初中數(shù)學(xué)人教八年級上冊第十三章 軸對稱1課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題 瀘州七中羅穎

第十三章軸對稱課題學(xué)習(xí)§最短路徑（第一課時(shí)將軍飲馬）教學(xué)設(shè)計(jì)瀘州七中羅穎教學(xué)目標(biāo)：1.利用軸對稱解決兩點(diǎn)之間最短路徑問題.2.將生活中的實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題.3.體會“軸對稱”的橋梁作用，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。重點(diǎn)：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間、線段最短”問題。難點(diǎn)：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題。

教學(xué)方法：問題引導(dǎo)式教學(xué)法、自主探究、小組合作相結(jié)合教具準(zhǔn)備：三角板、課件教學(xué)過程設(shè)計(jì)：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容及教師活動學(xué)生活動設(shè)計(jì)意圖一導(dǎo)課題引入【情境一】打了勝仗的將士們準(zhǔn)備班師回朝，可是人困馬乏，將軍打算先帶馬兒到一條筆直的河邊飲水，稍事休息再回軍營。你能幫將軍找到一條總路程最短的路嗎?這就是我們數(shù)學(xué)史上久負(fù)盛名的“將軍飲馬”問題。（板書：§最短路徑問題——將軍飲馬）欣賞視頻，激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)和興趣.以一個(gè)生活中的簡單例子引出課題，既可以吸引學(xué)生注意力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，又降低了課題學(xué)習(xí)的門檻，讓大多數(shù)學(xué)生輕松入門.二導(dǎo)模型探究二導(dǎo)模型探究活動一：復(fù)習(xí)舊知，明確結(jié)論為了解決這個(gè)問題，我們需要先復(fù)習(xí)這些知識。一環(huán)：課前精準(zhǔn)復(fù)習(xí)回顧1.看圖猜結(jié)論：兩點(diǎn)之間，線段最短。>點(diǎn)A、B關(guān)于直線成軸對稱，則PA=PB.方法點(diǎn)津：軸對稱,可改變點(diǎn)和線段的位置，但不改變線段的長度.3.如圖，點(diǎn)A、B在直線的異側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小？兩點(diǎn)之間，線段最短.連接AB，與交點(diǎn)即為點(diǎn)C.這也是最短路徑問題的一種典型模型。（板書）在這個(gè)問題中，點(diǎn)A、B在直線異側(cè)，我們可以總結(jié)為兩定一動一路徑.有了這樣一個(gè)模型引領(lǐng)，接下來，我們嘗試解決之前提出的將軍飲馬問題。二環(huán)：課中精準(zhǔn)釋疑【情境一】打了勝仗的將士們準(zhǔn)備班師回朝，可是人困馬乏，將軍打算先帶馬兒到一條筆直的河邊飲水，稍事休息再回軍營。你能幫將軍找到一條總路程最短的路嗎?問題1：解決這個(gè)實(shí)際問題，第一步做什么？問題2：如何抽象出數(shù)學(xué)問題？一般地,A、B兩地可以抽象成A、B兩點(diǎn),“河流”可以抽象成“直線l”（板書：抽象）問題3：題目已知什么？要求什么？請用自己的語言描述。【問題】如圖，點(diǎn)A,B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最?。?/p>

這就是我們數(shù)學(xué)建模的過程（板書：建模）問題4：我們能否類比模型一，解決“將軍飲馬”模型呢？（板書：類比）課前完成導(dǎo)學(xué)案（一環(huán)：課前精準(zhǔn)復(fù)習(xí)）3個(gè)習(xí)題自我評價(jià)、訂正兩點(diǎn)之間，線段最短。連接AB與l的交點(diǎn)即為C點(diǎn)學(xué)生稍作思考回答：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。學(xué)生眾說紛紜把A地和軍營抽象成A、B兩點(diǎn),河邊抽象成“直線l”在直線l上找一點(diǎn)C，使得CA＋CB最小。課前精準(zhǔn)前置學(xué)習(xí)，利用舊知解決新知。學(xué)生們暢所欲言,激發(fā)他們的語言表述,并有意識地規(guī)范他們的幾何表達(dá).二導(dǎo)模型探究二導(dǎo)模型探究活動二：類比猜想，啟迪新知問題5：同學(xué)們請觀察，模型一與模型二的區(qū)別和相同點(diǎn)分別是什么?師：兩個(gè)問題的相同之處在于求作點(diǎn)C使得AC與CB的和最?。繂栴}6：如何轉(zhuǎn)化為已解決的模型一？異側(cè)問題,只需連接AB，與l的交點(diǎn)即為點(diǎn)C.當(dāng)點(diǎn)A，B在l同側(cè)時(shí),我們想類比模型一來解決，那如何轉(zhuǎn)化才是關(guān)鍵。問題7：什么方法可以在不改變線段長度的前提下改變其位置呢？那就是我們本章的精髓——軸對稱.（板書）問題8：你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到符合條件的A'點(diǎn)嗎？接下來，請小組合作學(xué)習(xí)，在直線上找到點(diǎn)C,并畫出最短路徑；學(xué)生小組活動一:（5分鐘）獨(dú)立思考，再小組討論、合作學(xué)習(xí)，通過作圖嘗試解決問題.（明確小組合作學(xué)習(xí)要求）1.確定小組發(fā)言人，起立討論；2.在左圖直線上找到點(diǎn)C,并畫出最短路徑；3.討論完成請坐下。那還有其他作法嗎？那我們作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，再連接B′A可以嗎？當(dāng)然是可以的，這樣作出來的點(diǎn)C仍然在這個(gè)位置。教師投屏典型錯(cuò)例，這些畫法是否為最短路徑呢？我們可以通過幾何畫板來直觀感受線段長度的變化.幾何畫板雖然是一種科學(xué)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方式，但它仍達(dá)不到幾何證明的精準(zhǔn)，所以我們還得通過幾何證明去驗(yàn)證猜想。證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，C′B，C′A′請1分鐘時(shí)間完成導(dǎo)學(xué)案上的證明填空。由軸對稱的性質(zhì)知，CA=CA′，C′A=C′A′∴CA+CB=CA′+CB=A′BC′A+C′B=C′A′+C′B在△A′BC′中，A′B＜BC′+A′C′∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．問題9：我們在證明時(shí)為什么要另選一點(diǎn)C′呢?由于C′點(diǎn)是任意選取的,都有AC+BC＜AC′+BC′,從而說明C為距離之和最小的點(diǎn).我們證明過程的核心，就是通過軸對稱變換，把幾條線段轉(zhuǎn)化到了同一個(gè)三角形中。學(xué)生對比發(fā)現(xiàn)：模型一,A，B在直線l的異側(cè)模型二,A，B在直線l的同側(cè)通過思考,討論，作出圖形，并讓學(xué)生代表表達(dá)自己的想法,到黑板上作圖。作A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A',原來的同側(cè)兩點(diǎn)A、B就轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點(diǎn)A'、B。然后按照問題1的解決方法，再連接A'B與l形成的交點(diǎn)C即為所求。學(xué)生嘗試給出證明過程.完成導(dǎo)學(xué)案老師引導(dǎo)從模型一入手,找出異同,并思考如何把模型二轉(zhuǎn)化為模型一.問題引導(dǎo)式教學(xué)將學(xué)生的思維引導(dǎo)到需要的位置，幫助學(xué)生捋清頭緒，形成思維的模式.通過問導(dǎo)式和啟發(fā)式教學(xué),學(xué)生的模型意識逐漸建立,規(guī)范的幾何語言逐漸使用.學(xué)生通過類比問題一的解決過程,開始自主探究,小組合作。通過幾何畫板直觀感受數(shù)量的大小關(guān)系,并且對結(jié)論的證明有著提示作用,符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).讓學(xué)生們熟練這種證明方式,它將在高中的學(xué)習(xí)中尤為重要.突出C′的任意性,強(qiáng)調(diào)思維的嚴(yán)密.二導(dǎo)模型探究活動三：觀察發(fā)現(xiàn)，歸納總結(jié)將軍飲馬問題的作法分兩步:（1）作任意已知點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)；（2）連接對稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，其連線段與直線l的交點(diǎn)即為所求．關(guān)注三個(gè)重點(diǎn)：問題10：這種作法的理論依據(jù)是什么？問題11：這種作法是通過什么實(shí)現(xiàn)的？問題12：這種作法的核心思想是什么？我們這種作法的理論依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短，通過軸對稱，把不在同一直線上的兩條線段，轉(zhuǎn)化到同一直線上，達(dá)到“化折為直”的目的.同學(xué)們能用簡潔的語言來概括這個(gè)數(shù)學(xué)問題的中心思想嗎?還有補(bǔ)充嗎？飲馬問題通過軸對稱，解決了和最小的問題，可以用6個(gè)字歸納飲馬問題的核心:“和最小，對稱找”（板書）兩點(diǎn)之間線段最短軸對稱轉(zhuǎn)化生自由發(fā)言、補(bǔ)充.讓學(xué)生們體會“軸對稱”變換在解決最短路徑中所起到的橋梁作用,感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.三導(dǎo)模型應(yīng)用活動四：模型應(yīng)用，拓展強(qiáng)化通過我們的共同努力，終于幫將軍找到了這條馬兒先飲水再回軍營的最短路徑?！厩榫岸繎?zhàn)爭結(jié)束了，將軍終于可以休息幾天。這天將軍從家里出發(fā)，先牽馬到草地吃草，再到河邊飲水,最后迎著晚霞散步回家。請問，怎么走才能使得路程最短?問題13：首先將實(shí)際問題抽象成什么？問題14：如何抽象成數(shù)學(xué)問題？問題15：題目已知什么？要求什么？【問題】如圖，在∠AOB的邊OA，OB上分別找一點(diǎn)C，D使得PC+CD+PD最小．問題16：類比想想之前解決的問題，我們是怎樣“化折為直”的呢？軸對稱?！昂妥钚。瑢ΨQ找.”問題17：有兩條路徑，需作幾個(gè)對稱點(diǎn)？學(xué)生小組活動二:（5分鐘）出示小組探究活動要求,小組討論交流,如何找出C，D點(diǎn),展示小組作品.最后由學(xué)生代表作出圖形.選擇具有代表性的圖,哪幅圖才是正確的最短路徑呢?歸納作法：（所以對于這個(gè)一定兩動兩路徑模型，我們只需分別作......）1.過點(diǎn)P分別作關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)P’，P"2.連接P’P"并與OA，OB分別交于點(diǎn)C、D，此時(shí)PC+CD+PD最小，則點(diǎn)C、D即為所求。（理論證明留給同學(xué)們課后完成）生:首先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。把家抽象成一個(gè)點(diǎn)P,把草地、河邊抽象成直線OA,OB，題目可轉(zhuǎn)化為在∠AOB的邊OA，OB上分別找一點(diǎn)C，D使得PC+CD+PD最?。S對稱兩個(gè)生:本題要解決PC+CD+PD三條線段之和最小,只有將這三條不共線的線段轉(zhuǎn)化為共線以后,才能利用兩點(diǎn)之間線段最短來解決．那么,什么方法可以不改變路徑和只改變位置呢?因此本題需要做P點(diǎn)的對稱點(diǎn)了.

對剛剛建立的數(shù)學(xué)模型飲馬問題進(jìn)行變式和拓展,讓學(xué)生們解決生活中的實(shí)際問題,切實(shí)感受到學(xué)以致用.培養(yǎng)學(xué)生類比猜想,高度概括的能力.給與學(xué)生充分的思考時(shí)間,鼓勵通過作圖,表達(dá)意見,擦出思維的火花,從感性的猜想逐步過渡到理性的驗(yàn)證中.通過對比引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激烈的爭論,大膽的猜想，細(xì)心的求證,通過交流尋求解決問題的方法.課堂測評活動六：自我反思，精準(zhǔn)檢測八年級5班同學(xué)做游戲，在活動區(qū)域邊OP放了一些球(如圖)，則小明按怎樣的路線跑，去撿哪個(gè)位置的球，才能最快到達(dá)目的地A呢？請你幫小明設(shè)計(jì)游戲路線.2.如圖，點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)分別為C、D,連接CD,CD＝18,M、N分別為OA、OB邊上的動點(diǎn)，則△PMN的周長最小值為________.3.【情景三】這天，將軍迎著朝陽散步，他牽著馬兒先到河邊喝水，再到草地吃草，然后再到軍營去處理公務(wù)，怎么走才能使得路程最短呢？【問題】如圖，在∠AOB的邊OA,OB上分別找一點(diǎn)M，N，使得CM+MN+ND最?。ㄟ^微課小視頻來學(xué)習(xí)，課后完成在導(dǎo)學(xué)案上。課堂3分鐘，讓學(xué)生們利用所學(xué)獨(dú)立當(dāng)堂檢測。1題是不同的生活背景下的實(shí)際運(yùn)用，能增強(qiáng)學(xué)生們的應(yīng)變能力，加深理解.2題是考察學(xué)生能否將結(jié)論運(yùn)用在解題中，學(xué)以致用.3題作為飲馬模型的拓展延伸，訓(xùn)練發(fā)散思維，讓學(xué)生得到長遠(yuǎn)的發(fā)展。四導(dǎo)小結(jié)提升四導(dǎo)小結(jié)提升活動五：精準(zhǔn)總結(jié)，提高認(rèn)識1.本節(jié)課研究了平面圖形最短路徑的幾種經(jīng)典模型：（一）兩定一動一路徑：AB異側(cè)直接連，AB同側(cè)找對稱，轉(zhuǎn)化異側(cè)再解決.（1）AB異側(cè)（2）AB同側(cè)一定兩動兩路徑：則需兩個(gè)對稱點(diǎn)，借助軸對稱來轉(zhuǎn)化.（三）兩定兩動兩路徑:留給同學(xué)們課后完成.2.解決模型問題的步驟：一找二作三連四算，始終體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想.利用軸對稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短來解決,那么,平移變換又能否解決呢?我們將在下一節(jié)課揭曉答案.學(xué)生們及時(shí)回顧本節(jié)課的知識,并高度總結(jié)概括.引導(dǎo)學(xué)生們慢慢沉淀,積累，最后對于課題研究的基本過程也相應(yīng)小結(jié),為學(xué)生們種下建模的種子.課后作業(yè)三環(huán)：課后精準(zhǔn)作業(yè)【分層課后作業(yè)】（必做題）解決“兩定兩動兩路徑”模型的作圖.（選做題）(1)如圖1所示，在直線的同側(cè)有兩點(diǎn)A、B,在直線上找一點(diǎn)P，使得最大；(2)如圖2所示，在直線的異側(cè)有兩點(diǎn)A、B,在直線上找一點(diǎn)P，使得最大.學(xué)生課后完成分層作業(yè),分類要求,讓不同層次的學(xué)生都得到不同的發(fā)展.板書設(shè)計(jì)最短路徑問題——將軍飲馬軸對稱軸對稱“化折為直”類比“化折為直”轉(zhuǎn)化和最小，對稱找抽象和最小，對稱找建模教學(xué)反思：1.關(guān)于設(shè)計(jì)定位的反思“課題學(xué)習(xí)”作為初中數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域之一，是新課程標(biāo)準(zhǔn)的一大特色，它是一種新型的“綜合實(shí)踐”活動,強(qiáng)調(diào)的是以“課題”研究為標(biāo)志的研究性學(xué)習(xí)方式。在平面幾何中,往往借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究。本課設(shè)計(jì)旨在讓學(xué)生理解軸對稱在解決線段最值中的“橋梁”作用。并讓學(xué)生們意識到任何復(fù)雜的圖形實(shí)質(zhì)都是由各種基本圖形組合而成的,所以構(gòu)建模型思想,樹立建模意識,幫助學(xué)生利用知識解決實(shí)際問題,充分感悟生活中處處有數(shù)學(xué)。在教學(xué)過程設(shè)計(jì)中,始終堅(jiān)持兩條教學(xué)路線，一條是“以學(xué)生的發(fā)展為本”的教育理念,給學(xué)生構(gòu)建動手實(shí)踐、自主探究、合作交流的舞臺的“明線”,一條是注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)、研究、解決問題的通法的“暗線”。充分鼓勵和贊揚(yáng)學(xué)生敢于嘗試、敢于創(chuàng)造的精神。2.關(guān)于教學(xué)難點(diǎn)的突破本節(jié)課的難點(diǎn)是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,再將數(shù)學(xué)問題固化成數(shù)學(xué)模型,所以，用學(xué)生們熟知的異側(cè)問題過渡到同側(cè)問題，減少知識的唐突。證明中另選一點(diǎn)的方法也是不易想到，于是借助幾何畫板的動點(diǎn)演示，讓抽象變成具體?？偠灾R的掌握程度容易