眾數(shù)組的標(biāo)志值的分布是均勻的。最后利用公式計(jì)算眾數(shù)的近似值。39例：組距式分組時(shí)眾數(shù)的求法402004年某市80個(gè)中型工業(yè)企業(yè)資料如何得到眾數(shù)上限或下限公式41眾數(shù)組的前一組眾數(shù)組的后一組眾數(shù)組例：分類數(shù)據(jù)的眾數(shù)42不同品牌飲料的頻數(shù)分布飲料品牌頻數(shù)比例百分比(%)

可口可樂旭日升冰茶百事可樂匯源果汁露露15119690.300.220.180.120.183022181218合計(jì)501100解：這里的變量為“飲料品牌”，這是個(gè)分類變量，不同類型的飲料就是變量值在所調(diào)查的50人中，購買可口可樂的人數(shù)最多，為15人，占總被調(diào)查人數(shù)的30%，因此眾數(shù)為“可口可樂”這一品牌，即

Mo＝可口可樂例：順序數(shù)據(jù)的眾數(shù)43解：這里的數(shù)據(jù)為順序數(shù)據(jù)。變量為“回答類別”甲城市中對(duì)住房表示不滿意的戶數(shù)最多，為108戶，因此眾數(shù)為“不滿意”這一類別，即

Mo＝不滿意甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)百分比(%)

非常不滿意不滿意一般滿意非常滿意24108934530836311510合計(jì)300100.0眾數(shù)的不唯一性無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):659855多于一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):25282836424244六、中位數(shù)將總體各單位按其標(biāo)志值大小順序排列，處于中點(diǎn)位置那個(gè)單位的標(biāo)志值，即為中位數(shù)。45（一）由未分組資料確定中位數(shù)未分組資料中位數(shù)確定方法：首先將各總體單位的標(biāo)志值，按照大小順序排列，然后確定中位數(shù)的位置，處于中位數(shù)的位置的標(biāo)志值就是中位數(shù)。46當(dāng)n為奇數(shù)當(dāng)n為偶數(shù)例：求未分組資料中位數(shù)(1)7個(gè)人的身高為：165、168、169、170、172、173、175cm，則中位數(shù)為x4=170cm(2)若8個(gè)人的身高為：165、168、169、170、172、173、175、179cm，則中位數(shù)為(x4+x5)/2=（170+172）/2，即171cm47（二）由單項(xiàng)式分組資料確定中位數(shù)確定方法：單項(xiàng)式分組已經(jīng)將資料序列化，這時(shí)總體單位數(shù)n=∑f，確定確定中位數(shù)的位置要通過累計(jì)次數(shù)計(jì)算。48當(dāng)∑f為奇數(shù)當(dāng)∑f為偶數(shù)例：求單項(xiàng)式分組資料中位數(shù)某工廠工人的月工資分配數(shù)列如表。49∑f＝30為偶數(shù)（三）由組距分組數(shù)列確定中位數(shù)(1)確定“中位數(shù)組”向上累計(jì)次數(shù)等于∑f/2(2)假定中位數(shù)組內(nèi)分布是均勻的，近似計(jì)算出中位數(shù)來。50向上累計(jì)時(shí)向下累計(jì)時(shí)例：求組距分組數(shù)列的中位數(shù)（1）確定“中位數(shù)組”?！苀/2=40，35<40≤55，中位數(shù)組為“20-30百萬元”這一組（2）假定中位數(shù)組內(nèi)分布是均勻的，

計(jì)算出中位數(shù)來。5120百萬元30百萬元第35個(gè)第55個(gè)第40個(gè)共20個(gè)例：順序數(shù)據(jù)的中位數(shù)定序尺度數(shù)據(jù)的中位數(shù)位置：n/252解：中位數(shù)的位置為300/2＝150

從累計(jì)頻數(shù)看，中位數(shù)在“一般”這一組別中。因此

Me=一般甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計(jì)頻數(shù)

非常不滿意不滿意一般滿意非常滿意2410893453024132225270300合計(jì)300—例：求眾數(shù)、中位數(shù)下表是某銀行月末活期存款余額及存款人數(shù)的資料，請(qǐng)計(jì)算存款余額眾數(shù)和中位數(shù)。53月末存款余額（元）存款人數(shù)（人）1000以下11501000-200017902000-300023103000-400020904000-500014505000以上800合計(jì)9590眾數(shù)=？中位數(shù)=？對(duì)中位數(shù)的解釋和應(yīng)用要謹(jǐn)慎54中位數(shù)可用于表示居于中間水平的數(shù)值大小。一般的解釋是：中位數(shù)將全部數(shù)據(jù)一分為二，一半數(shù)據(jù)小于它而另一半數(shù)據(jù)大于它。這個(gè)結(jié)論顯然只是對(duì)連續(xù)型分布曲線才成立，或在中位數(shù)數(shù)值沒有重復(fù)出現(xiàn)的情況下才成立。55如果中位數(shù)數(shù)值出現(xiàn)次數(shù)大于1，則上述含義就不符合實(shí)際了。例如下表中男女隊(duì)員的年齡中位數(shù)都是25歲，但不能說有一半隊(duì)員的年齡小于25，另一半隊(duì)員的年齡大于25。所以對(duì)中位數(shù)的上述解釋和應(yīng)用要謹(jǐn)慎。性別各個(gè)隊(duì)員的年齡（周歲）男性22222525252525303050女性22222525252525303030四分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)其他分位數(shù)四分位數(shù)是將數(shù)據(jù)由小到大排序后，位于全部數(shù)據(jù)1/4位置上的數(shù)值。十分位數(shù)是將數(shù)據(jù)由小到大排序后，位于全部數(shù)據(jù)1/10位置上的數(shù)值。百分位數(shù)是將數(shù)據(jù)由小到大排序后，位于全部數(shù)據(jù)1/100位置上的數(shù)值。中位數(shù)也就是第二個(gè)四分位數(shù)、第五個(gè)十分位數(shù)、第五十個(gè)百分位數(shù)。分位數(shù)與其它指標(biāo)結(jié)合，可以更詳細(xì)地反映數(shù)據(jù)的分布特征。56七、眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系（一）各自特點(diǎn)的比較*1.概括能力：算術(shù)平均數(shù)綜合反映了全部數(shù)據(jù)的信息，眾數(shù)和中位數(shù)由數(shù)據(jù)分布的特定位置所確定。2.耐抗能力：算術(shù)平均數(shù)要受數(shù)據(jù)中極端值的影響。而眾數(shù)和中位數(shù)幾乎不受極端值的影響。3.適用的數(shù)據(jù)類型：算術(shù)平均數(shù)適用于定距和定比數(shù)據(jù)，中位數(shù)還適用于定序數(shù)據(jù)，眾數(shù)適用于所有形式的數(shù)據(jù)。57584.算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)在任何一組數(shù)據(jù)中都存在而且具有惟一性，但計(jì)算和應(yīng)用眾數(shù)有兩個(gè)前提條件：（1）數(shù)據(jù)項(xiàng)數(shù)眾多；（2）數(shù)據(jù)具有明顯的集中趨勢(shì)5.算術(shù)平均數(shù)可以推算總體的有關(guān)總量指標(biāo)，而中位數(shù)和眾數(shù)則不宜用作此類推算。（二）數(shù)量關(guān)系59對(duì)稱分布右偏(正偏)分布左偏(負(fù)偏)分布皮爾生法則在適度偏態(tài)情況下，算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)的距離約等于算術(shù)平均數(shù)與中位數(shù)距離的三倍。即60例：皮爾生法則的應(yīng)用

61第二節(jié)分布離散程度的度量變異指標(biāo)的含義與作用極差*平均差*方差與標(biāo)準(zhǔn)差變異系數(shù)62為什么需要計(jì)算變異標(biāo)例1：如果你一只腳放在攝氏1度的水里，另一只腳放在攝氏79度的水里，平均水溫40度，你感覺舒服極了??？例2：張家有財(cái)一千萬，九個(gè)鄰居窮光蛋，平均起來算一算，個(gè)個(gè)都是張百萬。63顯然，只了解變量的集中趨勢(shì)是不夠的！一、變異指標(biāo)的含義用來描述總體中各單位的離中趨勢(shì)或離散程度的指標(biāo)。注意：數(shù)據(jù)分布的另一個(gè)重要特征分布的離中趨勢(shì)也可稱為分布的離散程度有多種不同的指標(biāo)用于測(cè)度離中趨勢(shì)64變異指標(biāo)的作用1.用于衡量平均指標(biāo)的代表性程度。例如：假定兩組學(xué)生身高資料如下：（單位：cm）

甲組：160，165，170，175，180。

乙組：168，169，170，171，172。兩組平均身高均為170cm。哪組平均身高的代表性更大？乙組各標(biāo)志值離散程度小，平均數(shù)170的代表性更大。65662.反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變動(dòng)的均勻性和穩(wěn)定性。在產(chǎn)品質(zhì)量控制中常常應(yīng)用這類指標(biāo)。3.利用變異指標(biāo)可研究總體標(biāo)志值分布偏離正態(tài)的情況。4.資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的度量4.變異指標(biāo)是統(tǒng)計(jì)分析的一個(gè)基本指標(biāo)?？捎糜诤饬拷y(tǒng)計(jì)推斷效果。變異指標(biāo)的種類（1）標(biāo)志變異指標(biāo)：反映總體中各變量值離散程度的指標(biāo)。極差或全距、平均差方差與標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)（2）分布變異指標(biāo)：描述分布狀態(tài)的指標(biāo)，說明統(tǒng)計(jì)分布偏離正態(tài)分布的情況。偏度、峰度67二、極差R（也稱全距）

68改進(jìn)方法：計(jì)算四分位差Q.D=(QU-QL)/2

QU-QL稱為“四分位間距”位次的確定：(n+1)/4、(n+1)/2、3(n+1)/4不受極端值的影響，但也沒有充分利用數(shù)列的全部信息。不能用于定類數(shù)據(jù)。69QLQMQU25%25%25%25%三、平均差是總體各單位標(biāo)志值對(duì)算術(shù)平均數(shù)的絕對(duì)離差的算術(shù)平均數(shù)。圖示如下：70平均差計(jì)算公式平均差反映各標(biāo)志值對(duì)平均數(shù)的平均距離，平均差越大，說明總體各標(biāo)志值越分散；平均差越小，說明各標(biāo)志值分布越集中。數(shù)學(xué)性質(zhì)不是十分理想，實(shí)踐中較少運(yùn)用。71例：求平均差例如：假定某車間兩個(gè)小組工人的月工資（元）資料如下。

甲：800，900，1000，1100，1200。

乙：900，950，1000，1050，1100。72四、方差與標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)定標(biāo)志變異程度最靈敏的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差與方差的數(shù)學(xué)性質(zhì)較為理想，是統(tǒng)計(jì)中最常用、也是最重要的變異指標(biāo)。7374將平均差公式中的絕對(duì)值符號(hào)換成平方，得到方差的公式，將方差開方根為標(biāo)準(zhǔn)差。公式如下：例：求方差管理學(xué)院某班學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績分組資料如下表所示，試計(jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差。解：學(xué)生成績的方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表如下：75按成績分組學(xué)生數(shù)fi組中值xixf60以下60～7070～8080～9090～100721251985565758595385136518751615760400100010040028002100019003200合計(jì)80—6000100010000方差的數(shù)學(xué)性質(zhì)1.變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減去變量平均數(shù)的平方。2.變量對(duì)算術(shù)平均數(shù)的方差小于對(duì)任意常數(shù)的方差。76方差的數(shù)學(xué)性質(zhì)3.n個(gè)同性質(zhì)獨(dú)立變量和的方差等于各個(gè)變量方差的和。4.n個(gè)同性質(zhì)獨(dú)立變量平均數(shù)的方差等于各變量方差平均數(shù)的。5.變量線性變換的方差等于變量的方差乘以變量系數(shù)的平方。77是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差是非標(biāo)志：?成數(shù)：總體中，是非標(biāo)志只有兩種表現(xiàn)，我們把具有某種表現(xiàn)或不具有某種表現(xiàn)的單位數(shù)占全部總體單位數(shù)的比重稱為成數(shù)。如，考試及格率、產(chǎn)品合格率等。一般而言具有某種特征的單位的成數(shù)（比重）記為p不具有某種特征的單位的成數(shù)記為q78是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差79標(biāo)志表現(xiàn)標(biāo)志值x次數(shù)f是非10N1N2(1-p)2(0-p)2合計(jì)—N—當(dāng)p=q=0.5時(shí)，0-1變量分布的方差有最大值，此時(shí)成數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差最大值等于0.5?？偡讲?、組內(nèi)方差和組間方差

80例：求組內(nèi)方差與組間方差

81標(biāo)準(zhǔn)化值*（Z-score）假定某班學(xué)生先后兩個(gè)兩次進(jìn)行了難度不同的綜合考試，某同學(xué)第一、二次考試的成績分別為92分和80分，那么全班相比較而言，他哪一次考試的成績更好呢？82標(biāo)準(zhǔn)化值

8384

五、變異系數(shù)85不同的