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文檔簡介
考慮常系數(shù)對流方程u
a
u
0t
x對其初值問題,設初始條件是u(x,
0)
(x)該雙曲型方程的特征線是x
at
c問題的解析解是u(x,t)
(x
at)即其解沿特征線是常數(shù)。§1
一階線性常系數(shù)雙曲型方程迎風格式un
1
unj
j
ununj
1
j
unjjun
1
unun
a
j
j
1
0,
a
0h
a
0,
a
0h穩(wěn)定性條件是:a
1可改寫為njnjjjjj
1j
1un
1
unun
1
un
un
),a(ua(u
un
),
a
0a
0也可寫成j形式1
2un
un
)jj122j1nj1
un
)
1
a
(unju
a(unj1un1j如果采用相反的差分格式un
1
unjjjjunhj j
1
unun
1
un
a j
1
j
0,
a
0h
un
a
0,
a
0
un雖然都是一階精度的格式,但是絕對不穩(wěn)定的。Courant-Friedrichs-Lewy(C.F.L)條件以a>0
為例,其迎風格式的穩(wěn)定性條件是a
1, i.e.
1/
a差分格式依賴域
[x
j
n
,x
j
]偏微分方程解析解依賴域點D差分格式穩(wěn)定的必要條件是差分格式的依賴域包含偏微分方程解析解依賴域(C.F.L條件)Lax-Friedrichs格式上節(jié)
過下面的格式是絕對不穩(wěn)定的2
hj
j
j
1j
1
unun
1
un
un
a
0un
1
1
(un2
j
1jj
1j
1
02
h
un
)
ununj
1
a為此Lax等提出了修改格式截斷誤差是T
O(
h2
)
O(h2
/
)如網(wǎng)格比取為常數(shù),則是一階精度的。所以穩(wěn)定性條件是a
1G2G
cos
kh
ia
sin
kh
cos2
kh
a
2
2
sin2
kh
1
(1
a
2
2
)
sin2
kh其穩(wěn)定性Lax-Wendroff格式將絕對不穩(wěn)定的差分格式j
1
02
h
unj
jj
1
unun
1
un
a
O(
2
h
2
)
2
u
n2
hj
jj
1j
1
unun
1
un
unu
nj
O(
2
)
a
u
nx
j
ax
a
ut
O
(
h
2
)
t
j
u
n
2
u
n
22
t
j左式做Taylor展開有
2
t
2ju
2
2u2a
x
,u
tu
2u
a
axxt2
t利用微分方程有于是代入前面的表達式有2
2
un
un
O(
h
2
)jj
1nj
1
2h2jjh2j
1j
1
2
u
njaua
22
x
22
un
2
un
una
2
2
u
n
O
(
h
2
)
2
t
2得到二階精度的顯式格式,即Lax-Wendroff格式2
O(
2
h
2
h
2
)
2
un
unj j
1nj
1
uu
n
aun
1
unun
un
2h2
j j
a j
1
j
1
2
ha
u
t
x
jun1
un
un
2un
unjj
1
2h2
0
un
j j
a
j
1
j
1
2hj
1
a2
un也可改寫為a22j
1
un
j
1
un22nj
1nj
1nj
2ujjun1
unauu所以穩(wěn)定性條件是a
1G2G
1
2
a
2
2
sin2
kh
ia
sin
kh2
1
4
a
2
2
(1
a
2
2
)
sin4kh2其穩(wěn)定性利用特征線構造差分格式借助雙曲型方程的解在特征線上為常數(shù),可以構造各種差分格式。假定a>0
un
)j
1nj
a
(
ujjun
1
un由微分方程解的性質(zhì)知u(P)=u(Q)1.如果
u(Q)用B,C
兩點的線性插值給出,則有u
(
P
)
u
(
Q
)
(1
a
)
u
(
C
)
a
u
(
B
)對應差分格式即為迎風格式nj
1
un
)j
11
1a(u2
2nj
1
j
1
(u
un
)u
n
1j2
2對應差分格式即為Lax-Friedrichs格式2.如果
u(Q)用B,D
兩點的線性插值給出,則有u
(
P
)
u
(
Q
)
1
(1
a
)
u
(
D
)
1
(1
a
)
u
(
B
)3.如果
u(Q)用B,C,D三點的二次插值給出,則有u
(
P
)
u
(
Q
)
u
(
C
)
a
u(C)
u(B)2對應差分格式即為Lax-Wendroff格式
1
a
(1
a
)
u
(
B
)
2
u
(
C
)
u(D)a22j
1
un
22nj
1nj
1jjun1
unjj
1
2un
unauu稱為Beam-Warming格式,此格式是二階精度的。
12nj
jun1
unnj j
1j j
1
j
2
a
u
un
a(1
a)
u
2un
un則有差分格式4.如果u(Q)用A,B,C三點插值給出
1nj2njnj1nj2
j1un1
unj
j
a
u
u
a(1
a)
u
2un
u所以穩(wěn)定性條件是a
2如a<0
時,Beam-Warming格式為穩(wěn)定性條件為a
2
ia
sin
kh
1
2
(
1
a
)
sin
2kh
1
4
a
(1
a
)
2
(2
a
)
sin
42
G22
22G
1
2
a
sin2
kh
a
(1
a
)
4
s
in
4
kh
sin
2
kh
kh2其穩(wěn)定性思考題:此格式具體的C.F.L條件?蛙跳格式對流方程的蛙跳格式是一個三層格式u
n
1
u
n
1j
j
a
(
un
un
)j1
j1此格式是二階精度的。穩(wěn)定性條件是:a
1注:由于是三層格式,第一層的值需要用其他兩層格式計算。為了精度一致,一般取二階精度的二層格式,如Lax-Wendroff
和Beam-Warming。22
hj
j j
1j
1un
1
un
1
un
un
a
0即其截斷誤差是T
O(
h2
)其增長因子為隱式格式un
un
1jjj
1
02
hunj
1
un
a11
ia
sin
khG
無條件穩(wěn)定的。G
2
11
a22
sin2
kh
1于是有1un
un1
a
un1
un1
un
0
un
j
j
j1
j
1
j
1
j2
2h2h其截斷誤差是Crank-Nicholson格式無條件穩(wěn)定的。221
1
ia
sin
kh11
ia
sin
khT
O(
2
h2
)其增長因子是G
241
1
a2
2
sin2
khG
4
112
2
21
a
sin
kh§2
一階線性常系數(shù)方程組它是二階精度的。1j
12nj
112nj
12
2
A
(u
A(u
un
)j
jun1
un考慮一階常系數(shù)方程組u
A
u
0t
x其中A
是常系數(shù)矩陣注:對雙曲型方程組,矩陣A
的特征值都是實數(shù)。Lax-Wendroff格式jj
1
2un
un
)所以穩(wěn)定性條件是(
A)
1其增長矩陣為G
I
i
sinkh
A2
(1
cos
kh)
A22
2(1cos
kh)
(l1,
2,,
p)l
l
l
(G)
1i
sin
kh
如設
A
的特征值為l
(l
1,2,,
p)則
G
的特征值為22
2
2
242l
ll
(G)
1
4
(1
)
sinkh于是所以穩(wěn)定性條件是(
A)
1Lax-Friedrichs格式j
2
j
1un1
1
(unj
1
un
)2hj
1
j
1
0un
un
A增長矩陣為G
cos
kh
I
i
sin
kh
A如設
A
的特征值為l
(l
1,
2,,
p)則
G
的特征值為l
(G)
cos
kh
il
sin
kh
(l
1,
2,,
p)22
2
2l
l
(G)
1
(1
)
sin
kh迎風格式對雙曲型方程組,矩陣A
的特征值都是實數(shù),因此存在非奇異陣S
使得將其化為對角矩陣Λ
S
1
AS
diag(
,
,,
)1
2
p令
w
S1u
,并代入原方程,可以給出其等價形式w
Λ
w
0t
x
0 (m
1,2,,
p)wmmmw
t
x是一個解耦的單變量形式,因此可給出其迎風格式mA
S Λ
S1其穩(wěn)定性條件是
max
m
1un1
unj
j
121nj12j1nj1
A(u
un
)
A
(ujj1
2un
un
)其中Λ
diag(
1
,
2
,,
p
)用原變量改寫為1122nj1j1nj1
Λ(w
wn
)
wn1
w
nj
j其中Λ
(wjj1
2wn
wn
)此格式是一階精度的。作業(yè):P80
習題4(1)P81
習題7§3
變系數(shù)方程及方程組考慮變系數(shù)方程的初值問題
u
a
(
x
,
t
)
u
0,
x
,
t
0
t
xu
(
x
,
0)
g
(
x
),
x
0x(0)
x其特征線滿足的方程為d
x
a
(
x
,
t
),dt令x
x
(
t
,
x
0
),
u
(
x
,
t
)分別是上面兩個方程的解。于是有0
d
u
(
x
(
t
,
x
),
t
)
u
u
d
x
0dt
t
x
dt即,原問題的解沿特征線為常數(shù)。但注意此時的特征線是曲線。Lax-Friedrichs格式j-1jun2
hj2j
1j
1j1un
1
1
(un
un
)
un
an
0n其中
jj
na
a(x
,t
)njjmax
a
1穩(wěn)定性條件是迎風格式2nn12
jjuana
(u(un1j
jnj
1j
1nj
1
u
un
)
1
2un
un
)jj
1jj
1穩(wěn)定性條件是max
anLax-Wendroff格式不能直接給出,但利用與常系數(shù)相同的技巧可給出。迎風格式112nj
2
jjjn1jnj1j1nj1j1u
u
A
(u
un
)
A
(u
2un
un
)2jj
1j
12A
j
A
(
x
j
),
A
A
(
1
(
x
x
)對變系數(shù)方程組
u
t
A
(
x
)
u
0
xLax-Wendroff格式j穩(wěn)定性條件是max
(A
j
)
12212njn1jj
1j
1j
1)j
u
u
A
(un
un
)j
2
j
j
1
j
1
1
2
A
A(un
un
)
Aj1
j(un
un其中§4
二階雙曲型方程考慮波動方程
2
u
a
2
2
u
x
2(
a
0)
t
2其特征方向為dt
1dx
a而故有兩條特征線x
at
c
1
,
x
at
c
2如做變量替換u
(
x
,
t
)
u(c1,
c2
)
u(x
at,
x
at
)于是有u
u
c1
u
c2
a
u
a
u
c
2
a
21
2u2c
c
1t
c1
tu
2c2
t2
u2t2同理有
c22
c1
c2u2
u21u
2
u2x2
c2代入原方程有2u2c
c
c221
2u2c
c1
2
0u
1
(c1
)
2
(c2
)問題的通解為u
1
(
x
at
)
2
(
x
at)于是可給出波動方程初值問題2
u
2
2u
t
2x2
,a
t>0,
x
(x),
x
x
u(x,
0)
(x),u
t
t
02的解析解為u
x,t
(x
at)
(x
at)
12axatxat
d2從解析解u
x,t
(x
at)
(x
at)xat
1
xat
d2a函數(shù)在點(x0
,t0
)值的依存域是x0
at0
,
x0
at0
上面區(qū)間的初值所決定的區(qū)域——決定域初值在點x0值的影響域其中網(wǎng)格比
/h截斷誤差是T
O(
2
h2
)穩(wěn)定性條件a
1波動方程的顯式格式
a
2hj2j
1
2un
un
0unj
1jj
j
2
2
unun
1
un
12
2j
jn1jun1
2unjj1
2un
un
u
a
unj1或改寫為于是可給出波動方程初值問題2
u
2
2u
t
2x2
,a
t>0,
x
(x),
x
x
u(x,
0)
(x),u
t
t
0的差分方程0jju
/
1j0jju
u
n1jun1
2un
uj
j2
2
2un
unj j
1
a
unj1u1
u0
j
j
j, (n
1,2,)注意到上面差分方程中,第一層的截斷誤差是一階的,而格式是二階的,不匹配。為提高離散精度,可使用中心差分離散。同時,將顯式格式應用于第0層u1
u1j
j2j
2
2
2u0
u0j j
11ju1
2u0
uj
j
a
u0j11j
2j1ju
uj聯(lián)立,消去u112
212jjjj1j1
2
2
(1
a
)
u
a
差分格式解的依賴域穩(wěn)定性條件a
1CFL條件:差分格式收斂的必要條件是差分格式解的依賴域包含偏微分方程初值問題解的依賴域。j其中網(wǎng)格比
/h無條件穩(wěn)定,其截斷誤差是T
O(
2
h2
)2h2j
1
jj
1un
1
2un
1
un
1
a
2
或改寫為2h2j
1jun
1
2un
1
un
1
j
1
jj
j
2波動方程的隱式格式
2unun
1
un
1122
2
n1j
1
122
2n1j
1n1j
1122
2
n1j
a
(1
a
)u2
2
n1j
2un
(1
a
)uu
a
ua
u2
2
n1j
1
uh2j
1
jj
1un
1
2un
1
un
1
2un
unjj
12h22h2j
1
jun
1
2un
1
un
1
j
1
(1
2
)jjj2un
1
2un
un
1unj
1
a
2
波動方程的三層格式,則其中0
1/2注:(1)?。?)取(3)取
0
1/2
,則
1/4
,則為顯式格式;為隱式格式;為Von
ann格式
O
4
2
h2
h4
2
a4h2O(
2
h2
),
h4
),
h2
)/12a2
2
h2
)/12a2
2j
4
u
n
2
a
2
T
12
12
x
4
whenwhen
(a4
2
(a4
2
O(
4其截斷誤差是(2)當0
1/4
,穩(wěn)定的充要條件是穩(wěn)定性(1)當,無條件穩(wěn)定;11
4(
/
h)a
1/
4邊界條件的處理
2
u
a
2
2
u
f
(
x
,
t
),
t
>
0
,0
x
l
t
2
x
2t
0u(x,
0)
(x),u
/
t
0
x
l0
x
lt
0t
0
(x),1u(0,
t)
g
(t),u(l,t)
g2
(t),0jj;
u1
u0j
jju
有
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