質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)典型例題2

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)典型例題 2求解風(fēng)吹氣球時(shí)氣球的運(yùn)動(dòng)情況一氣球以速率V0從地面上升，由于風(fēng)的影響，氣球的水平速度按Vxby增大，其中b是正的常量，y是從地面算起的高度，x軸取水平向右的方向。試計(jì)算：氣球的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程；氣球水平飄移的距離與高度的關(guān)系；氣球沿軌道運(yùn)動(dòng)的切向加速度和軌道的曲率與高度的關(guān)系。解：（1）取平面直角坐標(biāo)系x0y，如圖一，令t=0時(shí)氣球位于坐標(biāo)原點(diǎn)（地面），已知VyV0，Vxby.顯然，有yV0t.（1）而dxbybV0t,dxbV0tdt,dt對(duì)上式積分，xdxtbV0tdt,得到00bV0t2（2）x.2故氣球的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：rbV0t2iV0tj.2(2)由（1）和（2）式消去t，得到氣球的軌道方程，即氣球的水平飄移距離與高度的關(guān)系x b y2.2V0（3）氣球的運(yùn)動(dòng)速率V Vx2 Vy2 b2V02t2 V02 b2y2 V02氣球的切向加速度dVb2V0tb2V0y.adtb2t21b2y2V02而由ana2a2和a222dVx)2dVy)222,可得axay((bV0dtdtanbV02b2y2.V02由anV2，求得V2 (b2y2 V02)3/2an bV02小船船頭恒指向某固定點(diǎn)的過(guò)河情況一條筆直的河流寬度為 d，河水以恒定速度u流動(dòng)，小船從河岸的 A點(diǎn)出發(fā)，為了到達(dá)對(duì)岸的O點(diǎn)，相對(duì)于河水以恒定的速率V（V>u）運(yùn)動(dòng)，不論小船駛向何處，它的運(yùn)動(dòng)方向總是指向O點(diǎn)，如圖一，已知 AO r0, AOP 0,試求：小船的運(yùn)動(dòng)軌跡。若O點(diǎn)剛好在A點(diǎn)的對(duì)面（即AO d），結(jié)果又如何？解：選定極坐標(biāo)系，原點(diǎn)為O點(diǎn)，極軸為OP。在任一時(shí)刻t，小船的位置為（r,），小船速度的徑向分量和橫向分量VrdrVrdVucosusindtdt兩式相除，得到rddusindtdrrVucosdrdt分離變量，drVucosd(Vctg)d,rusinusin積分后，得到rdr(Vctg)drr00usinlnrV(lntanlntan0)(lnsin0lnsin)r0u22tg2V/usin0ln[[])],(tg0sin2既tgr[2]V/u(sin0).r0tg0sin2這就是用極坐標(biāo)表示的小船的軌跡方程。若O點(diǎn)剛好在A點(diǎn)的對(duì)面，則r0d,0，2代入，得rd(tg)V/u.sin2求解小環(huán)對(duì)地的運(yùn)動(dòng)情況一細(xì)桿繞端點(diǎn)O在平面內(nèi)勻角速旋轉(zhuǎn)，角速度為，桿上一小環(huán)（可看作質(zhì)點(diǎn)）相對(duì)桿作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為u.設(shè)t0時(shí)小環(huán)位于桿的端點(diǎn)O，求：小環(huán)的運(yùn)動(dòng)軌跡及小環(huán)在任意時(shí)刻的速度和加速度。解：本題采用極坐標(biāo)系較為方便。取 t=0時(shí)細(xì)桿的位置為極軸，此時(shí)小環(huán)位于端點(diǎn) O.任意時(shí)刻 t，小環(huán)的位置r ut, t.這就是小環(huán)在極坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。消去t，便得小環(huán)的軌跡方程：r u ,式中u為常量，r與 成正比，小環(huán)的軌跡為阿基米德螺線，如圖一。在任意時(shí)刻，小環(huán)的徑向速度Vrdru,dt橫向速度速度的大小

Vrdrut,dtVVr2V2u2(r)2u12t2.速度的方向指向阿基米德線的切線方向。小環(huán)的徑向速度的大小不變，橫向速度隨r的增大而增大。任意時(shí)刻，小環(huán)的加速度adVd(ur0r0)，dtdtr0 和0為徑向和橫向的單位矢量，則audr0drdtdt

0

drdt

0ud0drdtdtr2r02u

00

d 0r r既徑向加速度 a r 2 u 2t;橫向加速度 a 2u .加速度的大小為aa2a2u42t2盡管質(zhì)點(diǎn)的徑向速度大小不變，但徑向加速度并不為零，這是橫向速度方向的變化引起的。即使u=0,小環(huán)停在半徑上某一位置處，這一項(xiàng)還是有的，這就是向心加速度。橫向加速度一半是徑向速度的方向改變引起的，另一半則是由半徑增大造成橫向速度增大引起的，因?yàn)檫@里橫向加速度是由徑向速度和橫向速度共同造成的。求解煙對(duì)船的速度當(dāng)蒸汽船以15km/h的速度向正北方向航行時(shí)，船上的人觀察到船上的煙囪里冒出的煙飄向正東方向。過(guò)一會(huì)兒，船以24km/h的速度向正東方向航行，船上的人則觀察到煙飄向正西北方向。若在這兩次航行期間，風(fēng)速的大小和方向都不變，求：風(fēng)速。（煙對(duì)地的速度即風(fēng)對(duì)地的速度。）解：設(shè)風(fēng)速為，則人觀察到煙的飄向速度為V煙船 V馮地 V船地由圖一所示，可知Vsin15（1）24V（2）sin(1350)sin450由（2），得到cos sin 24.V將（1）代入上式，得到cossin248sin15/sin,55cos5sin8sin,得到tg51.67，5903即風(fēng)來(lái)自西偏南 590，風(fēng)速大小為 17.5km/h.運(yùn)用速度的相對(duì)性求解飛機(jī)往返一次的飛行時(shí)間一架飛機(jī)由A處向北飛往B處，然后又向南飛回A處。已知A、B相距為L(zhǎng)，飛機(jī)相對(duì)于空氣的速度為V，而空氣相對(duì)于地面的速度（即風(fēng)速）為u，其方向?yàn)楸逼鹘?，求：飛機(jī)往返一次的飛行時(shí)間。解：由分析可知，V機(jī)對(duì)地V機(jī)對(duì)氣V氣對(duì)地，為了使飛機(jī)相對(duì)于地面的速度V的方向指向正北。飛機(jī)相對(duì)于空氣的速度V必須北偏東角，如圖一所示。由上面的矢量式，得到Vx Vsin usin 0 Vy Vcos ucos.消去，得到VyV2u2sin2ucos所以往程所需時(shí)間為L(zhǎng)t1Vy當(dāng)飛機(jī)由B返回A時(shí)，V、u、V三者的關(guān)系如圖二所示。同樣可得，VxVsinusin0,VyVcosucos消去，得到VyV2u2sin2ucos.所以返程所需時(shí)間為t2

LVy則所求時(shí)間可求。運(yùn)用假設(shè)法判定靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力在桌上有質(zhì)量為m1=1kg的板，板與桌面之間的摩擦因數(shù)u10.5.板上有放有質(zhì)量m2=2kg的物體，板與物體之間的摩擦因數(shù)20.25，如圖一。今以水平力F=19.6N將板從物體下抽出。問(wèn)：板與物體的加速度各為多少？解：當(dāng)用力F拉動(dòng)木板時(shí)，板上物體的運(yùn)動(dòng)有兩種可能性，一是物體相對(duì)于板為靜止，另一是物體的加速度小于板的加速度，即物體的運(yùn)動(dòng)滯后于板的運(yùn)動(dòng)，板將從物體下抽出?，F(xiàn)分兩種情況分別討論。1）物體的運(yùn)動(dòng)滯后于板的運(yùn)動(dòng)的情況物體和板的受力情況如圖二所示。注意桌面給予板的摩擦力以及板與物體間的摩擦力均為滑動(dòng)摩擦力。設(shè)板的加速度為a1，物體的加速度為a2。列出板和物體的運(yùn)動(dòng)方程：對(duì)板：F f1 f2 m1a1,N1 N2 m1g 0，f2m2a2,N2m2g0.又因?yàn)閒11N1,f22N2聯(lián)立方程組，得a1F2m2g1(m1m2)g,a22g.m1代入數(shù)值，得a10,a20.25g2.45m/S2在本題的條件下，a2a1,這顯然是不合理的。2）物體與板相對(duì)靜止，物體與板一起運(yùn)動(dòng)的情況物體與板的受力圖如圖三所示。這里桌面給予板的摩擦力為滑動(dòng)摩擦力，而物體與板間的摩擦力為靜摩擦力。板與物體的加速度相同，設(shè)為a，列出板與物體的運(yùn)動(dòng)方程：Ff1f2m1a,N1N2m1g0,f2m2a,N2m2g0,又因?yàn)閒11N1.聯(lián)立解方程，得到F1(m1m2)gam1m2,f2m2F1(m1m2)gm1m2,代入數(shù)值，得到a 1.63m/S2，f2 3.26N.所求得的靜摩擦力 f2小于最大靜摩擦力（fmzx 2N2 4.9N），所以是可能實(shí)現(xiàn)的。由第一種情況的討論可知，只有a1a2才能將板從物體下抽出，根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，可得F2m2g1(m1m2)gm12g,或者F(12)(m1m2)g.代入數(shù)值，得到F〉2.25g 22.5N.飛車走壁一雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車走壁。設(shè)演員和摩托車的總質(zhì)量為 M，直壁半徑為R，演員騎摩托車在直壁上以速率V做勻速圓周螺旋運(yùn)動(dòng)，每繞一周上升的距離為h，如圖一所示，求：直壁對(duì)演員和摩托車的作用力。解：演員受到兩個(gè)力的作用。一是重力G，另一個(gè)是直壁的作用力N.把N分解為沿直壁向上的N1和指向圓周運(yùn)動(dòng)中心的N2，如圖二所示。同樣，把演員的速度V分解為豎直向上的V1和繞筒壁做圓周運(yùn)動(dòng)的水平速度V2，于是N1Mg,N2ManMV22.R展開(kāi)螺旋面成斜面，如圖三所示，V沿斜面向上。且有V2VcosV2R,(2R)2h2代入，得到N2MV242Rh242R2故圓筒壁對(duì)雜技演員的作用力大小為N12N22方向與壁成角 ，arctgN2arctg42RV2.N1(42R2h2)g求解小船轉(zhuǎn)向的情況一質(zhì)量為M的機(jī)動(dòng)船，在進(jìn)入河道彎道前Q點(diǎn)處關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，以速度V0在靜水中行駛，設(shè)水的阻力與船速成正比。（1）若Q點(diǎn)至彎道處P點(diǎn)的距離為L(zhǎng)0，求船行至P點(diǎn)時(shí)的速度；（2）若船行至P點(diǎn)時(shí)開(kāi)動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)，給船以F0的轉(zhuǎn)向力，F(xiàn)0與速度方向的夾角為，如圖一所示，求：船在該點(diǎn)的切向加速度以及航道的曲率半徑。解：（1）在PQ的河流直道行駛中，船僅受水的阻力，fkV,k為比例系數(shù)，負(fù)號(hào)表示與速度的方向相反。有牛頓運(yùn)動(dòng)定律，得到fkVmdV,dtkVdVdsdVmmV,ds