小學三年級奧數-17數陣圖

小學三年級奧數--17數陣圖小學三年級奧數--17數陣圖小學三年級奧數--17數陣圖V:1.0精細整理，僅供參考小學三年級奧數--17數陣圖日期：20xx年X月小學三年級奧數17數陣圖本教程共30講第17講數陣圖(二)上一講我們講了僅有一個“重疊數”的輻射型數陣圖的填數問題，這一講我們講有多個“重疊數”的封閉型數陣圖。例1將1～8這八個數分別填入右圖的○中，使兩個大圓上的五個數之和都等于21。分析與解：中間兩個數是重疊數，重疊次數都是1次，所以兩個重疊數之和為21×2-(1+2+…+8)=6。在已知的八個數中，兩個數之和為6的只有1與5，2與4。每個大圓上另外三個數之和為21-6=15。如果兩個重疊數為1與5，那么剩下的六個數2，3，4，6，7，8平分為兩組，每組三數之和為15的只有2+6+7=15和3+4+8=15，故有左下圖的填法。如果兩個重疊數為2與4，那么同理可得上頁右下圖的填法。例2將1～6這六個自然數分別填入右圖的六個○內，使得三角形每條邊上的三個數之和都等于11。分析與解：本題有三個重疊數，即三角形三個頂點○內的數都是重疊數，并且各重疊一次。所以三個重疊數之和等于11×3-(1+2+…+6)=12。1～6中三個數之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。如果三個重疊數是1，5，6，那么根據每條邊上的三個數之和等于11，可得左下圖的填法。容易發(fā)現，所填數不是1～6，不合題意。同理，三個重疊數也不能是3，4，5。經試驗，當重疊數是2，4，6時，可以得到符合題意的填法(見右上圖)。例3將1～6這六個自然數分別填入右圖的六個○中，使得三角形每條邊上的三個數之和都相等。分析與解：與例2不同的是不知道每邊的三數之和等于幾。因為三個重疊數都重疊了一次，由(1+2+…+6)+重疊數之和=每邊三數之和×3，得到每邊的三數之和等于[(1+2+…+6)+重疊數之和]÷3=(21+重疊數之和)÷3=7+重疊數之和÷3。因為每邊的三數之和是整數，所以重疊數之和應是3的倍數?？紤]到重疊數是1～6中的數，所以三個重疊數之和只能是6，9，12或15，對應的每條邊上的三數之和就是9，10，11或12。與例2的方法類似，可得下圖的四種填法：每邊三數之和=9每邊三數之和=10每邊三數之和=11每邊三數之和=12例4將2～9這八個數分別填入右圖的○里，使每條邊上的三個數之和都等于18。分析與解：四個角上的數是重疊數，重疊次數都是1次。所以四個重疊數之和等于18×4-(2+3+…+9)=28。而在已知的八個數中，四數之和為28的只有：4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。又由于18-9-8=1，1不是已知的八個數之一，所以，8和9只能填對角處。由此得到左下圖所示的重疊數的兩種填法：“試填”的結果，只有右上圖的填法符合題意。以上例題都是封閉型數陣圖。一般地，在m邊形中，每條邊上有n個數的形如下圖的圖形稱為封閉型m-n圖。與“輻射型m-n圖只有一個重疊數，重疊次數是m-1”不同的是，封閉型m-n圖有m個重疊數，重疊次數都是1次。對于封閉型數陣圖，因為重疊數只重疊一次，所以已知各數之和+重疊數之和=每邊各數之和×邊數。由這個關系式，就可以分析解決封閉型數陣圖的問題。前面我們講了輻射型數陣圖和封閉型數陣圖，雖然大多數數陣問題要比它們復雜些，但只要緊緊抓住“重疊數”進行分析，就能解決很多數陣問題。例5把1～7分別填入左下圖中的七個空塊里，使每個圓圈里的四個數之和都等于13。分析與解：這道題的“重疊數”很多。有重疊2次的(中心數，記為a)；有重疊1次的(三個數，分別記為b，c，d)。根據題意應有(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3，即a+a+b+c+d=11。因為1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分別為2，3，4才符合題意，填法見右上圖。

練習171.把1～8填入下頁左上圖的八個○里，使每個圓圈上的五個數之和都等于20。2.把1～6這六個數填入右上圖的○里，使每個圓圈上的四個數之和都相等。3.將1～8填入左下圖的八個○中，使得每條邊上的三個數之和都等于15。4.將1～8填入右上圖的八個○中，使得每條直線上的四個數之和與每個圓周上的四個數之和都相等。5.將1～7填入右圖的七個○，使得每條直線上的各數之和都相等。6.把1，3，5，7，9，11，13分別填入左圖中的七個空塊中，使得每個圓內的四個數之和都等于34。答案與提示練習17每個圓周的四數之和=12每個圓周的四數之和=13每個圓周的四數之和=14每個圓周的四數之和=15每個圓周的四數之和=163.提示：四個頂點數之和為15×4－(1＋2＋…＋8)=24，四個頂點數有3，6，7，8和4，5，7，8兩種可能。經試驗只有左下圖一個解。4.提示：每條直線或每個圓周上的四個數之和都等于(1＋2＋…＋8)÷7＝18。填法見右上圖。(填法不唯一)5.提示：頂上的數重疊2次，其它數都重疊1次。(1＋2＋…＋7)×2＋頂上