儲慶昕高等電磁場講義 第十章

10-10-第講等效原理與感應(yīng)定理10.1等效原理電磁場問題的解是由方程和邊界條件決定的。也就是說，如果保持區(qū)域中的源分布、媒質(zhì)分布以及區(qū)域邊界上的邊界條件不變，則場分布不變。這些便是電磁場等效原理的基礎(chǔ)。唯一性定理告訴我們，只要知道了所規(guī)定區(qū)域v中的源、媒質(zhì)及包圍該區(qū)域的閉合曲面s上的切向電場或切向磁場則該區(qū)域中的場唯一確定。這里并未提及區(qū)域V外的源和媒質(zhì)的分布情況。事實上，區(qū)域V外的源對區(qū)域V內(nèi)的場的貢獻已包含在曲面s上的切向電場或切向磁場中。區(qū)域V外不同分布的源只要在閉合曲面s上產(chǎn)生相同的切向場，在區(qū)域V內(nèi)產(chǎn)生的場也相同。等效的概念是這樣表述的：在區(qū)域V外具有不同源分布和媒質(zhì)分布，而在區(qū)域V內(nèi)源分布和媒質(zhì)分布相同的一些電磁場問題如果在區(qū)域V內(nèi)具有相同的場分布，則對區(qū)域V內(nèi)而言這些電磁場問題是等效的。考慮如圖10-1（a）所示的場問題。（10-1（10-1）（10-2）曲面s將區(qū)域分成兩部分Vi和V2。原問題在s上滿足聳■(H■H)■0■aa聳■(E■E)■0aa即在s上不存在源。將（10-1）寫為lb■H■n■HTOC\o"1-5"\h\z■aa，■e■n■eaa雖然在數(shù)學(xué)上（10-2）只是（10-1）變化而來的恒等式，似乎很無聊，但反映的物理內(nèi)含是不同的。（10-1）表示的是區(qū)域V1和V2的交界面邊界條件，而（10-2）表示的是包圍區(qū)域V1或V2的閉合曲面的切向場邊界條件。1212如果人為地令區(qū)域V1中場為%"b,而V2中源、媒質(zhì)和場分布保持不變，如圖10-Mb）所示。設(shè)在曲面S上睢■(H■H)■J■abs好■(E■E)HHMabs（10-3）式中，，和M^分別表示在曲面s上區(qū)域V］和V2中的切向磁場和電場的差值。根據(jù)兩區(qū)域交界面的邊界條件可知，J和M就是在曲面s上的面電流源和面磁流源。所以，為ss__了支持如圖10-1（b）所示的場分布，在s面上應(yīng)人為地加上面電流源J,和面磁流源M：^W■n■（h■h）■sabIM■（E■E）sab實際上，，和Ms的作用是，它們在V2中產(chǎn)生的場恰好抵消了V1中的變化對V2中場的影響，的場保持不變。、212（10-4）如果把s面看成包圍V2的閉合曲面，則由（10-3）和（10-4）得s面上的切向場滿足

____n■h■j■n■h■n■h（10-5）asba—?—?n■e■■m■n■e■n■e（10-6）asba與（10-2）相同。所以對于區(qū)域V2來說，圖10-1（b）與圖10-1（a）的問題等效。注意，在上述討論中并未涉及V1中源和媒質(zhì)分布，即它們可以隨意設(shè)定，這對分析是很有好處的。下面討論幾種常用的特殊情況下的等效原理?！鯨ove場等效原理令圖10-1（b）中區(qū)域V1中的場為零場，則s面上的等效面流為J■nUH■sa—_|M■嗡HEsa（10-7）情況1：設(shè)V1中媒質(zhì)分布與V2中相同，即，■則等效問題就是自由空間中均勻填充，■^的源輻射問題。情況2：設(shè)V1中填充理想導(dǎo)體。注意s面即不屬于V1也不屬于V2，而是無限靠近兩區(qū)域。所以這___時J和M是無限靠近理想導(dǎo)體。根據(jù)互易定理，這時J是不產(chǎn)生電磁場的。所以這時s面上起作用ss_的只有面磁流M。s__情況3：設(shè)V中填充理想磁體。這時面磁流M不產(chǎn)生場，起作用的只有面電流J。情況2和3也印證了電磁場唯一性定理，只需切向電場或切向磁場之一就可以唯一確定場?！龆鄥^(qū)域等效原理下面介紹更一般的等效原理，多個區(qū)域等效于多個原有問題。為方便起見，不失一般性，這里只考慮雙區(qū)域等效原理。(a)(b)(a)(b)如圖（10-2a）、（10-2b）分別表示兩個電磁場原問題a和b。現(xiàn)在建立一個等效問題，在s面之內(nèi)等效于原問題a，在s面之外等效于原問題b。ss(c)—?Js建立方法如下：在s面之外規(guī)定場、媒質(zhì)和源分布與a問題相同，在s面之內(nèi)規(guī)定場、媒質(zhì)和源分布與ss(c)—?Js(d)圖10-2雙區(qū)域等效原理（a）原問題a（b）原問題b（c）等效于s面外的a和s面內(nèi)的b

（d）等效于s面外的b和s面內(nèi)的a為了支持這樣的場，在s面上必須有面電流J和面磁流M。根據(jù)邊界條件，這些表面流是s（10-8）■j■n■(h■h)（10-8）■sabIM■(E■E)sab圖（10-2c）顯示了這一等效問題。對于問題a而言，等效表面流恰好抵消了s面以內(nèi)區(qū)域的變化對s面外區(qū)域的影響。而對于原問題b而言，等效表面流恰好抵消了s面以外區(qū)域內(nèi)的變化對s面以內(nèi)區(qū)域的影響。用類似的方式可建立另一個問題，等效于s面之外的b問題和s面之內(nèi)的a問題，如圖（10-2d）所示。注意，在每一種情況中，對于等效場的區(qū)域內(nèi)，必須保證原有的源和媒質(zhì)。

現(xiàn)在，我們已清楚了等效原理的一般過程。確定等效表面流的依據(jù)是：當(dāng)唯一性條件滿足時，場與源之間是一一對應(yīng)的。如果規(guī)定了空間內(nèi)每一處的場和媒質(zhì)，就能確定產(chǎn)生這一場的源。各種等效性就是用此方式導(dǎo)出的。上述場的等效原理可以類比于電路中的等效原理?？紤]圖10-3(a)所示的兩個網(wǎng)絡(luò)。就網(wǎng)絡(luò)a而言，建立其等效問題方法如下：設(shè)從網(wǎng)絡(luò)連接口向網(wǎng)絡(luò)b看去的無源輸入阻抗(網(wǎng)絡(luò)b中的電壓源短路，電流源開路)為Zb。把網(wǎng)絡(luò)b用輸入阻抗Zb替代，在與網(wǎng)絡(luò)a之間串接等于原問題中連接口兩端電壓的電壓源，連接點之間并接等于原問題中流過連接口的電流的電流源，如圖10-4(b)所示，這類似于圖10-1(b)。由于源阻抗并未受激勵，所以可以用任意阻抗代替而不影響到網(wǎng)格a的激勵。(a)(b)這類似于在圖10-1(b)的等效場中在s內(nèi)任意填充媒質(zhì)。特別在源阻抗改為短路時，將電流源開路，只留下電壓源激勵網(wǎng)格a，如圖10-3(c)所示，這類似于Love場等效原理中的情況2。如果源阻抗改為開路，只留下電流源來激勵無源網(wǎng)絡(luò)，如圖10-3(d)所示，這類似于Love場等效原理中的情況3。(a)原問題(b)一般等效源網(wǎng)絡(luò)(a)原問題(b)一般等效源網(wǎng)絡(luò)(d)圖10-3電路等效原理(c)輸入阻抗短路(d)輸入阻抗開路等效原理對于分析電磁孔隙問題特別有用。［例10-1］如圖10-4所示，一同軸線通向無限大接地導(dǎo)電平面。求此同軸線在Z■0半空間的輻射場。圖10-4同軸線通向無限大接地導(dǎo)電平面TOC\o"1-5"\h\z解：首先利用等效原理將原問題分成兩個等效問題如圖10-5(a)和(b)所示?？紫睹嬗脤?dǎo)體封閉，所、?、以在封閉的孔隙面上只有面磁流起作用。在孔隙面同軸線一側(cè)，等效磁流為M■M■n■E，而在孔a、、、-隙面半空間一側(cè)，等效磁流為M■(■Q)■E，即MHHM。這里E為原孔隙處的電場。等效磁流bba的設(shè)置已保證了在孔隙面上切向電場連續(xù)。還應(yīng)保證在孔隙面上切向磁場連續(xù)，即在孔隙面上滿足、、、Ha(M)■Hi■Hb(BM)(10-9)其中Hi是同軸線中的傳輸場。Ha,Hb分別是Ma和Mb在同軸線和半空間中產(chǎn)生的磁場。由于Hb為線性場abbHb(HM)BHHb(M)所以有Ha(M)■Hb(M)BBHi(10-10)上式正是確定M的方程。一般為積分方程。一旦確定了M，則同軸線和半空間中的場也就可以確定了。yy(a)(b)(c)yy(a)(b)(c)圖10-5等效原理應(yīng)用(a)區(qū)域a等效(同軸線)(b)區(qū)域b等效(半空間)(c)自由空間中的圓環(huán)磁流如何確定M構(gòu)成了求解孔隙問題的各種方法，如Bathe小孔耦合理論，矩量法等。一種更近似的方法是用同軸線中的傳輸場(TEM模)近似口面上的場，從而避免了求解(10-10)。于是式中，V為同軸線內(nèi)外導(dǎo)體間電位差。等效磁流為M■乘■E?唯HUEHIE■

■■這是一個圓環(huán)磁流，如果b■■(波長)，則是一個小圓環(huán)磁流。我們知道，小圓環(huán)電流可以等效為磁流元。應(yīng)用對偶原理，可知小圓環(huán)磁流可以等效為電流元〃，且〃■j■?,總電矩KS■■■dK■■■M―■■■■■■a，(KS■■■dK■■■M―■■■■■■a，(b2■a2)故等效電流元為Il■jHKSS■■jIl■jHKSS■■j■■V(b2■a2)2lgba應(yīng)用鏡像法，把圖10-5(b)的問題等效為面磁流在無限大自由空間的輻射問題，如圖10-5(c)所示。于是所要求解的輻射場為2j■?lk2V(b2■a2)■jkrEIe■jkrsinI■ssin,■jkr■4,4rlgba_EH,■=0■120?0

0'0利用等效原理研究孔隙問題雖然并未直接產(chǎn)生解，但把一個復(fù)雜問題分離成只個相對簡單的問題，使分析和計算簡化。10.2■■■■感應(yīng)定理的原理與等效原理是一致的。實質(zhì)上感應(yīng)定理也是等效原理的一種特殊應(yīng)用?？紤]如圖10-6(a)所示的障礙物散射問題。(a)(b)(c)圖10-6感應(yīng)定理（a）原問題（b）散射場（c）等效感應(yīng)、、、、設(shè)入射場（無障礙物時源產(chǎn)生的場）為E,“,，障礙物的散射場為E,”「則有障礙物時源輻射的總場為，，''■E■E■E一_i叢H■H■Hs(10-11)在障礙物之外，E,H和E『H,都有相同的源，E,H是障礙物的散射場，可以想象為障礙物上的感應(yīng)電流產(chǎn)生的。在障礙物之外E:H’是無源場。如圖10-6（b）所示。根據(jù)等效原理，可建立如下的等效問題；在障礙物內(nèi)保留原有場E,H及媒質(zhì)分布。在障礙物之外為散射場Es和H。這樣兩個區(qū)域均無源。為了支持這樣的場，s面上就必須有等效表面流H7■n■（H■H）sM■一■（e■e）ss(10-12)將（10-11）代入得Jbut■H■si>一IM■neesi(10-13)________表面流J,M^在障礙物之外產(chǎn)生散射場E,Hs,在障礙物之內(nèi)則產(chǎn)生總場E和H。感應(yīng)定理與等效原理的不同處在于：前者的表面流是已知的，而后者的待求（利用切向磁場連續(xù)條件）。前者的障礙物必須保留，既不能改變原問題的媒質(zhì)分布而后者非等效區(qū)域的媒質(zhì)可任意設(shè)定。如果障礙物是理想導(dǎo)體時，障礙物內(nèi)E和H為零，所以在s面上等效磁流M■■Q■E。由于在ss導(dǎo)體表面上neE■0即neEbut■E，所以M■m■E■neE仍滿足（10-13）。這反映了sissi理想導(dǎo)體對場產(chǎn)生全反射。這時面電流J不起作用。［例10-2］計算大導(dǎo)電平面的雷達散射截面。如圖10-7（a）所示，一平面波垂直入射到位于Z■0的大導(dǎo)體平面上，入射場為EEEe?jkzX。i0E■E■Es-^-H■H■Hi,HsMs■Ms-zzsdi2M1(a)(b)圖10-7(c)導(dǎo)電平板的散射(a)原問題(b)等效感應(yīng)(c)鏡像法解：根據(jù)感應(yīng)定理，在Z■0空間的散射場是由導(dǎo)電板表面等效磁流所產(chǎn)生的：■唾■E.UEyTOC\o"1-5"\h\zizni0如圖10-7(b)所示。為了求導(dǎo)電平板面磁流在z■0空間產(chǎn)生的場，可近似認(rèn)為面磁流是放在無限大導(dǎo)電平板上，于是

可應(yīng)用鏡像法，把圖10-7(b)變成無限大均勻空間面磁流2M■啞Ey在z■0空間產(chǎn)生的場，于是，

s0在遠(yuǎn)區(qū)面磁流單元產(chǎn)生的場為dE■

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xss-e■jkr■■———e■jkr41r2―面磁流在遠(yuǎn)區(qū)產(chǎn)生的總的散射場為■jkEAE??dE一」e-■jkEAE??dE一」e-jkrxsxss2Hr(10-14)雷達散射截