2022年秋高中數(shù)學第六章平面向量及其應用6.4平面向量的應用6.4.3余弦定理正弦定理第3課時余弦定理正弦定理應用舉例課后提能訓練新人教A版必修第二冊

PAGEPAGE7第六章6.46.4.3第3課時A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．(2021年河南模擬)學校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4m，∠A＝30°，則其跨度AB的長為()A．12m B．8mC．3eq\r(3)m D．4eq\r(3)m【答案】D【解析】由題意知∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，即AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(4·sin120°,sin30°)＝4eq\r(3)(m)．2．(2021年哈爾濱月考)一艘船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為()A．eq\f(17\r(6),2)nmile/h B．34eq\r(6)nmile/hC．eq\f(17\r(2),2)nmile/h D．34eq\r(2)nmile/h【答案】A【解析】如圖所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(68×\r(3),\r(2))＝34eq\r(6)，∴v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17\r(6),2)(nmile/h)．3．(多選)在△ABC中，已知(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是()A．由已知條件，這個三角形被唯一確定B．△ABC一定是鈍三角形C．sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3D．若b＋c＝8，則△ABC的面積是eq\f(15\r(3),2)【答案】BC【解析】∵(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，∴設(shè)a＋b＝6k，c＋a＝5k，b＋c＝4k(k＞0)，得a＝eq\f(7,2)k，b＝eq\f(5,2)k，c＝eq\f(3,2)k，則a∶b∶c＝7∶5∶3，則sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3，故C正確．由于△ABC的邊長不確定，則三角形不確定，故A錯誤．cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(25,4)k2＋\f(9,4)k2－\f(49,4)k2,2×\f(5,2)×\f(3,2)k2)＝－eq\f(1,2)＜0，則A是鈍角，即△ABC是鈍角三角形，故B正確．若b＋c＝8，則eq\f(5,2)k＋eq\f(3,2)k＝4k＝8，則k＝2，即b＝5，c＝3，A＝120°，∴△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×5×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4)，故D錯誤．故選BC．4．在地面上點D處，測量某建筑物的高度，測得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點20m，則建筑物高度為()A．20m B．30mC．40m D．60m【答案】C【解析】如圖，設(shè)O為頂端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，在△ABD中，易知∠A＝30°，∠ADB＝60°－30°＝30°，∴△ABD為等腰三角形，即AB＝BD＝40(m)．5．(2021年武漢模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝eq\r(3)，A＝75°，B＝45°，則△ABC的外接圓的面積為()A．eq\f(π,4) B．πC．2π D．4π【答案】B【解析】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，所以C＝180°－A－B＝60°.設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，則由正弦定理，可得2R＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，解得R＝1，故△ABC的外接圓的面積S＝πR2＝π.6．有一個長為1千米的斜坡，它的傾斜角為75°，現(xiàn)要將其傾斜角改為30°，則坡底要伸長________千米．【答案】eq\r(2)【解析】如圖，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2)(千米)．7．(2021年沈陽月考)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，D為邊BC的中點，AD＝eq\f(\r(7),2)，則△ABC的面積是________．【答案】eq\f(\r(3),2)【解析】在△ABC中，由中線長定理可得：c2＋22＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),2)))eq\s\up12(2)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)，化為2c2＋1＝a2.由余弦定理可得a2＝c2＋22－4ccosA，化為a2＝c2＋4－2c.聯(lián)立解得c＝1.∴S△ABC＝eq\f(1,2)×bcsinA＝eq\f(1,2)×2×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).8．一艘船以4km/h的速度沿著與水流方向成120°的方向航行，已知河水流速為2km/h，則經(jīng)過eq\r(3)h，該船實際航程為________km.【答案】6【解析】如圖所示，在△ACD中，AC＝2eq\r(3)，CD＝4eq\r(3)，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2eq\r(3)×4eq\r(3)×eq\f(1,2)＝36.∴AD＝6.即該船實際航程為6km.9．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且cosB＝eq\f(4,5)，b＝2.(1)當A＝eq\f(π,6)時，求a的值；(2)若△ABC的面積為3，求a＋c的值．解：(1)因為cosB＝eq\f(4,5)>0，所以B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).所以sinB＝eq\f(3,5).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(a,sin\f(π,6))＝eq\f(10,3)，解得a＝eq\f(5,3).(2)由△ABC的面積S＝eq\f(1,2)acsinB，得eq\f(1,2)ac×eq\f(3,5)＝3，得ac＝10.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得4＝a2＋c2－eq\f(8,5)ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20，所以(a＋c)2－2ac＝20，即(a＋c)2＝40.所以a＋c＝2eq\r(10).B級——能力提升練10．如圖所示，從氣球A上測得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高度AD是60m，則河流的寬度BC是()A．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m【答案】C【解析】由題意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60m，∴AC＝120m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝eq\f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝120(eq\r(3)－1)(m)．11．(2021年聊城期末)如圖所示，在地面上共線的三點A，B，C處測得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，則建筑物的高度為()A．15eq\r(6)m B．20eq\r(6)mC．25eq\r(6)m D．30eq\r(6)m【答案】D【解析】設(shè)建筑物的高度為hm，由題圖知PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度為30eq\r(6)m.12．(2021年鄭州模擬)甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°方向的B處，兩船相距anmile，乙船正向北行駛，若甲船的速度是乙船的eq\r(3)倍，則甲船應沿________方向行駛才能追上乙船；追上時甲船行駛了________nmile.【答案】北偏東30°eq\r(3)a【解析】如圖所示，設(shè)在C處甲船追上乙船，乙船到C處用的時間為t，乙船的速度為v，則BC＝tv，AC＝eq\r(3)tv，又B＝120°，則由正弦定理eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得eq\f(1,sin∠CAB)＝eq\f(\r(3),sin120°)，∴sin∠CAB＝eq\f(1,2)，∴∠CAB＝30°，∴甲船應沿北偏東30°方向行駛．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝anmile，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BCcos120°)＝eq\r(a2＋a2－2a2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(3)a(nmile)．13．如圖，海岸線上有相距5海里的兩座燈塔A，B．燈塔B位于燈塔A的正南方向．海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔A的北偏西75°，與A相距3eq\r(2)海里的D處；乙船位于燈塔B的北偏西60°方向，與B相距5海里的C處，此時乙船與燈塔A之間的距離為________海里，兩艘輪船之間的距離為________海里．【答案】5eq\r(13)【解析】連接AC，由題意可知AB＝BC＝5，∠ABC＝60°，可得AC＝5，∠BAC＝60°.在△ACD中，∠CAD＝45°，根據(jù)余弦定理可得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos∠CAD＝25＋18－2×5×3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝13.故乙船與燈塔A之間的距離為5海里，兩艘輪船之間的距離為eq\r(13)海里．14．(2021年信陽月考)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長．解：(1)由題設(shè)得eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(a2,3sinA)，即eq\f(1,2)csinB＝eq\f(a,3sinA).由正弦定理得eq\f(1,2)sinCsinB＝eq\f(sinA,3sinA).故sinBsinC＝eq\f(2,3).(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－eq\f(1,2)，即cos(B＋C)＝－eq\f(1,2)，所以B＋C＝eq\f(2π,3)，故A＝eq\f(π,3).(方法一)由題設(shè)得eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(a2,3sinA)，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝eq\r(33).故△ABC的周長為a＋b＋c＝3＋eq\r(33).(方法二)因為a＝3，所以2R＝eq\f(a,sinA)＝2eq\r(3)(R為△ABC外接圓的半徑)，所以sinBsinC＝eq\f(b,2R)·eq\f(c,2R)＝eq\f(bc,（2\r(3)）2)＝eq\f(bc,12)＝eq\f(2,3)，則bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－2bc·coseq\f(π,3)＝9，即b2＋c2－bc＝9，所以(b＋c)2－3bc＝9，所以(b＋c)2＝9＋3bc＝9＋3×8＝33，故b＋c＝eq\r(33).所以△ABC的周長為a＋b＋c＝3＋eq\r(33).C級——探索創(chuàng)新練15．為保障高考的公平性，高考時每個考點都要安裝手機屏蔽儀，要求在考點周圍1km內(nèi)不能收到手機信號．檢查員抽查某市一考點，在考點正西約eq\r(3)km處有一條北偏東60°方向的公路，在此處檢查員用手機接通電話，以12km/h的速度沿公路行駛，最長需要________min，檢查員開始收不到信號，并至少持續(xù)________min，該考點才算合格．【答案】55