《相似三角形的判定與性質(zhì)-相似三角形的判定》-完整版課件

相似三角形的判定與性質(zhì)本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容3.4——3.4.1相似三角形的判定

在八年級上冊，我們已經(jīng)探討了兩個三角形全等的條件，下面我們來探討兩個三角形相似的條件.

為了研究滿足什么條件的兩個三角形相似，我們先來研究下述問題.動腦筋如圖，在△ABC中，D為AB上任意一點.過點D作BC的平行線DE，交AC于點E.（1）△ADE與△ABC的三個角分別相等嗎？（2）分別度量△ADE

與△ABC

的邊長，它們的邊長是否對應(yīng)成比例？（3）△ADE

與△ABC之間有什么關(guān)系？平行移動DE的位置，你的結(jié)論還成立嗎？我發(fā)現(xiàn)只要DE∥BC，那么△ADE

與△ABC是相似的．

在△ADE與△ABC中，∠A

=∠A.∵

DE∥BC，∴∠ADE

=∠B，∠AED=∠C.下面我們來證明：如上圖所示，過點D作DF∥AC，交BC于點F.∵

DE∥BC，

DF∥AC，∴F∵

四邊形DFCE為平行四邊形，∴

DE=FC.∴△ADE∽△ABC.∴F結(jié)論平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的三角形與原三角形相似.由此得到如下結(jié)論：舉例例1

如圖，在△ABC中，已知點D，E分別是AB，AC邊的中點.求證：△ADE∽△ABC.∴

△ADE∽△ABC.證明

∵

點D，E分別是AB，AC邊的中點，∴

DE∥BC.舉例例2

如圖，點D為△ABC的邊AB的中點，過點D作DE∥BC，交邊AC于點E.延長DE至點F，使DE=EF.求證：△CFE∽△ABC.證明

∵

DE∥BC，

點D為△ABC的邊AB的中點，∴AE=CE.又DE=FE，∠AED=∠CEF，∴

△ADE≌△CFE．∴

△CFE∽△ABC．∵

DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，練習(xí)如圖，在Rt△ABC中，∠C

=

90°．正方形EFCD的三個頂點E、F、D分別在邊AB，BC，AC上.

已知AC=7.5，BC=5，求正方形的邊長．1.解△ADE∽△ACB.由已知條件易知BC∥ED,由相似三角形的判定定理可得∴設(shè)正方形EFCD的邊長為x,則有答：正方形EFCD的邊長為3.解得

如圖，已知點O在四邊形ABCD的對角線AC上，OE∥BC，OF∥CD.試判斷四邊形AEOF與四邊形ABCD是否相似，并說明理由.2.解∵∴△AEO∽△ABC，△AFO∽△ADC.∴又∴四邊形AEOF∽四邊形ABCD.解OE∥BC，OF∥CD，解∵解動腦筋任意畫△ABC

和△，使∠A=∠，∠B=∠.（1）∠C=∠嗎？（2）分別度量這兩個三角形的邊長，它們是否對應(yīng)成比例？（3）把你的結(jié)果與同學(xué)交流，你們的結(jié)論相同嗎？由此你有什么發(fā)現(xiàn)？

我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形是相似的.在△的邊上截取點D，使=AB.過點D作DE∥，交于點E.下面我們來證明：DE如圖，在△ABC

與△中，已知，∠B=∠.∠A=∠在△ABC

與△DE

中，∵

，

=AB，

∠

=∠=∠B，∠A=∠又DE∥B′C′，∽△△∴∴△ABC△

△ABC△∽∴結(jié)論由此得到相似三角形的判定定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似.舉例例3

如圖，在△ABC

中，∠C=90°．從點D分別作邊AB，BC的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，DF與AB交于點H．求證：△DEH∽△BCA．舉例證明

∵

∠C=90°，DF⊥BC，∴∠BHF=∠A，∴∠DHE=∠A.又∠DEH=90°=∠C，DF∥AC.∴∴

△DEH∽△BCA（兩角分別相等的兩個三角形相似.)舉例例4

如圖，在Rt△ABC

與Rt△DEF中，∠C=90°，∠F=90°．若∠A=∠D，AB=5，BC=4，DE=

3，求EF的長．例4∴EF=2.4.∴△ABC∽△DEF.∴又AB=5，BC=4，DE=3，∵

∠C=90°，∠F=90°，

∠A=∠D，解練習(xí)

如圖，點E為平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點，連接AE，交CD于點F.請指出圖中有幾對相似三角形，并說明理由.1.答：有三對相似三角形.即△CEF∽△BEA.△ADF∽△EBA,△ADF∽△ECF,理由是每組三角形中有兩個角分別相等.Rt△ABC∽Rt△ACD.∴∴∴解∵∠ACB+∠A=90°，∠ACB+∠ECD=90°，2.如圖，AB⊥BD，ED⊥BD，點C是線段BD

的中點，且AC⊥CE.

已知ED=1，BD=4，求AB的長．∴∠A=∠ECD.任意畫△ABC

和△，使∠A=∠A′，（1）分別度量∠B和∠，∠C和∠的大小，它們分別相等嗎？（2）分別量出BC和的長，它們的比等于k嗎？（3）改變∠A或k的大小，你的結(jié)論相同嗎？由此你

有什么發(fā)現(xiàn)？動腦筋我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形是相似的.在△的邊上截取點D，使=AB.過點D作DE∥，交于點E.下面我們來證明：DE如圖，在△ABC

與△中，已知∠A=∠A′，∴∴∽△△∴∵

DE∥，又∴

=AC.∴

△ABC∽△A′B′C′.

∴

△A′DE≌△ABC.∵結(jié)論兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.結(jié)論由此得到相似三角形的判定定理2：例5舉例

如圖，在△ABC與△DEF中，已知∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求證：△ABC∽△DEF.例5舉例證明

∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，∴∴又∠C=∠F=70°，△ABC∽△DEF∴（兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似）.例6舉例

如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的高，且求證：∠ACB=90°.證明

∵

CD是邊AB上的高，∴

∠ADC=∠CDB=90°.又∴

△ACD∽△CBD.∴

∠ACD=∠B.∴

∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°.練習(xí)如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，求AD的長．1.解∵△ABC∽△ACD.∴∴∴∠B=∠ACD,又如圖，點B，C分別在△ADE的邊AD，AE上，且AC=6，AB=

5，EC=

4，DB=7.求證：△ABC∽△AED．2.證明

∵∴∠CAB=∠DAE,又∴△ABC∽△AED．動腦筋

任意畫兩個三角形△ABC

和△，使△ABC的邊長是△

的邊長的k倍.

分別度量∠A和∠

，∠B和∠

，∠C和∠

的大小，它們分別相等嗎？由此你有什么發(fā)現(xiàn)？

我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形是相似的．在△的邊上截取點D，使=AB.過點D作DE∥，交于點E.如圖，在△ABC

與△中，已知下面我們來證明：DE△∽△∴∴∴△

△ABC∴∵

DE∥

又=AB，DE△ABC∽△∴結(jié)論三邊成比例的兩個三角形相似.由此得到相似三角形的判定定理3：舉例例7

如圖，在Rt△ABC和Rt中，∠C=90°，∠

=90°，求證：

Rt△ABC∽△△Rt分析已知兩邊成比例，只要得到三邊成比例，即可完成證明.則證明設(shè)由勾股定理，得∴∴∴Rt△ABC∽△Rt（三邊成比例的兩個三角形相似）判斷下圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由.舉例例8解在△ABC中，AB＞BC＞CA，在△DEF中，DE＞EF＞FD，∵∴△DEF∽△ABC.∴練習(xí)如圖，已知點D，E，F(xiàn)分別是△ABC

三邊的中點，求證：△EDF∽△ACB.1.即DF、DE、EF是△ABC的三條中位線，證明∵點D，E，F(xiàn)分別是△ABC

三邊的中點，∴△EDF∽△ACB.∴判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由.2.解△在中，由勾股定理得在△ABC中，在△ABC中，由勾股定理得∴△∴三角形相似）（三邊成比例的兩個∴三角形相似）△ABC∴三角形相似）∽中考試題例1

如圖所示，已知△ACP∽△ABC，AC=4，AP=2，則AB的長為

.

8解因為△ACP∽△ABC，所以，所以BACP中考試題例2

已知ABC的三邊長分別為6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一邊長為4cm，當(dāng)△DEF的另