七年級數(shù)學(xué)下冊-相交線與平行線

第2講相交線與平行線知識導(dǎo)航1．三線八角．2．平行線與平行公理．3．平行線的判定．4．平行線的性質(zhì)．5．平移．【板塊一】平行線的判定?題型一三線八角方法技巧1．兩條直線被第三條直線所截形成的8個角中共有4對同位角，2對內(nèi)錯角，2對同旁內(nèi)角．.同位角形如字母尸（或倒置、反置）；內(nèi)錯角形如字母2（或反置）；同旁內(nèi)角形如字母U（或倒置、反置）..三種角講的都是位置關(guān)系，而不是大小關(guān)系，通常情況下，其大小是不確定的.【例1】在N1至N8這8個角中，同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角各有幾對，請分別寫出來.?題型二平行公理及其推論方法技巧（1）平行公理體現(xiàn)了平行線的存在性和唯一性，平行公理的推論體現(xiàn)了平行線的傳遞性，它們都可以作為以后推理的依據(jù).（2）平行公理中強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過直線外一點(diǎn)”，而垂線性質(zhì)中只要求“經(jīng)過一點(diǎn)”，不限定點(diǎn)是否在直線上.【例2】下列說法中正確的是（B）.A.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行B.平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直C.因為a//b,c//d，所以a//dD.一條直線的平行線只有一條?題型三平行線的判定——兩步導(dǎo)角證平行方法技巧.已知角相等導(dǎo)角證平行..通過角的數(shù)量關(guān)系證平行..通過同角（等角）的余角相等，對頂角相等，角平分線得等角，再證平行.【例3】如圖，已知CD平分/ACB,N1=N2,試判斷AC與DE的位置關(guān)系，并說明理由.

?題型四平行線的判定方法+平行公理推論證平行【例4】如圖，NA+ZB=180°,/EFC=ZQCG,試說明：AD〃EF.?題型五作輔助線證折線中的平行關(guān)系方法技巧有些平行線的證明,無法直接導(dǎo)出相等角,此時考慮連線或作平行線轉(zhuǎn)化角.【例5】如圖，在長方形ABCD中，點(diǎn)E在BA的延長線上，點(diǎn)F在BC的延長線上，AM平分NEAD,CN平分NDCF.⑴直接寫出圖中NABC的所有同位角；(2)求證：AM〃CN.針對練習(xí)1.一學(xué)員在廣場上練習(xí)駕駛汽車,兩次拐彎后,行駛的方向與原來的方向相同,這兩次拐彎的方向與角度可能是()A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°C.第一次向右拐50°,第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°,第二次向左拐130°.平面上有2018條直線，若qj4,H叼%〃a4,a4〃a5,a5Xa6,*a7,…，那么a1和a2018的位置關(guān)系是..如圖，直線AB,CD被直線EF所截，N1=N2,NCNF=NBME，那么AB〃CD,MP〃NQ,請說明理由.

.如圖，直線EF與直線AB,CD分別相交于點(diǎn)M,N,直線PT經(jīng)過點(diǎn)M,ZMQN=ZBMQ+ZQND,ZAMT=ZQND.⑴求證：〃NQ；(2)//D..在長方形ABCD中.⑴如圖1,若CD=3,BD=5,BC=4,AE±BD于點(diǎn)E,P是BD上一動點(diǎn)，連接CP,當(dāng)CP為何值時，CP/AE?說明理由；(2)如圖2,若ZADB=20°,P為BC上一動點(diǎn)，將三角形ABP沿AP翻折到三角形AEP位置，當(dāng)ZBAP等于多少度時AE/BD?說明理由.【板塊二】平行線的性質(zhì)?題型一利用平行線性質(zhì)導(dǎo)角方法技巧.在兩直線平行的前提下才存在同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)錯互補(bǔ)的結(jié)論,這是平行線特有的性質(zhì)..利用平行線的性質(zhì)構(gòu)建等角鏈.【例1】如圖，AF/CD,CB平分ZACD,BD平分ZEBF,且BC±BD，下列結(jié)論：①BC平分ZABE:②AC/BE:③/CBE+ZD=90°；④ZDEB=2ZABC,其中結(jié)論正確的個數(shù)有哪些?說明理由.?題型二利用角平分線的性質(zhì)與判定進(jìn)行計算與證明方法技巧利用已知得可知,思考結(jié)論看需知.【例2】如圖，DC/FP,Z1=Z2,ZFED=30°,ZAGF=80°,FH平分ZEFG.(1)說明：DC/AB；(2)求ZPFH的度數(shù).CC?題型三平行線間的距離方法技巧.平行線間的距離處處相等..夾在兩條平行線間的線段必須是和這兩條平行線垂直，否則其長度不是兩條平行線間的距離..夾在兩平行線間的圖形的等積變換.【例3】已知在梯形ABCD中，AD//BC,連接AC,BD相交于點(diǎn)O.(1)圖中有幾對面積相等的三角形?⑵若AD與BC之間的距離為a,AC=4,BD=5,求AD+BC的最大值.(用a表示)?題型四命題方法技巧(1)命題必須是一個完整的句子,而且這個句子必須對某件事情作出肯定或否定的判斷,二者缺一不可.⑵命題的內(nèi)容可以是幾何的，也可以是代數(shù)的，還可以是生活中的事情，如“如果a=b,那么a2=b2”,“末位數(shù)字是0或5的數(shù)能被5整除”，“這支粉筆是紅色的”等都是命題.(3)命題是判斷句,而判斷句可對可錯,因而命題所描述的關(guān)系可真可假,如“相等的角都是對頂角”,這個判斷雖是錯的,但仍然是命題.(4)疑問句、具體操作都不是命題,如“今天是星期天嗎?”就不是命題.【例4】判斷下列語句是不是命題，如果是命題，寫成“如果…，那么…”的形式，指出題設(shè)和結(jié)論,并指出是真命題還是假命題：(1)畫直線AB；(2)兩直線相交,有幾個交點(diǎn)?(3)等角的補(bǔ)角相等；(4)兩點(diǎn)確定一條直線.針對練習(xí)2.如圖，AD與BC交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在AD上，ZC=N3,N2=80°,N1+N3=140°,ZA=ND，求ZB的度數(shù)..如圖，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CD上，EC交AD于點(diǎn)G,BF交AD于點(diǎn)H,已知/A=ZAGE,/D=ZDGC.(1)試說明AB//CD；(2)若N1+N2=180°，且/BEC=2/B+60°，求/C的度數(shù)..如圖，點(diǎn)F在CA的延長線上，點(diǎn)E在CD的延長線上，已知AB/CD，/C=35°,AB是/FAD的平分線，/ADB=110°,求/BDE的度數(shù)..直線a上有一點(diǎn)A，直線b上有一點(diǎn)B，且a/b.點(diǎn)P在直線a,b之間，若PA=3,PB=4,則直線a,b之間的距離()A.等于7B.小于7C.不小于7D.不大于7TOC\o"1-5"\h\z.如圖，在△ABC中，AC±BC,CD±AB，垂足分別為C,D兩點(diǎn)，/1=/2,下列結(jié)論:①/3=/EDB；②/A=/3；③AC/DE；?Z2與/3互補(bǔ)；⑤/1=/EDB，其中正確的有()A.2個B.3個C.4個D.5個.如圖,在長方形內(nèi)畫了一些直線,已知其中有3塊面積分別是12,32,52的三角形、三角形、四邊形,那么圖中陰影部分的面積是()A.108B.96C.84D.72

.如圖1,將線段AB平移至CD，使點(diǎn)A與點(diǎn)D對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)C對應(yīng)，連接AD,BC.⑴填空：AB與CD的位置關(guān)系為,BC與AD的位置關(guān)系為;⑵點(diǎn)G，E都在直線DC上，/AGE=ZGAE,AF平分/DAE交直線CD于點(diǎn)F.①如圖2,若G,E為射線DC上的點(diǎn)，/FAG=30°,求NB的度數(shù)；②如圖3,若G,E為射線CD上的點(diǎn)，/FAG=，求NC的度數(shù)（結(jié)果用含的式子表示）.圖1圖2圖圖1圖2圖3【板塊三】閱讀理解填空、解答題?題型一閱讀理解填理由題方法技巧看圖,聯(lián)系上下文,運(yùn)用有關(guān)定理進(jìn)行合理填空.【例1】完成下列推理過程如圖，M,F兩點(diǎn)在直線CD上，AB〃CD,CB〃DE,BM、DN分別是NABC、NEDF的平分線，求證：BM//DN.證明：???BM、DN分別是NABC、NEDF的平分線，，N1=2NABC,N3=(角平分線定義).,?AB/CD,?，?N1=N2,NABC=()■:CB/DE,ANBCD=(),ANABC=NEDF,AN1=N3,AN2=()ABM/DN()?題型二閱讀理解和運(yùn)用【例2】如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,某同學(xué)為了探究這兩個角之間的關(guān)系,畫出了以下兩個不同的圖形,請你根據(jù)圖形完成以下問題：

TOC\o"1-5"\h\z⑴如圖1,如果AB〃CD,BE〃DR那么N1與N2的關(guān)系是；如圖2,如果AB//CD,BE//DR,那么N1與/2的關(guān)系是；(2)根據(jù)(1)的探究過程,我們可得出結(jié)論：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,那么這兩個角；(3)利用結(jié)論解決問題：如果有兩個角的兩邊分別平行,且一個角比另一個角的3倍少60°,則這兩個角分別是多少度?針對練習(xí)31.完成下面的證明：如圖，點(diǎn)D、E、F分別在線段AB、BC、AC上，連接DE、EF,DM平分NADE交EF于點(diǎn)M,N1+N2=180°,求證：NB=ZBED.證明：?.?/1+/2=180°(已知)，又???/1+NBEM=180°(平角定義)，?，?N2=NBEM(),???DM〃().??NADM=NB()NMDE=NBED()又：DM平分NADE(已知)，ANADM=NMDE(角平分線定義)，ANB=NBED().2.探究：如圖1,直線AB,BC,AC兩兩相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B,C,點(diǎn)D在線段AB上，過點(diǎn)D作DE//BC,交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF//AB，交BC于點(diǎn)F.若NABC=40°,求NDEF的度數(shù).請將下面的解答過程補(bǔ)充完整.解：：DE〃5。（已知），??.（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）IEF//AB（已知），AZABC=ZEFC（）,AZDEF=ZABC=40°（等量代換）.應(yīng)用：如圖2,四邊形BDEF中，BF/DE,DB/EF,ZF=2ZD—50°,點(diǎn)C在線段BF上，若ZFCE=ZCEF+10°,求ZCEF的度數(shù).【板塊四】運(yùn)用“中間等角”導(dǎo)角證兩線平行?題型一利用同角或等角的余角（或補(bǔ)角）相等導(dǎo)角方法技巧在已知條件為a+b=90°或a+b=180°的題目中，尋找第二對a+c=90°或a+c=180°,得出b=c.【例1】如圖，已知直線AB/DF,點(diǎn)G在射線BC上，射線DE分別交AB、AG于點(diǎn)H、M,ZD+ZB=180°.（1）求證：DE/BC；（2）如果ZAMD=80°,ZAHE=70°,ZEHB與ZMGC的平分線交于點(diǎn)P,求ZHPG的度數(shù).?題型二運(yùn)用等式的性質(zhì)證角相等方法技巧1.^ja=b,b=c,貝Ua=c；2.^ja=b，貝Ua+c=b+c.【例2】如圖，點(diǎn)B在AC上，AB/EF,Z1=Z2,Z3=Z4,AF與BE平行嗎?為什么??題型三反復(fù)運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)導(dǎo)角【例3】如圖，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CD上，N1=N2,NB=ZC,求證：AB〃CD.CFDCFD?題型四作適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造中間等角方法技巧有些題目給出的等角的位置不是三線八角中的基本角，這時作適當(dāng)?shù)妮o助線(連線，延長線或作平行線)來轉(zhuǎn)化角.【例4】如圖是一個漢字“互”字，其中點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上，點(diǎn)G在ME上，點(diǎn)F在NH上，GH//EF,Z1=Z2,ZMEF=ZGHN.求證：(1)NMGH=ZGHN；(2)AB/CD.題型三設(shè)兩個未知數(shù)，列關(guān)系式求解方法技巧題目中有兩個獨(dú)立未知角，一個已知方程不能求出未知角時，需列兩個方程求解．【例3】如圖1,在五邊形ABCDE中，AE/BC,ZA=ZC.(1)猜想AB與CD之間的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2,延長DE至點(diǎn)F,連接BE，若N1=N3,ZAEF=2/2,ZAED=2ZC—140°,求NC的度數(shù).圖1圖2題型四設(shè)兩個未知數(shù)列一個方程巧解角的度數(shù)題目中有兩個獨(dú)立未知角,只有一個等戲,這時設(shè)兩個未知數(shù),列一個方程,巧解所求角.【例4】已知AB/CD,M,N分別是直線AB,CD上兩點(diǎn)，點(diǎn)G在AB,CD之間，連接MG,NG,點(diǎn)E是AB上方一點(diǎn)，連接EM,EN,且GM的延長線平分ZAME,NE平分ZCNG,2ZMEN+ZMGN=105°,求ZAME的度數(shù).

針對練習(xí)7.如圖，AB〃CD，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)N,F在直線CD上，PE平分/AEN,FH//EN,延長PF到點(diǎn)G,FG平分/DFH,若/PFC=ZAEP+10°,求NBEN的度數(shù)..如圖1,AC平分/DAB,N1=N2.(1)試說明AB與CD的位置關(guān)系，并予以證明；(2)如圖2,延長AD,BC交于點(diǎn)G,過點(diǎn)D作DH/BC交AC于點(diǎn)H,若AC±BC,問當(dāng)NCDH多少度時，/GDC=NADH?，求N.如圖，已知AB/CD，/EBF=2NABF,CF平分NDCE,若2NF—NE=，求NABE的度數(shù).【板塊八】分類討論思想求角題型一按照點(diǎn)的不同位置關(guān)系分類討論求角方法技巧點(diǎn)在運(yùn)動過程中，由于點(diǎn)在線上的不同位置，產(chǎn)生不同的圖形，需分類討論．【例1】已知AB〃CD,/BAD=50°,點(diǎn)P在直線AD上，E為UD上一點(diǎn)(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段AD延長線上時，求證：/PEC—/APE=130°；(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在直線AD上運(yùn)動時(不與點(diǎn)A,D重合)，求/APE與/PEC之間的數(shù)量關(guān)系．題型二按照線的不同位置關(guān)系分類討論求角方法技巧按照動線的不同位置來分類討論求角．【例2】一個角為60°，另一個角的兩邊分別與這個角的兩邊平行，則這個角的度數(shù)為.題型三分類討論求角之間的關(guān)系方法技巧點(diǎn)在運(yùn)動時，兩個動角之間具有某種確定的數(shù)量關(guān)系，此時設(shè)未知數(shù)，探求它們之間的關(guān)系【例3】如圖，已知AB/CD、BE平分ABD,DE平分/BDC(1)求證：BE±DE;(2)H是直線CD上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合)，BI平分/HBD交CD于點(diǎn)I，在圖2或備用圖中，請你畫出圖形，并猜想/EBI與NBHD的數(shù)量關(guān)系，且說明理由.CD圖1CD圖1CD圖2CD圖3針對練習(xí)81．如果兩個角的兩邊分別平行，且一個角比另一個角的兩倍少80°，則這兩個角的度數(shù)分別是..如圖，AB//CD,直線EF與直線AB,CD分別交于點(diǎn)E,F,NBEF<150°,點(diǎn)P為直線EF左側(cè)平面上一點(diǎn)，且NBEP=150°,NEPF=50°,則NDFP的度數(shù)是..⑴如圖1,F是OC邊上一點(diǎn)，求證：NAFC=NAOC+NOAF；(2)如圖2,NAOB=40°,OC平分NAOB,點(diǎn)D,E在射線OA,OC上，點(diǎn)P是射線OB上的一個動點(diǎn)，連接DP交射線OC于點(diǎn)F,設(shè)NODP=%。，若DE±OA，是否存在這樣的％的值，使得NEFD=4NEDF?若存在，求出％的值；若不存在，說明理由.【板塊九】平移題型一平移定義方法技巧1．圖形的平移必須具備兩個要素：平移的方向與平移的距離．其中，平移的方向是平移前圖形上的某一點(diǎn)到其對應(yīng)點(diǎn)所指的方向；平移的距離是平移前圖形上的某一點(diǎn)到其對應(yīng)點(diǎn)之間的距離．2．平移只改變位置，形狀與大小都不改變?！纠?】下列運(yùn)動中屬于平移的是（A.急剎車時汽車在地面上的滑動。.隨風(fēng)飄動的風(fēng)等在空中的運(yùn)動）用冷水加熱時小氣泡上升變?yōu)榇髿馀荨?隨手拋出的彩球的運(yùn)動題型二平移性質(zhì)（1）平移得到的圖形與原圖形中的對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等；對應(yīng)角相等；對應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或共線）且相等；（2）“將一個圖形沿某一個方向移動一定的距離”意味著“圖形上的每一個點(diǎn)都沿同一方向移動了相同的距離”?！纠?】如圖所示是重疊的兩個直角三角形，將直角"5。沿BC方向平移得到△DEF.如果AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,求圖中陰影部分的面積。題型三平移作圖方法技巧平移作圖的步驟：(1)找出能表示原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；(2)將原圖形中的某個關(guān)鍵點(diǎn)與其平移后的位置點(diǎn)連接起來；(3)過其他關(guān)鍵點(diǎn)分別作線段，使得它們與確定線段平行且相等，再連接這些關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，所得的圖形就是原圖形平移后的圖形.［例3］如圖，網(wǎng)格中每個小正方形邊長為1,三角形A5C的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.將三角