(完整版)勾股定理專題(附答案,全面、精選)

初中數(shù)學勾股定理一、探索勾股定理【知識點 1】勾股定理定理內(nèi)容：在 RT△中，勾股定理的應用：在RT△中，知兩邊求第三邊，關鍵在于確定斜邊或直角典型題型1、對勾股定理的理解（1）已知直角三角形的兩條直角邊長分別為 a,b，斜邊長c，則下列關于 a,b,c的關系不成立的是（ ）A、c2-a2=b2 B、c2-b2=a2C、a2-c2=b2 D、a2+b2=c22）在直角三角形中，∠A=90°，則下列各式中不成立的是（）A、BC2-AB2=AC2 B、BC2-AC2=AB2C、AB2+AC2=BC2 D、AC2+BC2=AB22、應用勾股定理求邊長（3）已知在直角三角形 ABC中，AB=10cm, BC=8cm,求AC的長.（4）在直角△中，若兩直角邊長為 a、b，且滿足√α-6α+9+|b-4=0，則該直角三角形的斜2|邊長為 ．3、利用勾股定理求面積5）已知以直角△的三邊為直徑作半圓，其中兩個半圓的面積為25π，16π，求另一個半圓的面積。（6）如圖（1），圖中的數(shù)字代表正方形的面積，則正方形A的面積為 。

第1頁（7）如圖（2），三角形中未知邊 x與y的長度分別是x= ,y= 。8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，則AB的長為（）A、6B、8C、10D、129）在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖4所示）。已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是 S1、S2、S3、S4，則S1 S2 S3 S4=_____________?！局R點 2】勾股定理的驗證推導勾股定理的關鍵在于找面積相等，由面積之間的等量關系并結合圖形利用代數(shù)式恒等變形進行推導。（等積法）拼圖法推導一般步驟：拼出圖形---找出圖形面積的表達式---恒等變形—推出勾股定理。10）用四個相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c）按圖拼法。問題：你能用兩種方法表示下圖的面積嗎？對比兩種不同的表示方法，你發(fā)現(xiàn)了什么？11）用兩個完全相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c）按下圖拼法，論證勾股定理：a2 b2 c23、運用勾股定理進行計算（重難點）12）如圖,一根旗桿在離地面9米處折斷倒下,旗桿頂部落在離旗桿底部12米處,旗桿折斷前有多高？初中數(shù)學 第2頁13）兩棵之間的距離為8m，兩棵樹的高度分別為8m、【培優(yōu)突破】2m，一只小鳥從一棵樹的樹頂飛到另一棵樹的樹頂，這只小鳥至少要飛多少米？ 1、折疊問題（1）如圖是一張直角三角形的紙片， 兩直角邊AC=6cm、【基礎檢測】1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝13，BC＝5，則AC的長為（ ）A.5B.12C.13D.182、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若ab14cm，c10cm，則Rt△ABC的面積為（）A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm23、若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，則c=；（2）若a=6，c=10，則b=；（3）若a∶b=3∶4，c=10，則a=，b=。、如圖，陰影部分是一個半圓，則陰影部分的面積為。（不取近似值）

BC=8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點 B與點A重合，折痕為 DE，則BE的長為（ ）A、4cm B、5cmC、6cm D、10cm（2）如圖，折疊長方形的一邊AD，使點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求線段EC的值2、運用勾股定理解決生活中的實際問題（3）如圖，為了測得小水坑兩邊 A點和B點之間的距離，一個觀測者在 C點設樁，使∠ ABC=90°，并測得AC=20m，BC=16m,則A、B兩點之間的距離是對少 ?7255、一個直角三角形的斜邊為20cm,且兩直角邊長度比為3:4，求兩直角邊的長。3、分類討論（已知直角△的兩邊，求第三邊）（4）在△ABC中，AB=15，AC=20，BC邊上的高AD=12，則BC的值為（）A、25B、7C、25或7D、不能確定（5）已知3,4，a是一個三角形的三邊長，若三角形為直角三角形，則 a2的值是多少？（6）在直角△ABC中，AB=15，AC=20，BC邊上的高6、一個長為 10m為梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地 AD=12，則BC的值為多少？面的垂直高度為 8m，梯子的頂端下滑 2m后，底端向外滑動了多少米？4、利用方程解題（7）如圖，△ABC中，∠C=90°，D是BC上的一點，已知BD=7，AB=20，AD=15， 求AC的長.初中數(shù)學8）如圖，已知△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一點，且 AD⊥AC，求BD的長?！九鄡?yōu)訓練】一、選擇題1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點 C到AB的距離是（ ）361293√3A、5B、25C、4D、42．若三角形 ABC中，∠A：∠B：∠C=2：1：1，a，b，分別是∠A，∠B，∠C的對邊，則下列等式中，成立的是（）A．a(chǎn)2+b2=c2 B．a(chǎn)2=2c2 C．c2=2a2 D．c2=2b23．如圖，∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E．若OD=8，OP=10，則PE的長為（ ）A、5 B、6C、 7 D、84．如圖在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB邊的垂直平分線，垂足為D，交邊BC于點E，連接AE，則△ACE的周長為（）A、16B、15C、14D、135．如圖，矩形紙片 ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為（）4A、1 B、33C、 D、226．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高 AD=8，則邊BC的長為（ ）A、21 B、15 C、6 D、以上答案都不對7．如圖，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已

第3頁知BC=8，AC=6，則斜邊AB上的高是（）A、10 B、524 12C、 D、5 58．如圖，陰影部分是一個矩形，它的面積是（ ）A、 5cm2B、3cm2C、 4cm2 D、5cm29．張大爺離家出門散步，他先向正東走了 30m，接著又向正南走了 40m，此時他離家的距離為（ ）mA．30 B．40 C．50 D．7010．如圖在△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，則點D到AB邊的距離為（ ）A、18 B、32C、28 D、2411．如圖所示，是用 4個全等的直角三角形與 1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為 49，小正方形面積為 4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個說法：①x2+y2=49， ②x﹣y=2，2xy+4=49，④x+y=9．其中說法正確的是（）A、①② B、①②③C、①②④ D、①②③④二．填空題（共 2小題）12．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，若AB=5cm，BC=6cm，則AD=_____cm．13．如圖，直線L過正方形ABCD的頂點B，點A、C到直線L的距離分別是1和2，則正方形的邊長是 _________ ．14、如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求線段EF的長。初中數(shù)學二、勾股定理的逆定理【知識點3】勾股定理的逆定理（1）如果△的三邊α，b,c滿足關系滿足，則該△為直角三角形。（2）△的三邊α，b,c，假設c為最長邊222，則該△為三角形①??+??>??222，則該△為三角形②??+??<??（3）勾股定理逆定理的用途典型題（1）下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)， 可作為三邊長構成直角三角形的是（）A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，17（2）若線段a，b，c組成直角三角形，則它們的比為（）A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶7（3）下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三邊長分別為 8，15，17．其中是直角三角形的個數(shù)有（ ）個．A．1B．2C．3D．4（4）若三角形的三邊之比為√2：1：1，則這個三角2√2形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等邊三角形（5）已知a，b，c為△ABC三邊，且滿足（2??-2222）??）（??+??-??）=0則它的形狀為（A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

第4頁①若三角形三條邊的長分別是 7,24,25，則這個三角形的最大內(nèi)角是 度。②已知三角形三邊的比為 1： 3：2，則其最小角為 ?！局R點4】勾股數(shù)（1）勾股數(shù)是正整數(shù)（2）滿足的關系條件222??+??=??（3）勾股數(shù)的n倍（n≠0），仍然滿足??+??=??（4）常見勾股數(shù)三、勾股定理的應用1、與圖形展開的有關計算（注意展開方式）（1）某樓梯的側面視圖如圖 3所示，其中 米，， ，因某種活動要求鋪設紅色地毯，則在 AB段樓梯所鋪地毯的長度應為 ．（2）如圖，在棱長為1的正方體 ABCD—A’B’C’D’的表面上，求從頂點A到頂點C’的最短距離．6）將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù),得到的三角形是()A．鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形（7）若△ABC的三邊長分別長a,b,c，且滿足22??+??+2試判斷△ABC的形狀。??+200=12α+16b+20??,（8）△ABC的兩邊分別為 5,12，另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是 3的倍數(shù)，則 c應為 ，此三角形為 。

（3）如圖一個圓柱，底圓周長 6cm，高4cm，一只螞蟻沿外壁爬行，要從A點爬到B點，則最少要爬行 cmBA（9）求：初中數(shù)學第5頁（4）國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，（3）如圖，某沿海開放城市A接到臺風警報，在該市目前正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng)改造，某地有四個村莊正南方向260km的B處有一臺風中心，沿BC方向以A、B、C、D，且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計15km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離劃在四個村莊聯(lián)合架設一條線路，他們設計了四種架設AD=100km.方案，如圖實線部分．請你幫助計算一下，哪種架設方①那么臺風中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？案最省電線．②如果在距臺風中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險？CADB2、航海問題1）一輪船以16海里/時的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時以12海里/時的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過1.5小時后，它們相距________海里2）如圖，某貨船以24海里／時的速度將一批重要物資從A處運往正東方向的 M處，在點 A處測得某島 C在北偏東60°的方向上。該貨船航行 30分鐘到達B處，此時又測得該島在北偏東 30°的方向上，已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無暗礁危險？試說明理由。

3、網(wǎng)格問題1）如圖1，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長為無理數(shù)的邊數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3（2）如圖 2，正方形網(wǎng)格中的 △ABC，若小方格邊長為1，則△ABC是（ ）A.、直角三角形 B、銳角三角形C、鈍角三角形 D、以上答案都不對（3）如圖，小方格都是邊長為 1的正方形,則四邊形 ABCD的面積是 ( )A．25B.12.5C.9D.8.5（4）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是 1，每個小格的頂點叫格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形：①使三角形的三邊長分別為3、√8、√5（在圖甲中畫一個即可）；初中數(shù)學②使三角形為鈍角三角形且面積為4（在圖乙中畫一個即可）．4、折疊問題（1）如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊 AC=6，BC=8，將△ABC折疊，使點 B與點A重合，折痕為 DE，則CD等于（ ）2522A.B.4375C.D.432）如圖所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的長．3）如圖，在長方形ABCD中，DC=5，在DC邊上存在一點E，沿直線AE把△ABC折疊，使點D恰好在BC邊上，設此點為F，若△ABF的面積為30，求折疊的△AED的面積

第6頁4）如圖，在長方形ABCD中，將△ABC沿AC對折至△AEC位置，CE與AD交于點F。①試說明：AF=FC；②如果AB=3，BC=4，求AF的長5）如圖2所示，將長方形ABCD沿直線AE折疊，頂點D正好落在BC邊上F點處，已知CE=3cm，AB=8cm，則圖中陰影部分面積為_______．6）如圖，將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點G。如果M為CD邊的中點，求證：DE：DM：EM=3：4：5初中數(shù)學勾股定理 參考答案一、探索勾股定理（1）C （2）D（3）沒有確定斜邊的情況下，需要先確定斜邊。6或241（4）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，b=4和a2a690，解得a=3，根據(jù)勾股定理，斜邊 =55）這類型題目（分別以直角三角形三邊所作的同類型圖形，如正多邊形、半圓等），均滿足（如圖中所示）S1=S2+S3，S3=9π6）25（7）10，12（8）C，斜邊AB=109）4，根據(jù)全等三角形和勾股定理，S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=1+3=410）s=（a+b）2=4×1ab+c2，2結論： a2+b2=c2（11）S=1(a+b)(a+b)=2×1ab+c222結論：a2+b2=c2212）h=9+√9+12=9+15=24m13）10m【基礎檢測】1、B2、A,解：(a+b)2=a2+b2+2ab,解得：1ab=2423、（1）13，（2）8，（3）6, 84、72π5、12,16解：根據(jù)題意，本題中直角三角形三邊關系為4:5，三邊分別為3x,4x,5x，5x=206、作如下輔助圖：BD=CE=10，AB=8，BC=2，AC=6根據(jù)勾股定理： AD=6,AE=8DE=AE-AD=8-6=2m【培優(yōu)突破】1）B2）3cm，注意翻折構造全等，勾股定理3）12m4）C，如右圖5）25或7，在沒有確定直角或斜邊的情況下，需要討論確定斜邊。6）25，AB一定是直角邊，想想：BC是否一定是斜

第7頁邊呢？BC邊上的高為12，不是15，所以BC一定是斜邊（7）12,解：設DC=y，根據(jù)勾股定理有：AC2=AB2-(BD+y)2=AD2-y2,即202-(7+y)2=152-y2解得：y=9AC=12（8）7,解：作AE⊥BC與E，設BD=X則AE=12DE=16-xDC=32-x如圖，根據(jù)勾股定理有：AD2=AE2+DE2=DC2-AC2即AD2=122+（16-2(32-x)2-202x）=解得：x=7【培優(yōu)訓練】1、A，三角形的面積計算2、B3、B,4、A，5、C6、D，如右圖，BC的長21或97、C 8、A 9、C 10、C11、B,充分利用完全平方公式與勾股定理的證明12、4 13、√514、連接AD， 則△BDE≌△ADF， 則△ADE≌△CDF，則AE=CF=5，AF=BE=12，∴EF=13二、勾股定理的逆定理典型題答案1）D（2）C（3）D（4）C5）C（6）C7）直角三角形222α+16b+20??解：??+??+??+200=122