書稿實變函數(shù)與泛函分析-第四章

及n這些原始素材的基礎(chǔ)上，將普通的幾何、代數(shù)和分析中基本概念予以所論及的數(shù)域K是指實數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C§4.1線性空間的定義定義4.1 稱非空集合X是定義在數(shù)域K上的一個線性空間，如果在X中X中任意兩個元xyuXxy的和，記為uxyxyyx(xy)zx(yz)X中存在一個元素XxxxXII.

xX，存在一個元素xXx的負(fù)元素，使(xxxX，及K，存在唯一的元素uX與之對應(yīng)，稱為x積，記為uxK(5)(x)()x1xx()xxx(xy)xyXX中的元素又稱為向量．當(dāng)K為實數(shù)域或復(fù)數(shù)域時，分別稱X為實線性空間或復(fù)線性空間．例 n維向量空間Kn（即Rn或Cn）是指全體n個數(shù)的有序組所組成,niK,i1, ,,niK,i1, ,在其上定義加法與數(shù)乘運算為：x1,2 ,nKn，y1, ,n及Kxy11,22 ,nn，x1,2,,例 p方可和序列空間lp(1p)是指滿足條 |n|p的列 , , 的全體所組成的集合 n nK(nnn xxylp及Kn nxy，x n n顯然有xlpn

p

p2pmax{

}p2p

ppnnnnnnnn |nn|p2p(||p|

|p)

xylp，從而lp例4.3 有界數(shù)列的全體組成的集合l按照通常的數(shù)列加法與數(shù)乘運算構(gòu)例 定義在有限閉區(qū)間a,bR上的連續(xù)實(或復(fù))值函數(shù)的全體組成集合Ca,b按通常函數(shù)的加法與數(shù)乘運算構(gòu)成一個線性空間其中零元素 是a,b上恒等0的函例4.5 定義在有限閉區(qū)間a,bR上具有k階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的實值函數(shù)的全體組成的集合Ck a,b按通常函數(shù)的加法與數(shù)乘運算構(gòu)成一個線性空間．基與維數(shù)念．設(shè)x1,x2, ,xnX，如果存在不全為零的數(shù)1,2, ,nK，使得1x12x2 nxn則稱x1,x2 ,xn是線性相關(guān)的．否則，稱為線性無關(guān)定義 如果線性空間X中存在n個線性無關(guān)的元素x1,x2 ,xn，使n每個xX都可表示成xixi則稱x1,x2 ,xn為X的一組基．n稱為n的維數(shù)，記為dimEnX是有限維線性空間．不是有限維的線性空間稱為無限維線性空間，記為dimE．空間CablCkabLpa,b都是無限維特別，僅含一個零元素的線性空間 是有限維的，規(guī)定其維數(shù)為0子空間與凸集定義 設(shè)M是線性空間X的子集，如果x,yM，及,K，xyM，則稱MX的子空間．即MX的原有運算下仍構(gòu)成線性空M1，必有M1E，則稱MX定義 設(shè)M，N是線性空間X的兩個子空間，如果X中的每一個元則稱XMN的直和，記為XMN．例如，如果L1R3中的一條過原點的直線，L2是R3中的一個過原點的平L1L2上，則R3L1L2．定義 設(shè)X是線性空間，AX．如果存在x0X及X中一個線性L，使Ax0Lyyx0x,xAX中的一個仿射流LX的極大子空間時AX中的一個例如R3中，如L1是一條過原點的直線（它R3中的一維子空間，則所有平L1的直線都是對應(yīng)于L1的仿射L2R3中的一個二維子空間（即過原點的平面L2的平面都是超平面．定理4．1XAX為仿射流形的充要條件是xyA，及,K1，有xyA．4．6AXx,yA及R，10,0，有xyAAX注雖然子空間、仿射流形、凸集都要求元素xyx,y一起屬于本集合，但對,的要求不同，故這三種集合有明顯的差別．線性空間的同構(gòu)定義 設(shè)X，Y是同一數(shù)域K上的兩個線性空間如果T:XY足TT是線 ，即x,yX及K，T(xy)TxTy，T(x)TxX與Y§4.2范知道，每一個實數(shù)或復(fù)數(shù)，都有相應(yīng)的絕對值和模；每一個n維向量都的基本性質(zhì)為出發(fā)點，用公理形式在一般線性空間中引入向量范數(shù)的概念，定義 設(shè)X是數(shù)域K上的線性空間，如果||||:X滿足下列條件（稱為范數(shù)公理(N1)正定性：||x||0xX，且|x|0x；(N2正齊性：||x||||||x||xX及K；(N3)三角不等式：||xy||||x||||y||x,yX，則稱||||是X上的一個范數(shù)，xX處的像||x||稱為x的范數(shù)．定義了范數(shù)的線性空間稱為線性賦范空間，記為X,||||，簡記為X．當(dāng)KR或KC時，分別稱X為實線性賦范空間或復(fù)線性賦范空間．線性賦范空間中的距離定理 設(shè)X,||||是線性賦范空間，定 d:XXRd(x,y)||xy||，x,yX則d滿足度量公定義4.9 定理4.2中的d(,)稱為X中由范數(shù)誘導(dǎo)的距離或度量．性賦范空間中能由范數(shù)誘導(dǎo)出距離dx,yxy，故線性賦范空間都定理4.3 設(shè)X是線性空間，d是X上的距離，則d能由范數(shù)誘導(dǎo)的充要條件是d(1)平移不變性dxydxyxyX(2)正齊性dx,dx,xX，證明Xxdx,，則由d滿足范數(shù)公理(N1)—(N3)，故X上的范數(shù)，且dx,yxy，x,yX定義 設(shè)M是線性賦范空間X的非空子集，xX于是點x到集合y0M

d(x,M)inf||xy||||xy||inf||xy||y是Mx的最佳 線性賦范空間的例4.6在n維向量空間Knjn|2j12n||x ，xjn|2j12n

Kn易證||||滿足范數(shù)公理，稱為Euclidx1,2 ,nKn y1,2 ,nKn，它們之|jjnd(x,|jjn就是Euclid如果在Kn 1 |n|，||x||p|j|p ||x||xmax||,,||，x,,,12n n

Kn易證||||1，||x||p及||||都是K 上的范數(shù)．由此可知在同一個線性空間上可以例 p方可積函數(shù)空間Lpa,b(1p)f(t是a,b上的可測函數(shù)，如果|f(t|p是a,b上的Lebesgue可積函數(shù)，f(t是a,b上p方可積函a,b上的p方可積函數(shù)的全體組成的集合記為Lp[ab].p1L1[ab即為a,b上的Lebesgue可積函數(shù)全體.在Lp[a,b]中，把兩個幾乎處處相等的函數(shù)視為同一個元素.設(shè)f,gLp[a,b]，因為f(t)g(t)p2maxf(t),g(t)p2pf(t)pg(t)p所以，f(tg(t)p是a,b上的LebesguefgLp[ab.至Lp[ab中關(guān)于數(shù)乘運算封閉是顯然的.Lp[ab按函數(shù)通常的加法和數(shù)乘運算成為線性空間.在Lpab上定義 ||f||b|f(t)pdtp，fL[a, | ff

p引理4.1（H?lder不等式）p1，111fLp[ab]gLq[a 那么f(t)g(t)在a,b上的Lebesgue可積，并且ba|f(t)g(t)|dt||f||p||gb證明p1111AB

ApBq 事實上，令a1b

，則ab1.考慮函數(shù)yxaya(a1)xa20x0)yxax0為上凸函數(shù)，因而函數(shù)在點(1,1)的xaaxb(xxABfgg如 p0（fgg

q0）f(t0a.e于a,b（g(t0a.ef,.ffu(t) ，f||f ||gAu(tpBv(tq，代入不等式（4.2

p0

u(t) v(t)u(t)v(t) 故u(t)v(t)在a,bLebesguef(t)g(t在a,bLebesgue可積q u(t)v(t)dtq

dt

dtpb pbb因此a|f(t)g(t)|dt||f||p||g||q.證畢b4（Minkowski不等式）設(shè)p1，fgLp[ab，那fgLp[a

||fg||p||f||p||g 證明p1

f(t)g(t)

f(t)

，由積分性質(zhì)可知（4.3）然成立.p1fgLp[ab]，所pf(t)g(t)qLq[a,由H?lderf(t)f(t)g(t)qdt||f bf(t)g(t)pdtq

g(t)f(t)g(t)qdt||g||p p p

f(t)g(t)pdtqbf(t)g(t)pdtb

f(t)b

f(t)g(t)p1p

f

f(t)g(t)qdta

f(t)g(t)qa(||f||p||g||p)a

1qf(t)g(t)p 如 f(t)g(t)pdt0，則||fg||0，不等式（4.3）顯然成立.如b b f(tg(t)pdt0

f(tg(t)pdtq得到111

f(tf(t)g(t)p q||f||||gb b||fg||pb

f(t)1pdtp||f||p||g||p1a由上述不等式可Lpab(1p)

fp成為線性賦范空間．事實上ff 滿足(N1)，(N2顯然．又由MinkowskifgLp[a,b]，ff||fg||p||f||p||g||pf

p滿足(N3).

pLpabf,ff

d(f,g) |f(t)

1g(t)|pdtp 4.14.2的情形為連續(xù)型不等式，類似有離散型（

n

lp，y

n

lq |

|qp111

n

n

，y

n

p

p111|nn||n||n|111 類似可p方可和序列空間lp(1p)例 p方可和序列空間lp(1p)．在lp上定義||||p:lpR p ||x||p|n| 則lp按||||p

，xn 證 p滿足(N1)，(N2)顯然(N3)x

ylp，應(yīng)用Minkowskin

n p

p||xy||p|nn| |n||n| ||x||p||y||p 所以||||p是lp上的范數(shù)．又lp1 p1d(x,y)||xy||p|nn| 注關(guān)于Lpa,b和lp今后還要進(jìn)一 例4.9有界序列空間l．在l中定義||||:lR則l是線性賦范

||x||sup|n|，xn

n

l 證明(N1)與(N2)顯然．又xyl n n||xy||sup|nn|sup|n||n sup|n|sup|n|||x||||y 即(N3)滿足，故||||是l上的范數(shù)．又l上的d(x,y)||xy||sup|nn|n例 連續(xù)函數(shù)空間Ca,b，在Ca,b上定||x||max|x(t)|，xCa,易證C[ab],||||是線性賦范空間，仍記為Cabd(x,y)max|x(t)y(t)|，x，yCa,注如果定義 |x(t)|dt，xCa,b，易證Ca,b,||||也是線 §4.3收斂點定義 設(shè)X是線性賦范空間， nN是X中的點列，簡記xnXx0X．如果lim||xnx0||0．則稱xnx0，簡稱收斂x0

limxnx0xn

n有時為了強調(diào)依某個范數(shù)||||收斂，也可記xnx0n例如：設(shè)xnX，ynX，nKx,yX，K，唯一性：收斂點列的極限必唯一有界性：如果xn n，則xn必為有界點列，即存在常M0，使得||xn||MnN加法連續(xù)：如果xnx，yny，則xnynx n數(shù)乘連續(xù)xnx，n，則nxnxn這些性質(zhì)的證明，都和數(shù)學(xué)分析中相類似．以(2)為例，設(shè)xnn，則對于01NNnN||xnx||1得||xn||||(xnx)x||||xnx||||x||1||x||取Mmax||x1||,||x2||, ,||xN||,1||x||，則||xn||M,nN，故xn為有界k4.12在Kn（即Rn或Cn）xxk，其kk 1 2 nx(k),(k) ,(k)，kN，xk 1 2 n

,n

limxxlim(k) （j1,k k

,n即點列xk按“坐標(biāo)”收斂于x4.13在lxxkxxn

,

, kxxk)(k(k (k ，同樣

xlim||xx||limsup|(k)|k k

k

n limk關(guān)于nnNk x 即點 x kk4.14在Cabxkxkt(kNxx(tlimxkxlim||xkx||limmax|xk(t)x(t)|k k 0NN，當(dāng)kN時，tab，有|xktxt|在ab上函數(shù)列xkt一致收斂x(t)．即Cab中的依范數(shù)收斂就是函數(shù)列的一致收斂．4.15在Lpabp1limxxlim||xx||k k

b|x(t)x(t)|

p0

x(t)|pdt1k1

a ka

|xk此時稱函數(shù)列xkt在ab上p方平均收x(t)．特別當(dāng)p2時即為平方平等價范數(shù)定義4.12設(shè)||||1與||||2X上的兩個范數(shù)，如果對任意的xnX，由||xn||10(n可推出||xn||20(n，則稱范數(shù)||||1||||2強．如果||||1比||||2強，同時又有||||2比||||1強，則稱||||1與||||2定理4.4X上的范數(shù)||||1比||||2強當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)c0，||x||2c||x||1，xXxx2yx2

，則y

2

1n

(n，這與||||

比||

推 線性空間X上的兩個范數(shù)||||1與||||2等價的充要條件是存在常c1c20c1||x||1||x||2c2||x||1，xX．例 在Ca,b 下面兩種范||x||max|x(t)|，||x||2|x(t)|dt，xCa,b1 1則||||1比||||2強，但兩個范數(shù)不等價證明設(shè)||xn||10(n，則函數(shù)列xnt在ab上一致收斂0，b是 |x(t)|dt

lim|xn(t|dt0||xn||2

(n，故||||1比||||n

b b強．如果取連續(xù)函數(shù)列xntn(ta)1,t[a,a1xn(t) 1

nt[a1,n

（nN則||x|| |x(t)|dtb

0(n，但||x||an a

n連續(xù)，定義 設(shè)X,||||X與Y,||||Y都是線性賦范空 T:XY，TxX連續(xù)，如果對于X中任意收斂于x的點列xx (n)，Y中的相應(yīng)點列Tx收斂于Tx：Tx X上每點都連續(xù)，則稱TX定理 T:XY在點x0X連續(xù)的充要條件是：0，存在0，當(dāng)||xx0||XxX時，就有||TxTx0||Y定理4.6 線性賦范空間X,||||中的范數(shù)||||是XR的連續(xù) 證明設(shè)xnX且xnxX (n)，則|||xn||||x|||||xnx||即||xn||||x||，故||||

定義4.14設(shè)T是線性賦范空間X到Y(jié)的雙射．如果T及它的逆T1都是連續(xù)的，則稱T為X到Y(jié)的拓?fù)?，這時稱X和Y是拓?fù)渫瑯?gòu)的或同胚的．X和YX、Y之間的點可以稠密與可分空間4.15X是線性賦范空間，MX，NXNMMNNX時，稱MX的稠密子顯然，M是X的稠密子集MXxX及0，Bx, M定義4.16 如果線性賦范空間X具有可數(shù)的稠密子集，則稱X是可分空歐氏空間Rn的子Mx12 Rn的一個可數(shù)稠密子集，故Rn是可分空

,lp的子集Mx

如

n是實部和虛部均為有理數(shù)的復(fù)數(shù)，n是lp的一個可數(shù)稠密子集，故lpCa,b是可分空間．根據(jù)Weierstrass 近定理，xCa,b，0，存在實系數(shù)多項式p(t)使得||xp||max|x(t)p(t)|at ||pp||max|p(t)p(t)| at p 于是||xp0||||xp||||

．從而ab上全體有理系數(shù)多項 的集合P0ab是Cab的可數(shù)稠密子集0Lpab是可分空間Lpab中每個元素可用連續(xù)函數(shù)序列近，因而CabLpa,b中稠密，從而a,b上全體有理系數(shù)多項式的集合Pab也0是Lpa,b的可數(shù)稠密子集l如是不可分空間．這就是說，空間l如 在數(shù)學(xué)分析課程中學(xué)習(xí)了有關(guān)數(shù)列極限的Cauchy收斂準(zhǔn)則，或稱Cauchy原理(Cauchy列)，它的成立完全是由于實數(shù)集的完備性所致．性賦范空間中這一結(jié)果未必總是成立．為此，Banach定義 設(shè)X,d是度量空間，xn是X中的點列，如果0，存NN，n,mN，有dxn,xm，就稱xn是X中的Cauchy列或基本列．度量空間中的Cauchy列具有下列與R中的Cauchy列類似的性質(zhì)．定理4.7 線性賦范空間X中的Cauchy列具有下列性質(zhì)：Cauchy列必有收斂點列必為Cauchy列Cauchy例 在連續(xù)函數(shù)空間C0,1中定義范數(shù)||||01||x||00|x(t)|dt，xC0,11記L1[0,1]＝C0,1,||||0 線性賦范空間L1[0,1]中的點列 t[0,11

nxt

n t(11

1 1n因當(dāng)nm今時，有||xx||1n

t(1,21m 0，所以xL1[0,1]1m m 1xL10,1]，使||xnx||00(n今，1||xnx||00|xn(t)x(t)01 0 2n|x(t)|dt2|x(t)x(t)|dtn

1|1x(t)2 02|x(t)|dt1|1x(t)|dt02 0t1x(t)

2t2n n定義 如果度量空間X,d中每個Cauchy列都收斂于X中的點，則X,d是完備度量空間．完備的線性賦Banach空間例4.18 由例4.17可知線性賦范空間L1[0,1]不是Banach空間．一般，還可在連續(xù)函數(shù)空間Ca,b上定義范數(shù)(1p)：1||x||b|x(t)pdtp，xCa,b1| pLp[ab＝C[ab||||Lp[ab不是Banachp在§4．2中列舉的五個線性賦范空間KnLpa,b(1p)lp(1p)lCabBanach空間．下面以Cab和lp為例進(jìn)行例 Ca,b是Banach空間證明設(shè)xn是Cab中的Cauchy列，則0NN，當(dāng)nm||xx||

xn(t)xm(t)這表明對一切ta,b，都

xn(t)xm

Cauchy準(zhǔn)則，函數(shù)列xn(t)在a,b上一致收斂于某個函數(shù)x(t)，又因xn(t)是連續(xù)函數(shù)列，故xx(t)也是連續(xù)函數(shù)，從而有xnxCab(n今即CabBanachk例 lp(p1)是Banach空間k 證明設(shè) (n), n NN，當(dāng)nmN

,(n)

是lp中的Cauchy列，則01 1

p||xnxm||p|k

|

|(n)(m)|||xx||，n,mN m這表明(n)是數(shù)域K中的Cauchy由數(shù)K的完備性每個數(shù)列

k1

2

k 下面xlxnx(n由(4.4)式，當(dāng)nmNrNp 1p| 令m

k

k |

kkk

|

1 |pp

(nN|(n)

(nN k 由Minkowskik

k

及||xx|| (nN)．故xlp，并且x (n)，從而lp是完備的 即為Banach子空間的完備性定義4.19設(shè)X,||||MXX上的范數(shù)||||為范數(shù)，于是M||||也是線性賦范空間，稱為X||||的子空間；如MXMX的閉子空間．Banach空間中的閉子空間具定理4.8XBanachMX的子空間，則M完備的充要條件M為閉子空間．證明必要性．設(shè)MXxM，則存在點列xnMxnx(n，從而xn也是MCauchyMxMxnx(n)xxM，故M充分性．設(shè)xn是M中的CauchyXxXxn(nx是M的聚點，因MxM，所以MX的完備性，這實際上蘊含如下結(jié)果：線性賦范線性賦范空間的完備化實數(shù)集R的完備性在數(shù)學(xué)分析中起著十分重要的作用．Cauchy收斂準(zhǔn)則以Cauchy列也具有極限，從而將不完備的線性賦范空間擴(kuò)充為Banach空間．定義 設(shè)X,||||X與Y,||||Y是同一個數(shù)域K上的兩個線性賦范間，如果T:XY滿足條T是同構(gòu)YXT是保范，即 ，xXYX 兩個保范同構(gòu)的空間一定是拓?fù)渫瑯?gòu)的．同理由于保范同構(gòu)是一個雙XY．定理4.9(空間完備化定理 對于線性賦范空間X,||||X必存在Banach間X||||XXXX這就是說：在保范同構(gòu)的意義下，存在唯一的一個BanachXXX04.21Lp[ab]p1Lp[ab．由此也可得Lp[abp1P[abLp[ab中稠Lp[a,bLp[ab中稠密．0 列緊去，但在無限中卻不再成立．例 C0,1中如下點列xn(nN)xnxn((nN)

t1,nN，||x||

xn(t)1，所以xn是C0,1中的有界點列有收斂子點列．事實上，xn(t)的極限函數(shù)x(t)limxn(t)

t n今 t0, 因C0,1完備，假設(shè)xn有收斂子序列xnxn xC0,1，即x(t)是0,1上的連續(xù)函數(shù)

(k今，則應(yīng)定義4.21X是線性賦范空間，MX．如果M中每個點列都有收斂子xXMM中每個點列都有收斂子序列收斂于一點xM，則稱M是列緊集．4.10XMX如果M列緊，則M必相對列緊M相對列緊的充要條件是M有限集必為列緊如果M是相對列緊集，則M如果M是列緊集，則M是有界閉集．證明(1)顯然．必要性．設(shè)M是相對列緊集，xnM．如果xn有某個子序列xnk 于M，則xn有收斂子序列，不妨仍記為xn，設(shè)x 今xX．由M 不妨設(shè)xMnNyM，使得||yx||1．設(shè)y kyn的收斂子序ynyM(k．k

||

y||||

||||

y||

||

y||0(k今n n這表明xn的子序列x

kyM，因而M為列緊kM為列緊集，xnM，則xnM xMXMnkn顯然假設(shè)M 集，則nN，存在xnM，使||xn||n．這表明k||xn (n)xn的任何子序列xn都有||xnk||k(k)，即xn的任何子序列都不收斂 由(4)M是有界閉集．定理 設(shè)X，Y是兩個線性賦范空間，T:XY連續(xù)，則T把X中（相對）列緊集映成Y中的（相對）證明設(shè)MX中的列緊集，ynT(MynxnM ynTxn．于是xn有收斂子序列xnx yn的相應(yīng)子序列ynk滿

xM(k．因T連續(xù)

ynTxnTxT(M (k) yT (k．從而T(M)是Y定理 設(shè)M是線性賦范空間X中的列緊集f:XR連續(xù)則證明4.11f(M是R中的列緊集，從而也是R中的有界閉集，y1inff(My2supf(M都存在，且都在f(M)之中．這表明存在x1M及x2M，使y1f(x1)，y2f(x2)，即f分別在x1M及x2M處取得它在M上的最小值和最大值．空間中，常常將列緊性說成緊性．有限維線性賦范空間的性質(zhì)確定的代數(shù)性質(zhì)，但由于性賦范空間中收斂性與線性結(jié)構(gòu)之間有一定的聯(lián)定理 設(shè)X是數(shù)域K上的n維線性賦范空間，e1,e2 en是X的n個基，則存在兩個常數(shù)0，使xXxieix

n22 i證明xX n

22

e2 2

x

2

記

，則有

i nx x

n

i

2

x是Kn上關(guān)于, ,的連續(xù)函數(shù)f(,,n) ,n)

x n位于Kn的單位球面S上，即21時，有

x0.

nn

0，必有iei，由e1,e2nn

en線性無關(guān)得，1,

,,n,n)全為零，與2 x在S上處處不為零. S是Knf在S上取得最小值m，且m0.于是，xXz2x

212( Szm. i

nn

1,,

2 2 2 m i i zx i 1，即得結(jié)論m1推論 設(shè)X是n維線性空間1

是X上的兩個范數(shù)，則 與 n 2 n證明數(shù)k,kL,L

x0

，其中x iei.由定理4.13可知，存在 1kx1

kx，L

Lxx x120綜合上面兩式得，cx120

k,ck.所以， 與

推論 任何有限維線性賦范空間都是Banach空間推論 T:XKn

nTx1

,4.13定理4.14任何實n維線性賦范空間必與Rnn維線性賦范空間必與Cn保范同構(gòu)．有限的緊性刻證明XnX與KnX到Kn的保范同構(gòu)為T，則1也是拓?fù)洌畬τ赬中的有界集M，T(M)是Kn中的有界集，從而是Kn中的相對列緊集．由定理4.11知，T(M)的原象MX中的相先給出下面的Riesz定理4.16(Riesz引理 設(shè)M是線性賦范空間X的一個真閉子空間，0x0X，x01d(x0,M)infyx yM1證明因MX，故有x1X\M記dinfy yM則d0(0,1)，那么 d．根據(jù)下確界定義，yM，使y ．1 1x0

x1

x1x01，且yx1x1y0x1x1yx1y0x1x1y0yy0xx1y,y0MM

x1

yy0M．從x1dyx0 1x1d即d(x0,M1定理4.17 線性賦范空間X是有限維的充要條件是X中每個有界集是相對.上單位球x1不是相對列緊集．任取x1X，x11，令X1{x xx1,KX1X4.16(Riesz引理)x2X，x21d(x,X)1 用X表示由x, 的二維子空間，則X是X的真閉 X選出了一列單位向量

n及一列真閉子空間

nd

,

)2(nN)．因而，當(dāng)mn時，由x 知，x d(x, )1．這 的點列xn不可能含有收斂的子序列．所以有界有限維子空間最佳近元的存在

x1定理4.18 設(shè)M是線性賦范空間X的有限維子空間，則xX，在M中總存在對x的最佳近元，即存在y0M使x

xy 在泛函分析中，把(特別是性空間上的)稱為算子，把值域為數(shù)集的算子稱為泛函．設(shè)X為線性賦范空間，MX的非空子集，算子TMMxM，使Tx*x*x是算子T的不動點．在眾多自然科學(xué)和工程技術(shù)中，常常把求解方程問題轉(zhuǎn)化成求某個算子的不動點問定義4.22設(shè)M是線性賦范空間X的非空子集，T:MM．如果存在正數(shù)k1，使得TxTy

x

，x,yM則稱T是M上的一個壓縮算子或壓縮．顯然壓縮算子是連續(xù)的定理4.19(Banach壓縮原理)設(shè)X是Banach空間，T:XX是壓,

Tnx(nNx

證明因T是壓縮，故存在k(0,1)，使x0X

TxTy

x

,x,yXx T

Tn

nN則nNknxn1kn

Txn

kxn因此n,pN

k

k

xn2

x0xnp

xnpxn

xnp1xn

xn11n n 1 k

x1x0

x1

(n) 這表明xX中的CauchyXxX,x (n．因T連續(xù)，對等式

兩邊取極限(令n)得TxxxT不動點，且由證明知x0XxnTnx0x(nxyTxTykx因為0k1，所以必有yx注1Banach壓縮原理不僅證明了Banach空間中壓縮的不動點的1n2在(4.5)pxx1nxn

x1

xn

1x1x01注3在完備度量空間中,壓 原理成立.設(shè)X,d是完備度量空間T:XX是壓 ，即存在常數(shù)k0,1，使得dTx,Tykdx,yxyX．則TXx*，且xXxnTnx(n 收斂x*除了Banach壓縮原理之外，還有兩個著名的關(guān)于連續(xù)的不動點定理，一個是Brouwer用拓?fù)鋵W(xué)的方法證明的有限的不動點定理，另一個是定理4.20(Brouwer不動點定理)設(shè)M是RnTMM是連續(xù)，則T在M中有不動點．定理4.21(Schauder不動點定理 設(shè)M是Banach空間X中非空緊凸集T:MM是連續(xù)，則T在M中有不點．下面給出Banach壓縮原理的一個應(yīng)用．4.23對于一階常微分方程的初值問dyf(x,yyx

解的存在與唯一問題，有下面的Picard定理：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在矩形D{(x,y|xx0a,yy0b}yLipschitz條件，即存在常數(shù)L0(x,y),(x,yD，有f(x,y)f(x,y')Lyy'則問題(4.6)在區(qū)間[x,x]上有唯一解，這里0b,1 min

LM(x,y

f(x,y)證明首先，問題(4.6)

xy0

f(x,y(x))dx 令C yC[x0,x0 d(y,y0)xx0

y(x)y0MxTy(x)y