新版初一數(shù)學一元一次方程的應用-范文

PAGEPAGE18新版初一數(shù)學一元一次方程的應用

初一數(shù)學的核心知識點是一元一次方程，所以新初一的學生可以趁著這個暑期把這部分內(nèi)容預習好，我在這里整理了相關(guān)資料，希望能幫助到您。

1.列一元一次方程解應用題的一般步驟

(1)審題：弄清題意.(2)找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系.(3)設出未知數(shù)，列出方程：設出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程.(4)解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.(5)檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫出答案.

2.和差倍分問題

增長量=原有量增長率現(xiàn)在量=原有量+增長量

3.等積變形問題

常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，依據(jù)形雖變，但體積不變.

①圓柱體的體積公式V=底面積高=Sh=r2h

②長方體的體積V=長寬高=abc

4.數(shù)字問題

一般可設個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c.

十位數(shù)可表示為10b+a，百位數(shù)可表示為100c+10b+a.

然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程.

5.市場經(jīng)濟問題

(1)商品利潤=商品售價-商品成本價(2)商品利潤率=商品利潤/商品成本價100%

(3)商品銷售額=商品銷售價商品銷售量

(4)商品的銷售利潤=(銷售價-成本價)銷售量

(5)商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標價的80%出售.

6.行程問題：路程=速度時間時間=路程速度速度=路程時間

(1)相遇問題：

快行距+慢行距=原距

(2)追及問題：

快行距-慢行距=原距

(3)航行問題：順水(風)速度=靜水(風)速度+水流(風)速度

逆水(風)速度=靜水(風)速度-水流(風)速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速(靜不速)不變的特點考慮相等關(guān)系.

7.工程問題：工作量=工作效率工作時間

完成某項任務的各工作量的和=總工作量=1

8.儲蓄問題

利潤=每個期數(shù)內(nèi)的利息/本金100%利息=本金利率期數(shù)

習題：

1.將一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網(wǎng)絡，甲獨做需6小時，乙獨做需4小時，甲先做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作?

解：設甲、乙一起做還需x小時才能完成工作.

根據(jù)題意，得

1/61/2+(1/6+1/4)x=1

解這個方程，得x=11/5

11/5小時=2小時12分

答：甲、乙一起做還需2小時12分才能完成工作.

2.兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍?

解：設x年后，兄的年齡是弟的年齡的2倍，

則x年后兄的年齡是15+x，弟的年齡是9+x.

由題意，得2(9+x)=15+x

18+2x=15+x，2x-x=15-18

x=-3

答：3年前兄的年齡是弟的年齡的2倍.

(點撥：-3年的意義，并不是沒有意義，而是指以今年為起點前的3年，是與3年后具有相反意義的量)

3.將一個裝滿水的內(nèi)部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的水，倒入一個內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高(精確到0.1毫米，3.14).

解：設圓柱形水桶的高為x毫米，依題意，得

(200/2)2x=30030080

x229.3

答：圓柱形水桶的高約為229.3毫米.

4.有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一鐵橋需多5秒，又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的2倍短50米，試求各鐵橋的長.

.解：設第一鐵橋的長為x米，那么第二鐵橋的長為(2x-50)米，過完第一鐵橋所需的時間為x/600分.

過完第二鐵橋所需的時間為2x-50/600分.

依題意，可列出方程

x/600+5/60=2x-50/600

解方程x+50=2x-50

得x=100

2x-50=2100-50=150

答：第一鐵橋長100米，第二鐵橋長150米。

5.有某種三色冰淇淋50克，咖啡色、紅色和白色配料的比是2：3：5，這種三色冰淇淋中咖啡色、紅色和白色配料分別是多少克?

解：設這種三色冰淇淋中咖啡色配料為2x克，

那么紅色和白色配料分別為3x克和5x克.

根據(jù)題意，得2x+3x+5x=50

解這個方程，得x=5

于是2x=10，3x=15，5x=25

答：這種三色冰淇淋中咖啡色、紅色和白色配料分別是10克，15克和25克.

6.某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個或乙種零件4個.在這16名工人中，一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件.已知每加工一個甲種零件可獲利16元，每加工一個乙種零件可獲利24元.若此車間一共獲利1440元，求這一天有幾個工人加工甲種零件.

解：設這一天有x名工人加工甲種零件，

則這天加工甲種零件有5x個，乙種零件有4(16-x)個.

根據(jù)題意，得165x+244(16-x)=1440

解得x=6

答：這一天有6名工人加工甲種零件.

7.某地區(qū)居民生活用電基本價格為每千瓦時0.40元，若每月用電量超過a千瓦時，則超過部分按基本電價的70%收費.

(1)某戶八月份用電84千瓦時，共交電費30.72元，求a.

(2)若該用戶九月份的平均電費為0.36元，則九月份共用電多少千瓦?應交電費是多少元?

解：(1)由題意，得

0.4a+(84-a)0.4070%=30.72

解得a=60

(2)設九月份共用電x千瓦時，則

0.4060+(x-60)0.4070%=0.36x

解得x=90

所以0.3690=32.40(元)

答：九月份共用電90千瓦時，應交電費32.40元.

8.某家電商場計劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進50臺電視機.已知該廠家生產(chǎn)3種不同型號的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元.

(1)若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案.

(2)若商場銷售一臺A種電視機可獲利150元，銷售一臺B種電視機可獲利200元，銷售一臺C種電視機可獲利250元，在同時購進兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷售時獲利最多，你選擇哪種方案?

解：按購A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機這三種方案分別計算，

設購A種電視機x臺，則B種電視機y臺.

(1)①當選購A，B兩種電視機時，B種電視機購(50-x)臺，可得方程

1500x+2100(50-x)=90000

即5x+7(50-x)=300

2x=50

x=25

50-x=25

②當選購A，C兩種電視機時，C種電視機購(50-x)臺，

可得方程1500x+2500(50-x)=90000

3x+5(50-x)=1800

x=35

50-x=15

③當購B，C兩種電視機時，C種電視機為(50-y)臺.

可得方程2100y+2500(50-y)=90000

21y+25(50-y)=900，4y=350，不合題意

由此可選擇兩種方案：一是購A，B兩種電視機25臺;二是購A種電視機35臺，C種電視機15臺.

(2)若選擇(1)中的方案①，可獲利

15025+25015=8750(元)

若選擇(1)中的方案②，可獲利

15035+25015=9000(元)

90008750故為了獲利最多，選擇第二種方案.

一元一次方程應用題是初一數(shù)學學習的重點，也是一個難點。主要困難體現(xiàn)在兩個方面：一是難以從實際問題中找出相等關(guān)系，列出相應的方程;二是對數(shù)量關(guān)系稍復雜的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知數(shù)的式子來表示出這些基本量的相等關(guān)系，導致解題時無從下手。

事實上，方程就是一個含未知數(shù)的等式。列方程解應用題，就是要將實際問題中的一些數(shù)量關(guān)系用這種含有未知數(shù)的等式的形式表示出來。而在這種等式中的每個式子又都有自身的實際意義，它們分別表示題設中某一相應過程的數(shù)量大小或數(shù)量關(guān)系。由此，解方程應用題的關(guān)鍵就是要抓住基本量，找出相等關(guān)系。

一、列方程解應用題的步驟：

⑴審題：理解題意。1、弄清題目中的對象，找出題目中代表著對象之間關(guān)系的句子和詞;2、弄清題目中有什么，要我們干什么，找出有什么(已知)和干什么(未知)之間的關(guān)系;

從應用題來看一個題一般存在這兩個以上的關(guān)系，這兩關(guān)系一是題目中給出，二是題目中只給出一個，另一個關(guān)系是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｓ玫降囊恍┑攘筷P(guān)系(例如：路程=速度時間等)所以解應用題關(guān)鍵是找出題目的等量關(guān)系，先就要長到代表等量關(guān)系的句子和詞語(如：誰比誰多，誰比誰少，誰是誰的幾倍，誰是誰的幾分之幾等)。解題時常用橫線畫出代表等量關(guān)系的句子和詞語。

⑵設元(未知數(shù))。①直接未知數(shù)：題目中問什么設什么;②間接未知數(shù)：先通過設未知數(shù)求出與與問題相關(guān)的量，然后再通過一些關(guān)系求出題目中的問題。(往往二者兼用)。一般來說，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解。但一元一次方程一般都只設一個未知數(shù)列一個方程。

⑶用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。

⑷列方程：尋找相等關(guān)系(有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關(guān)系給出)，列方程。一般地，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的。

⑸解方程(6)檢驗：一是檢驗是否使方程有意義，例如分母不為0等;二是檢驗是否使實際實際問題有意義(如;2/3個人等)。

(7)答題：回答出題目所問。

二、常見的常識性等量關(guān)系及關(guān)鍵詞語

(1)和、差、倍、分問題。

(2)此問題中常用多、少、大、小、幾分之幾或增加、減少、縮小等等詞語體現(xiàn)等量關(guān)系。審題時要抓住關(guān)鍵詞，確定標準量與比校量，并注意每個詞的細微差別。

(2)等積變形問題。

此類問題的關(guān)鍵在等積上，是等量關(guān)系的所在，必須掌握常見幾何圖形的面積、體積公式。等積變形是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?。常用等量關(guān)系為：

①形狀面積變了，周長沒變;②原料體積=成品體積。

(3)調(diào)配問題。

從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系，常見是和、差、倍、分關(guān)系，要注意調(diào)配對象流動的方向和數(shù)量。這類問題要搞清人數(shù)的變化，常見題型有：

①既有調(diào)入又有調(diào)出;

②只有調(diào)入沒有調(diào)出，調(diào)入部分變化，其余不變;③只有調(diào)出沒有調(diào)入，調(diào)出部分變化，其余不變。調(diào)配與比例問題在日常生活中十分常見，比如合理安排工人生產(chǎn)，按比例選取工程材料，調(diào)劑人數(shù)或貨物等。調(diào)配問題中關(guān)鍵是要認識清楚部分量、總量以及兩者之間的關(guān)系。在調(diào)配問題中主要考慮總量不變;而在比例問題中則主要考慮總量與部分量之間的關(guān)系，或是量與量之間的比例關(guān)系。

例14.甲、乙兩書架各有若干本書，如果從乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的書比乙架上所剩的書多5倍，如果從甲架上拿100本書放到乙架上，兩架所有書相等。問原來每架上各有多少書?

講評：本題難點是正確設未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式將另一書架上書的本數(shù)表示出來。在調(diào)配問題中，調(diào)配后數(shù)量相等，即將原來多的一方多出的數(shù)量進行平分。由題設中從甲書架拿100本書到乙書架，兩架書相等，可知甲書架原有的書比乙書架上原有的書多200本。故設乙架原有x本書，則甲架原有(x+200)本書。從乙架拿100本放到甲架上，乙架剩下的書為(x-100)本，甲架書變?yōu)?x+200)+100本。又甲架的書比乙架多5倍，即是乙架的六倍，有(x+200)+100=6(x-100)x=180x+200=380

例15.教室內(nèi)共有燈管和吊扇總數(shù)為13個。已知每條拉線管3個燈管或2個吊扇，共有這樣的拉線5條，求室內(nèi)燈管有多少個?

講評：這是一道對開關(guān)拉線的分配問題。設燈管有x支，則吊扇有(13-x)個，燈管拉線為x/3條，吊扇拉線為13-x/2條，依題意共有5條拉線，有x/3+13-x/2=5x=9

例16.某車間22名工人參加生產(chǎn)一種螺母和螺絲。每人每天平均生產(chǎn)螺絲120個或螺母200個，一個螺絲要配兩個螺母，應分配多少名工人生產(chǎn)螺絲，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好配套?

講評：產(chǎn)品配套(工人調(diào)配)問題，要根據(jù)產(chǎn)品的配套關(guān)系(比例關(guān)系)正確地找到它們間得數(shù)量關(guān)系，并依此作相等關(guān)系列出方程。本題中，設有x名工人生產(chǎn)螺母，生產(chǎn)螺母的個數(shù)為200x個，則有(22-x)人生產(chǎn)螺絲，生產(chǎn)螺絲的個數(shù)為120(22-x)個。由一個螺絲要配兩個螺母即螺母的個數(shù)是螺絲個數(shù)的2倍，有200x=2120(22-x)

x=1222-x=10

例17.地板磚廠的坯料由白土、沙土、石膏、水按25∶2∶1∶6的比例配制攪拌而成?，F(xiàn)已將前三種料稱好，公5600千克，應加多少千克的水攪拌?前三種料各稱了多少千克?

講評：解決比例問題的一般方法是：按比例設未知數(shù)，并根據(jù)題設中的相等關(guān)系列出方程進行求解。本題中，由四種坯料比例25∶2∶1∶6，設四種坯料分別為25x、2x、x、6x千克，由前三種坯料共5600千克，有25x+2x+x=5600

x=20025x=50002x=400x=2006x=1200

例18.蘋果若干個分給小朋友，每人m個余14個，每人9個，則最后一人得6個。問小朋友有幾人?

講評：這是一個分配問題。設小朋友x人，每人分m個蘋果余14個，蘋果總數(shù)為mx+14，每人9個蘋果最后一人6個，則蘋果總數(shù)為9(x-1)+6。蘋果總數(shù)不變，有

mx+14=9(x-1)+6x=17/9-m∵x、m均為整數(shù)9-m=1

x=17

例19.出口1噸豬肉可以換5噸鋼材，7噸豬肉價格與4噸砂糖的價格相等，現(xiàn)有288噸砂糖，把這些砂糖出口，可換回多少噸鋼材?

講評：本題可轉(zhuǎn)換成一個比例問題。由豬肉∶鋼材=1∶5，豬肉∶砂糖=7∶4，得豬肉∶鋼材∶砂糖=7∶35∶4，設可換回鋼材x噸，則有x∶288=35∶4x=2620

7.需設中間(間接)未知數(shù)求解的問題

一些應用題中，設直接未知數(shù)很難列出方程求解，而根據(jù)題中條件設間接未知數(shù)，卻較容易列出方程，再通過中間未知數(shù)求出結(jié)果。

例20.甲、乙、丙、丁四個數(shù)的和是43，甲數(shù)的2倍加8，乙數(shù)的3倍，丙數(shù)的4倍，丁數(shù)的5倍減去4，得到的4個數(shù)卻相等。求甲、乙、丙、丁四個數(shù)。

講評：本題中要求4個量，在后面可用方程組求解。若用一元一次方程求解，如果設某個數(shù)為未知數(shù)，其余的數(shù)用未知數(shù)表示很麻煩。這里由甲、乙、丙、丁變化后得到的數(shù)相等，故設這個相等的數(shù)為x，則甲數(shù)為x-8/2，乙數(shù)為x/3，丙數(shù)為x/4，丁數(shù)為x+4/5，由四個數(shù)的和是43，有x-8/2+x/3+x/4+x+4/5=43x=36

x-8/2=14x/3=12x/4=9x+4/5=8

例21.某縣中學生足球聯(lián)賽共賽10輪(即每隊均需比賽10場)，其中勝1場得3分，平1場得1分，負1場得0分。向明中學足球隊在這次聯(lián)賽中所負場數(shù)比平場數(shù)少3場，結(jié)果公得19分。向明中學在這次聯(lián)賽中勝了多少場?

講評：本題中若直接將勝的場次設為未知數(shù)，無法用未知數(shù)的式子表示出負的場數(shù)和平的場數(shù)，但設平或負的場數(shù)，則可表示出勝的場數(shù)。故設平_場，則負x-3場，勝10-(x+x-3)場，依題意有3[10-(x+x-3)]+x=19x=410-(x+x-3)=5

(4)行程問題。

要掌握行程中的基本關(guān)系：路程=速度時間。

相遇問題(相向而行)，這類問題的相等關(guān)系是：各人走路之和等于總路程或同時走時兩人所走的時間相等為等量關(guān)系。甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及問題(同向而行)，這類問題的等量關(guān)系是：兩人的路程差等于追及的路程或以追及時間為等量關(guān)系。

①同時不同地：甲的時間=乙的時間甲走的路程-乙走的路程=原來甲、乙相距的路程

②同地不同時;甲的時間=乙的時間-時間差甲的路程=乙的路程

環(huán)形跑道上的相遇和追及問題：同地反向而行的等量關(guān)系是兩人走的路程和等于一圈的路程;同地同向而行的等量關(guān)系是兩人所走的路程差等于一圈的路程。

船(飛機)航行問題：相對運動的合速度關(guān)系是：

順水(風)速度=靜水(無風)中速度+水(風)流速度;逆水(風)速度=靜水(無風)中速度-水(風)流速度。

車上(離)橋問題：

①車上橋指車頭接觸橋到車尾接觸橋的一段過程，所走路程為一個車長。

②車離橋指車頭離開橋到車尾離開橋的一段路程。所走的路程為一個成長

③車過橋指車頭接觸橋到車尾離開橋的一段路程，所走路成為一個車長+橋長

④車在橋上指車尾接觸橋到車頭離開橋的一段路程，所行路成為橋長-車長

行程問題可以采用畫示意圖的輔助手段來幫助理解題意，并注意兩者運動時出發(fā)的時間和地點。

尋找的相等關(guān)系有：路程關(guān)系、時間關(guān)系、速度關(guān)系。在不同的問題中，相等關(guān)系是靈活多變的。如相遇問題中多以路程作相等關(guān)系，而對有先后順序的問題卻通常以時間作相等關(guān)系，在航行問題中很多時候還用速度作相等關(guān)系。

例1.某隊伍450米長，以每分鐘90米速度前進，某人從排尾到排頭取東西后，立即返回排尾，速度為3米/秒。問往返共需多少時間?

講評：這一問題實際上分為兩個過程：①從排尾到排頭的過程是一個追及過程，相當于最后一個人追上最前面的人;②從排頭回到排尾的過程則是一個相遇過程，相當于從排頭走到與排尾的人相遇。

在追及過程中，設追及的時間為x秒，隊伍行進(即排頭)速度為90米/分=1.5米/秒，則排頭行駛的路程為1.5x米;追及者的速度為3米/秒，則追及者行駛的路程為3x米。由追及問題中的相等關(guān)系追趕者的路程-被追者的路程=原來相隔的路程，有：

3x-1.5x=450x=300

在相遇過程中，設相遇的時間為y秒，隊伍和返回的人速度未變，故排尾人行駛的路程為1.5y米，返回者行駛的路程為3y米，由相遇問題中的相等關(guān)系甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程有：

3y+1.5y=450y=100

故往返共需的時間為x+y=300+100=400(秒)

例2汽車從A地到B地，若每小時行駛40km，就要晚到半小時：若每小時行駛45km，就可以早到半小時。求A、B兩地的距離。

講評：先出發(fā)后到、后出發(fā)先到、快者要早到慢者要晚到等問題，我們通常都稱其為先后問題。在這類問題中主要考慮時間量，考察兩者的時間關(guān)系，從相隔的時間上找出相等關(guān)系。本題中，設A、B兩地的路程為xkm，速度為40km/小時，則時間為x/40小時;速度為45km/小時，則時間為x/45小時，又早到與晚到之間相隔1小時，故有

x/40-x/45=1x=360

例3一艘輪船在甲、乙兩地之間行駛，順流航行需6小時，逆流航行需8小時，已知水流速度每小時2km。求甲、乙兩地之間的距離。

講評：設甲、乙兩地之間的距離為xkm，則順流速度為x/6km/小時，逆流速度為x/8km/小時，由航行問題中的重要等量關(guān)系有：

x/6-2=x/8+2x=96

(5)工程問題。

其基本數(shù)量關(guān)系：工作總量=工作效率工作時間;合做的效率=各單獨做的效率的和。當工作總量未給出具體數(shù)量時，常設總工作量為1，分析時可采用列表或畫圖來幫助理解題意。

工程問題中，一般常將全部工作量看作整體1，如果完成全部工作的時間為t，則工作效率為。常見的相等關(guān)系有兩種：①如果以工作量作相等關(guān)系，部分工作量之和=總工作量。②如果以時間作相等關(guān)系，完成同一工作的時間差=多用的時間。

在工程問題中，還要注意有些問題中工作量給出了明確的數(shù)量，這時不能看作整體1，此時工作效率也即工作速度。

例4.加工某種工件，甲單獨作要20天完成，乙只要10就能完成任務，現(xiàn)在要求二人在12天內(nèi)完成任務。問乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務?

講評：將全部任務的工作量看作整體1，由甲、乙單獨完成的時間可知，甲的工作效率為1/20，乙的工作效率為1/10，設乙需工作x天，則甲再繼續(xù)加工(12-x)天，乙完成的工作量為x/10，甲完成的工作量為，依題意有x/10+12-x/20=1x=8

例5.收割一塊麥地，每小時割4畝，預計若干小時割完。收割了2/3后,改用新式農(nóng)具收割，工作效率提高到原來的1.5倍。因此比預計時間提前1小時完工。求這塊麥地有多少畝?

講評：設麥地有x畝，即總工作量為x畝，改用新式工具前工作效率為4畝/小時，割完x畝預計時間為x/4小時，收割2/3x畝工作時間為2/3x/4=小時;改用新式工具后，工作效率為1.54=6畝/小時，割完剩下1/3x畝時間為1/3x/6=x/18小時，則實際用的時間為(x/6+x/18)小時，依題意比預計時間提前1小時完工有

x/4-(x/6+x/18)=1x=36

例6.一水池裝有甲、乙、丙三個水管，加、乙是進水管，丙是排水管，甲單獨開需10小時注滿一池水，乙單獨開需6小時注滿一池水，丙單獨開15小時放完一池水?，F(xiàn)在三管齊開，需多少時間注滿水池?

講評：由題設可知，甲、乙、丙工作效率分別為1/10、1/6、-1/15(進水管工作效率看作正數(shù)，排水管效率則記為負數(shù))，設x小時可注滿水池，則甲、乙、丙的工作量分別為x/10，x/6、-x/15，由三水管完成整體工作量1，有x/10+x/6-x/15=1x=5

(6)溶液(混合物)問題

溶液(混合物)問題有四個基本量：溶質(zhì)(純凈物)、溶劑(雜質(zhì))、溶液(混合物)、濃度(含量)。其關(guān)系式為：①溶液=溶質(zhì)+溶劑(混合物=純凈物+雜質(zhì));②濃度=溶質(zhì)/溶液100%=溶質(zhì)/溶質(zhì)+溶劑100%【純度(含量)=純凈物/混合物100%=純凈物/純凈物+雜100%】;③由①②可得到：溶質(zhì)=濃度溶液=濃度(溶質(zhì)+溶劑)。在溶液問題中關(guān)鍵量是溶質(zhì)：溶質(zhì)不變，混合前溶質(zhì)總量等于混合后的溶質(zhì)量，是很多方程應用題中的主要等量關(guān)系。

例11.把1000克濃度為80%的酒精配成濃度為60%的酒精，某同學未經(jīng)考慮先加了300克水。⑴試通過計算說明該同學加水是否過量?⑵如果加水不過量，則應加入濃度為20%的酒精多少克?如果加水過量，則需再加入濃度為95%的酒精多少克?

講評：溶液問題中濃度的變化有稀釋(通過加溶劑或濃度低的溶液，將濃度高的溶液的濃度降低)、濃化(通過蒸發(fā)溶劑、加溶質(zhì)、加濃度高的溶液，將低濃度溶液的濃度提高)兩種情況。在濃度變化過程中主要要抓住溶質(zhì)、溶劑兩個關(guān)鍵量，并結(jié)合有關(guān)公式進行分析，就不難找到相等關(guān)系，從而列出方程。

本題中，⑴加水前，原溶液1000克，濃度為80%，溶質(zhì)(純酒精)為100080%克;設加x克水后，濃度為60%，此時溶液變?yōu)?1000+x)克，則溶質(zhì)(純酒精)為(1000+x)60%克。由加水前后溶質(zhì)未變，有(1000+x)60%=100080%

x=1000/3300該同學加水未過量。

⑵設應加入濃度為20%的酒精y克，此時總?cè)芤簽?1000+300+y)克，濃度為60%，溶質(zhì)(純酒精)為(1000+300+y)60%;原兩種溶液的濃度分別為100080%、20%y，由混合前后溶質(zhì)量不變，有(1000+300+y)60%=100080%+20%y=50

(7)經(jīng)濟問題

與生活、生產(chǎn)實際相關(guān)的經(jīng)濟類應用題，是近年中考數(shù)學創(chuàng)新題中的一個突出類型。經(jīng)濟類問題主要體現(xiàn)為三大類：①銷售利潤問題、②優(yōu)惠(促銷)問題、③存貸問題。這三類問題的基本量各不相同，在尋找相等關(guān)系時，一定要聯(lián)系實際生活情景去思考，才能更好地理解問題的本質(zhì)，正確列出方程。

⑴銷售利潤問題。利潤問題中有四個基本量：成本(進價)、銷售價(收入)、利潤、利潤率?；娟P(guān)系式有：①利潤=銷售價(收入)-成本(進價)【成本(進價)=銷售價(收入)-利潤】;②利潤率=利潤/成本(進價)【利潤=成本(進價)利潤率】。在有折扣的銷售問題中，實際銷售價=標價折扣率。打折問題中常以進價不變作相等關(guān)系。

⑵優(yōu)惠(促銷)問題。日常生活中有很多促銷活動，不同的購物(消費)方式可以得到不同的優(yōu)惠。這類問題中，一般從什么情況下效果一樣分析起。并以求得的數(shù)值為基準，取一個比它大的數(shù)及一個比它小的數(shù)進行檢驗，預測其變化趨勢。

⑶存貸問題。存貸問題與日常生活密切相關(guān)，也是中考命題時最好選取的問題情景之一。存貸問題中有本金、利息、利息稅三個基本量，還有與之相關(guān)的利率、本息和、稅率等量。其關(guān)系式有：①利息=本金利率期數(shù);(注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率=月利率12=日利率365。)②利息稅=利息稅率;③本息和(本利)=本金+利息-利息稅。

例7.某商店先在廣州以每件15元的價格購進某種商品10件，后來又到深圳以每件12.5元的價格購進同樣商品40件。如果商店銷售這種商品時，要獲利12%，那么這種商品的銷售價應定多少?

講評：設銷售價每件x元，銷售收入則為(10+40)x元，而成本(進價)為(510+4012.5)，利潤率為12%，利潤為(510+4012.5)12%。由關(guān)系式①有

(10+40)x-(510+4012.5)=(510+4012.5)12%x=14.56

例8.某種商品因換季準備打折出售，如果按定價七五折出售，則賠25元，而按定價的九折出售將賺20元。問這種商品的定價是多少?

講評：設定價為x元，七五折售價為75%x，利潤為-25元，進價則為75%x-(-25)=75%x+25;九折銷售售價為90%x，利潤為20元，進價為90%x-20。由進價一定，有

75%x+25=90%x-20x=300

例9.李勇同學假期打工收入了一筆工資，他立即存入銀行，存期為半年。整存整取，年利息為2.16%。取款時扣除20%利息稅。李勇同學共得到本利504.32元。問半年前李勇同學共存入多少元?

講評：本題中要求的未知數(shù)是本金。設存入的本金為x元，由年利率為2.16%，期數(shù)為0.5年，則利息為0.52.16%x，利息稅為20%0.52.16%x，由存貸問題中關(guān)系式③有x+0.52.16%x-20%0.52.16%x=504.32x=500

例10.某服裝商店出售一種優(yōu)惠購物卡，花200元買這種卡后，憑卡可在這家商店8折購物，什么情況下買卡購物合算?

講評：購物優(yōu)惠先考慮什么情況下情況一樣。設購物x元買卡與不買卡效果一樣，買卡花費金額為(200+80%x)元，不買卡花費金額為x元，故有

200+80%x=xx=1000

當x1000時，如x=2000買卡消費的花費為：200+80%2000=1800(元)

不買卡花費為：2000(元)此時買卡購物合算。

當x1000時，如x=800買卡消費的花費為：200+80%800=840(元)

不買卡花費為：800(元)此時買卡不合算。

(8)數(shù)字問題。

要正確區(qū)分數(shù)與數(shù)字兩個概念，這類問題通常采用間接設法，常見的解題思路分析是抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系尋找等量關(guān)系。列方程的前提還必須正確地表示多位數(shù)的代數(shù)式，一個多位數(shù)是各位上數(shù)字與該位計數(shù)單位的積之和。數(shù)字問題是常見的數(shù)學問題。一元一次方程應用題中的數(shù)字問題多是整數(shù)，要注意數(shù)位、數(shù)位上的數(shù)字、數(shù)值三者間的關(guān)系：任何數(shù)=(數(shù)位上的數(shù)字位權(quán))，如兩位數(shù)

=10a+b;三位數(shù)

=100a+10b+c。在求解數(shù)字問題時要注意整體設元思想的運用。

例12.一個三位數(shù)，三個數(shù)位上的和是17，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大7，個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的3倍。求這個數(shù)。

講評：設這個數(shù)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為3x，百位上的數(shù)