橢圓的簡單幾何性質(zhì)系列

關(guān)于橢圓的簡單幾何性質(zhì)系列第1頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五橢圓的定義圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)a,b,c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)

橢圓分母看大小焦點(diǎn)隨著大的跑12yoFFMx1oFyx2FMcabM第2頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五橢圓簡單的幾何性質(zhì)范圍：-a≤x≤a,-b≤y≤b

橢圓落在x=±a,y=±b組成的矩形中（如圖）oyB2B1A1A2F1F2cab1.觀察：x,y的范圍？2.思考：如何用代數(shù)方法解釋x,y的范圍？

-a≤x≤a,-b≤y≤b

一.范圍第3頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五二、橢圓的頂點(diǎn)令x=0，得y=？，說明橢圓與y軸的交點(diǎn)（），令y=0，得x=？,

說明橢圓與x軸的交點(diǎn)（）。*頂點(diǎn)：橢圓與它的對稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0,±b±a,0*長軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。a、b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。焦點(diǎn)總在長軸上!第4頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五三.橢圓的對稱性YXOP1（-x，y）P2（-x，-y）P3（-x，-y）P（x，y）

把(X)換成(-X),方程不變,說明橢圓關(guān)于()軸對稱；把(Y)換成(-Y),方程不變,說明橢圓關(guān)于()軸對稱；把(X)換成(-X),(Y)換成(-Y),方程還是不變,說明橢圓關(guān)于(

)對稱；YX原點(diǎn)

所以，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心。第5頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x練習(xí)：根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

第6頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五四、橢圓的離心率離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。[1]離心率的取值范圍：1）e越接近1，c就越接近a，從而b就越小，橢圓就越扁因?yàn)閍>c>0，所以0<e<1[2]離心率對橢圓形狀的影響：2）e越接近0，c就越接近0，從而b就越大，橢圓就越圓3）特例：e=0，則a=b，則c=0，兩個(gè)焦點(diǎn)重合，橢圓方程變?yōu)椋?？）yOx第7頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長離心率a、b、c的關(guān)系-a≤x≤a,-b≤y≤b關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為a,短半軸長為b.(a>b)知識歸納a2=b2+c2第8頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長離心率a、b、c的關(guān)系關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為a,短半軸長為b.(a>b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱長半軸長為a,短半軸長為b.(a>b)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2a2=b2+c2第9頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五例題1:

求橢圓9x2+4y2=36的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)。橢圓的長軸長是:離心率:焦點(diǎn)坐標(biāo)是:四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是:橢圓的短軸長是:2a=62b=4解題步驟：1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求a、b：2、確定焦點(diǎn)的位置和長軸的位置.解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程四、例題講解：第10頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五練習(xí):求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)。解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的長軸長是:離心率:焦點(diǎn)坐標(biāo)是:四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是:橢圓的短軸長是:2a=102b=8第11頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五例2:

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）；解：⑴方法一：設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，求出m＝1/9,n＝1/4。所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn)，于是焦點(diǎn)在長軸上，且點(diǎn)P、Q分別是橢圓長軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)，故a＝3，b＝2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）離心率為，經(jīng)過點(diǎn)（2,0）第12頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五練習(xí)：橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．分析：題目沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；解：（1）當(dāng)為長軸端點(diǎn)時(shí)，，，（2）當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，,，綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是或第13頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五二.離心率的常見題型及解法題型一：定義法例1.已知橢圓方程為+=1，求橢圓的離心率；1.直接算出a、c帶公式求eF2(c,0)xoyF1(-c,0)Pca2.幾何意義：e為∠OPF2的正弦值第14頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五3.已知a2、c2直接求e2

變式訓(xùn)練1：若橢圓+=1的離心率為1/2，求m的值.4.已知a2、b2不算c直接求e

第15頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五題型二：方程法例2.依據(jù)a,b,c,e的關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于a,c,的齊次式，解出e即可，但要注意橢圓離心率范圍是0<e<1F2(c,0)xoyF1(-c,0)A60°已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1和F2，A為橢圓上一點(diǎn)，且AF1⊥AF2

，∠AF2F1=60°，求該橢圓的離心率。第16頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五高考鏈接x60°p第17頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五三：向量法之垂直問題第18頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五變式訓(xùn)練橢圓+=1(a>b>0)的三個(gè)頂點(diǎn)為B1

(0，-b)，B2(0，b),A(a,0),焦點(diǎn)F(c,0)且B1F⊥AB2,求該橢圓的離心率。B2(0，b)B1(0，-b)A(a,0)F(c,0)xoy第19頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五

練習(xí)2：已知一橢圓的短軸長與焦距長相等，求橢圓的離心率。第20頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五五.小結(jié)1.知識點(diǎn)：求離心率的兩種常規(guī)方法：（1）定義法:求a,c或a、c的關(guān)系；（2）方程法:根據(jù)題上的相等關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于a,c的齊次式，解出e.2.思想方法：方程的思想，轉(zhuǎn)化的思想第21頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五橢圓的簡單幾何性質(zhì)2第22頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長離心率a、b、c的關(guān)系關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為a,短半軸長為b.(a>b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱長半軸長為a,短半軸長為b.(a>b)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2a2=b2+c2第23頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五二.離心率的常見題型及解法題型一：定義法例1.已知橢圓方程為+=1，求橢圓的離心率；1.直接算出a、c帶公式求eF2(c,0)xoyF1(-c,0)Pca2.幾何意義：e為∠OPF2的正弦值第24頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五3.已知a2、c2直接求e2

變式訓(xùn)練1：若橢圓+=1的離心率為1/2，求m的值.4.已知a2、b2不算c直接求e

第25頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五題型二：方程法例2.依據(jù)a,b,c,e的關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于a,c,的齊次式，解出e即可，但要注意橢圓離心率范圍是0<e<1F2(c,0)xoyF1(-c,0)A60°已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1和F2，A為橢圓上一點(diǎn)，且AF1⊥AF2

，∠AF2F1=60°，求該橢圓的離心率。第26頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五高考鏈接x60°p第27頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五三：向量法之垂直問題第28頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五變式訓(xùn)練橢圓+=1(a>b>0)的三個(gè)頂點(diǎn)為B1

(0，-b)，B2(0，b),A(a,0),焦點(diǎn)F(c,0)且B1F⊥AB2,求該橢圓的離心率。B2(0，b)B1(0，-b)A(a,0)F(c,0)xoy第29頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五

練習(xí)2：已知一橢圓的短軸長與焦距長相等，求橢圓的離心率。第30頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五五.小結(jié)1.知識點(diǎn)：求離心率的兩種常規(guī)方法：（1）定義法:求a,c或a、c的關(guān)系；（2）方程法:根據(jù)題上的相等關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于a,c的齊次式，解出e.2.思想方法：方程的思想，轉(zhuǎn)化的思想第31頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五高考鏈接（2012新課標(biāo)全國卷）設(shè)F1和F2是橢圓

+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x=上一點(diǎn)，△F2P

F1是底角為30°的等腰三角形，求該橢圓的離心率。F2(c,0)xoyF1(-c,0)x=3a/2P30°2c2cc2c=3a/2第32頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五六.課后練習(xí)2.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2

，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若為△F2PF1等腰直角三角形，求橢圓的離心率.1.若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距長成等差數(shù)列，求該橢圓的離心率.3.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1和F2，A為橢圓上一點(diǎn)，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=60°，求該橢圓的離心率。第33頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五1.橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，離心率，長軸長為6，則橢圓的方程為（）(A)(B)(C)(D)或或C2.若某個(gè)橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等差數(shù)列，則其離心率e=__________第34頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五已知橢圓的離心率，求的值由，得：解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，得．

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，得．由，得，即．∴滿足條件的或．練習(xí)2：已知橢圓的離心率，求的值第35頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五練習(xí)3：第36頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五例4：點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(4,0)的距離和它到定直線l:x=的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)M的軌跡。xyoFMlF1l’(橢圓的第二定義)準(zhǔn)線方程：第37頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五

解：如圖，設(shè)d是點(diǎn)M到直線L的距離，根據(jù)題意，所求軌跡的集合是：由此得：這是一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點(diǎn)M的軌跡是長軸、短軸分別是2a、2b的橢圓。點(diǎn)M（x,y）與定點(diǎn)F（c,0）的距離和它到定直線的距離比是常數(shù)求M點(diǎn)的軌跡。平方，化簡得：第38頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五若點(diǎn)F是定直線l外一定點(diǎn)，動點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到直線l的距離之比等于常數(shù)e(0＜e＜1)，則點(diǎn)M的軌跡是橢圓.MFHl新知探究動畫第二定義第39頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五

直線叫做橢圓相應(yīng)于焦點(diǎn)F2(c，0)的準(zhǔn)線，相應(yīng)于焦點(diǎn)F1(－c，0)的準(zhǔn)線方程是OxyF2F1新知探究第40頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五橢圓的準(zhǔn)線與離心率離心率：橢圓的準(zhǔn)線：oxyMLL’FF’離心率的范圍：相對應(yīng)焦點(diǎn)F（c,0），準(zhǔn)線是：相對應(yīng)焦點(diǎn)F（-c,0），準(zhǔn)線是：第41頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五1.基本量:a、b、c、e、幾何意義：a-長半軸、b-短半軸、c-半焦距，e-離心率；

相互關(guān)系：

橢圓中的基本元素2.基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心3.基本線:對稱軸（共兩條線），準(zhǔn)線焦點(diǎn)總在長軸上!課堂小結(jié)-—準(zhǔn)線第42頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五<例1>

橢圓+=1上一點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為10,則:點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為()A.14B.12C.10D.8第43頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五第44頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五【答案】

6第45頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五第46頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五第47頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五例3：第48頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五變式第49頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五1.若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)把兩準(zhǔn)線間的距離三等分,則:離心率e=______2離心率e=,且兩準(zhǔn)線間的距離為4的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________3.若橢圓的短軸長為2,長軸是短軸的2倍,則:中心到準(zhǔn)線的距離為()A.B.C.D.4.離心率e=,一條準(zhǔn)線方程為x=-求標(biāo)準(zhǔn)方程第50頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五橢圓的簡單幾何性質(zhì)3第51頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五例4：點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(4,0)的距離和它到定直線l:x=的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)M的軌跡。xyoFMlF1l’(橢圓的第二定義)準(zhǔn)線方程：第52頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五

解：如圖，設(shè)d是點(diǎn)M到直線L的距離，根據(jù)題意，所求軌跡的集合是：由此得：這是一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點(diǎn)M的軌跡是長軸、短軸分別是2a、2b的橢圓。點(diǎn)M（x,y）與定點(diǎn)F（c,0）的距離和它到定直線的距離比是常數(shù)求M點(diǎn)的軌跡。平方，化簡得：第53頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五若點(diǎn)F是定直線l外一定點(diǎn)，動點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到直線l的距離之比等于常數(shù)e(0＜e＜1)，則點(diǎn)M的軌跡是橢圓.MFHl新知探究動畫第二定義第54頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五

直線叫做橢圓相應(yīng)于焦點(diǎn)F2(c，0)的準(zhǔn)線，相應(yīng)于焦點(diǎn)F1(－c，0)的準(zhǔn)線方程是OxyF2F1新知探究第55頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五橢圓的準(zhǔn)線與離心率離心率：橢圓的準(zhǔn)線：oxyMLL’FF’離心率的范圍：相對應(yīng)焦點(diǎn)F（c,0），準(zhǔn)線是：相對應(yīng)焦點(diǎn)F（-c,0），準(zhǔn)線是：第56頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五1.基本量:a、b、c、e、幾何意義：a-長半軸、b-短半軸、c-半焦距，e-離心率；

相互關(guān)系：

橢圓中的基本元素2.基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心3.基本線:對稱軸（共兩條線），準(zhǔn)線焦點(diǎn)總在長軸上!課堂小結(jié)-—準(zhǔn)線第57頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五<例1>

橢圓+=1上一點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為10,則:點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為()A.14B.12C.10D.8第58頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五直線與橢圓的位置關(guān)系種類:相離(沒有交點(diǎn))相切(一個(gè)交點(diǎn))相交(二個(gè)交點(diǎn))第59頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五

直線與橢圓的位置關(guān)系的判定代數(shù)方法第60頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五1.位置關(guān)系：相交、相切、相離2.判別方法(代數(shù)法)

聯(lián)立直線與橢圓的方程消元得到二元一次方程組

(1)△>0直線與橢圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)；

(2)△=0直線與橢圓相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

(3)△<0直線與橢圓相離無公共點(diǎn)．通法知識點(diǎn)1.直線與橢圓的位置關(guān)系第61頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五例1：直線y=x+1與橢圓恒有公共點(diǎn),求m的取值范圍。題型一：直線與橢圓的位置關(guān)系變式練習(xí)：y=kx+1與橢圓恰有公共點(diǎn)，則m的范圍（）

A、（0，1）B、（0，5）

C、[1，5）∪（5，+∞）D、（1，+∞）第62頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五練習(xí)1.K為何值時(shí),直線y=kx+2和曲線2x2+3y2=6有兩個(gè)公共點(diǎn)?有一個(gè)公共點(diǎn)?沒有公共點(diǎn)?練習(xí)2.無論k為何值,直線y=kx+2和曲線交點(diǎn)情況滿足()A.沒有公共點(diǎn)B.一個(gè)公共點(diǎn)C.兩個(gè)公共點(diǎn)D.有公共點(diǎn)D第63頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五lmm第64頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五oxy第65頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五oxy思考：最大的距離是多少？第66頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五設(shè)直線與橢圓交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)兩點(diǎn)，直線P1P2的斜率為k．弦長公式：知識點(diǎn)2：弦長公式可推廣到任意二次曲線第67頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五例3：已知斜率為1的直線L過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB之長．第68頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五第69頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五第70頁，共79頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期五例5：已知橢圓