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文檔簡介

考慮常系數(shù)對流方程u

a

u

0t

x對其初值問題,設初始條件是u(x,

0)

(x)該雙曲型方程的特征線是x

at

c問題的解析解是u(x,t)

(x

at)即其解沿特征線是常數(shù)。§1

一階線性常系數(shù)雙曲型方程迎風格式un

1

unj

j

ununj

1

j

unjjun

1

unun

a

j

j

1

0,

a

0h

a

0,

a

0h穩(wěn)定性條件是:a

1可改寫為njnjjjjj

1j

1un

1

unun

1

un

un

),a(ua(u

un

),

a

0a

0也可寫成j形式1

2un

un

)jj122j1nj1

un

)

1

a

(unju

a(unj1un1j如果采用相反的差分格式un

1

unjjjjunhj j

1

unun

1

un

a j

1

j

0,

a

0h

un

a

0,

a

0

un雖然都是一階精度的格式,但是絕對不穩(wěn)定的。Courant-Friedrichs-Lewy(C.F.L)條件以a>0

為例,其迎風格式的穩(wěn)定性條件是a

1, i.e.

1/

a差分格式依賴域

[x

j

n

,x

j

]偏微分方程解析解依賴域點D差分格式穩(wěn)定的必要條件是差分格式的依賴域包含偏微分方程解析解依賴域(C.F.L條件)Lax-Friedrichs格式上節(jié)

過下面的格式是絕對不穩(wěn)定的2

hj

j

j

1j

1

unun

1

un

un

a

0un

1

1

(un2

j

1jj

1j

1

02

h

un

)

ununj

1

a為此Lax等提出了修改格式截斷誤差是T

O(

h2

)

O(h2

/

)如網(wǎng)格比取為常數(shù),則是一階精度的。所以穩(wěn)定性條件是a

1G2G

cos

kh

ia

sin

kh

cos2

kh

a

2

2

sin2

kh

1

(1

a

2

2

)

sin2

kh其穩(wěn)定性Lax-Wendroff格式將絕對不穩(wěn)定的差分格式j

1

02

h

unj

jj

1

unun

1

un

a

O(

2

h

2

)

2

u

n2

hj

jj

1j

1

unun

1

un

unu

nj

O(

2

)

a

u

nx

j

ax

a

ut

O

(

h

2

)

t

j

u

n

2

u

n

22

t

j左式做Taylor展開有

2

t

2ju

2

2u2a

x

,u

tu

2u

a

axxt2

t利用微分方程有于是代入前面的表達式有2

2

un

un

O(

h

2

)jj

1nj

1

2h2jjh2j

1j

1

2

u

njaua

22

x

22

un

2

un

una

2

2

u

n

O

(

h

2

)

2

t

2得到二階精度的顯式格式,即Lax-Wendroff格式2

O(

2

h

2

h

2

)

2

un

unj j

1nj

1

uu

n

aun

1

unun

un

2h2

j j

a j

1

j

1

2

ha

u

t

x

jun1

un

un

2un

unjj

1

2h2

0

un

j j

a

j

1

j

1

2hj

1

a2

un也可改寫為a22j

1

un

j

1

un22nj

1nj

1nj

2ujjun1

unauu所以穩(wěn)定性條件是a

1G2G

1

2

a

2

2

sin2

kh

ia

sin

kh2

1

4

a

2

2

(1

a

2

2

)

sin4kh2其穩(wěn)定性利用特征線構造差分格式借助雙曲型方程的解在特征線上為常數(shù),可以構造各種差分格式。假定a>0

un

)j

1nj

a

(

ujjun

1

un由微分方程解的性質(zhì)知u(P)=u(Q)1.如果

u(Q)用B,C

兩點的線性插值給出,則有u

(

P

)

u

(

Q

)

(1

a

)

u

(

C

)

a

u

(

B

)對應差分格式即為迎風格式nj

1

un

)j

11

1a(u2

2nj

1

j

1

(u

un

)u

n

1j2

2對應差分格式即為Lax-Friedrichs格式2.如果

u(Q)用B,D

兩點的線性插值給出,則有u

(

P

)

u

(

Q

)

1

(1

a

)

u

(

D

)

1

(1

a

)

u

(

B

)3.如果

u(Q)用B,C,D三點的二次插值給出,則有u

(

P

)

u

(

Q

)

u

(

C

)

a

u(C)

u(B)2對應差分格式即為Lax-Wendroff格式

1

a

(1

a

)

u

(

B

)

2

u

(

C

)

u(D)a22j

1

un

22nj

1nj

1jjun1

unjj

1

2un

unauu稱為Beam-Warming格式,此格式是二階精度的。

12nj

jun1

unnj j

1j j

1

j

2

a

u

un

a(1

a)

u

2un

un則有差分格式4.如果u(Q)用A,B,C三點插值給出

1nj2njnj1nj2

j1un1

unj

j

a

u

u

a(1

a)

u

2un

u所以穩(wěn)定性條件是a

2如a<0

時,Beam-Warming格式為穩(wěn)定性條件為a

2

ia

sin

kh

1

2

(

1

a

)

sin

2kh

1

4

a

(1

a

)

2

(2

a

)

sin

42

G22

22G

1

2

a

sin2

kh

a

(1

a

)

4

s

in

4

kh

sin

2

kh

kh2其穩(wěn)定性思考題:此格式具體的C.F.L條件?蛙跳格式對流方程的蛙跳格式是一個三層格式u

n

1

u

n

1j

j

a

(

un

un

)j1

j1此格式是二階精度的。穩(wěn)定性條件是:a

1注:由于是三層格式,第一層的值需要用其他兩層格式計算。為了精度一致,一般取二階精度的二層格式,如Lax-Wendroff

和Beam-Warming。22

hj

j j

1j

1un

1

un

1

un

un

a

0即其截斷誤差是T

O(

h2

)其增長因子為隱式格式un

un

1jjj

1

02

hunj

1

un

a11

ia

sin

khG

無條件穩(wěn)定的。G

2

11

a22

sin2

kh

1于是有1un

un1

a

un1

un1

un

0

un

j

j

j1

j

1

j

1

j2

2h2h其截斷誤差是Crank-Nicholson格式無條件穩(wěn)定的。221

1

ia

sin

kh11

ia

sin

khT

O(

2

h2

)其增長因子是G

241

1

a2

2

sin2

khG

4

112

2

21

a

sin

kh§2

一階線性常系數(shù)方程組它是二階精度的。1j

12nj

112nj

12

2

A

(u

A(u

un

)j

jun1

un考慮一階常系數(shù)方程組u

A

u

0t

x其中A

是常系數(shù)矩陣注:對雙曲型方程組,矩陣A

的特征值都是實數(shù)。Lax-Wendroff格式jj

1

2un

un

)所以穩(wěn)定性條件是(

A)

1其增長矩陣為G

I

i

sinkh

A2

(1

cos

kh)

A22

2(1cos

kh)

(l1,

2,,

p)l

l

l

(G)

1i

sin

kh

如設

A

的特征值為l

(l

1,2,,

p)則

G

的特征值為22

2

2

242l

ll

(G)

1

4

(1

)

sinkh于是所以穩(wěn)定性條件是(

A)

1Lax-Friedrichs格式j

2

j

1un1

1

(unj

1

un

)2hj

1

j

1

0un

un

A增長矩陣為G

cos

kh

I

i

sin

kh

A如設

A

的特征值為l

(l

1,

2,,

p)則

G

的特征值為l

(G)

cos

kh

il

sin

kh

(l

1,

2,,

p)22

2

2l

l

(G)

1

(1

)

sin

kh迎風格式對雙曲型方程組,矩陣A

的特征值都是實數(shù),因此存在非奇異陣S

使得將其化為對角矩陣Λ

S

1

AS

diag(

,

,,

)1

2

p令

w

S1u

,并代入原方程,可以給出其等價形式w

Λ

w

0t

x

0 (m

1,2,,

p)wmmmw

t

x是一個解耦的單變量形式,因此可給出其迎風格式mA

S Λ

S1其穩(wěn)定性條件是

max

m

1un1

unj

j

121nj12j1nj1

A(u

un

)

A

(ujj1

2un

un

)其中Λ

diag(

1

,

2

,,

p

)用原變量改寫為1122nj1j1nj1

Λ(w

wn

)

wn1

w

nj

j其中Λ

(wjj1

2wn

wn

)此格式是一階精度的。作業(yè):P80

習題4(1)P81

習題7§3

變系數(shù)方程及方程組考慮變系數(shù)方程的初值問題

u

a

(

x

,

t

)

u

0,

x

,

t

0

t

xu

(

x

,

0)

g

(

x

),

x

0x(0)

x其特征線滿足的方程為d

x

a

(

x

,

t

),dt令x

x

(

t

,

x

0

),

u

(

x

,

t

)分別是上面兩個方程的解。于是有0

d

u

(

x

(

t

,

x

),

t

)

u

u

d

x

0dt

t

x

dt即,原問題的解沿特征線為常數(shù)。但注意此時的特征線是曲線。Lax-Friedrichs格式j-1jun2

hj2j

1j

1j1un

1

1

(un

un

)

un

an

0n其中

jj

na

a(x

,t

)njjmax

a

1穩(wěn)定性條件是迎風格式2nn12

jjuana

(u(un1j

jnj

1j

1nj

1

u

un

)

1

2un

un

)jj

1jj

1穩(wěn)定性條件是max

anLax-Wendroff格式不能直接給出,但利用與常系數(shù)相同的技巧可給出。迎風格式112nj

2

jjjn1jnj1j1nj1j1u

u

A

(u

un

)

A

(u

2un

un

)2jj

1j

12A

j

A

(

x

j

),

A

A

(

1

(

x

x

)對變系數(shù)方程組

u

t

A

(

x

)

u

0

xLax-Wendroff格式j穩(wěn)定性條件是max

(A

j

)

12212njn1jj

1j

1j

1)j

u

u

A

(un

un

)j

2

j

j

1

j

1

1

2

A

A(un

un

)

Aj1

j(un

un其中§4

二階雙曲型方程考慮波動方程

2

u

a

2

2

u

x

2(

a

0)

t

2其特征方向為dt

1dx

a而故有兩條特征線x

at

c

1

,

x

at

c

2如做變量替換u

(

x

,

t

)

u(c1,

c2

)

u(x

at,

x

at

)于是有u

u

c1

u

c2

a

u

a

u

c

2

a

21

2u2c

c

1t

c1

tu

2c2

t2

u2t2同理有

c22

c1

c2u2

u21u

2

u2x2

c2代入原方程有2u2c

c

c221

2u2c

c1

2

0u

1

(c1

)

2

(c2

)問題的通解為u

1

(

x

at

)

2

(

x

at)于是可給出波動方程初值問題2

u

2

2u

t

2x2

,a

t>0,

x

(x),

x

x

u(x,

0)

(x),u

t

t

02的解析解為u

x,t

(x

at)

(x

at)

12axatxat

d2從解析解u

x,t

(x

at)

(x

at)xat

1

xat

d2a函數(shù)在點(x0

,t0

)值的依存域是x0

at0

,

x0

at0

上面區(qū)間的初值所決定的區(qū)域——決定域初值在點x0值的影響域其中網(wǎng)格比

/h截斷誤差是T

O(

2

h2

)穩(wěn)定性條件a

1波動方程的顯式格式

a

2hj2j

1

2un

un

0unj

1jj

j

2

2

unun

1

un

12

2j

jn1jun1

2unjj1

2un

un

u

a

unj1或改寫為于是可給出波動方程初值問題2

u

2

2u

t

2x2

,a

t>0,

x

(x),

x

x

u(x,

0)

(x),u

t

t

0的差分方程0jju

/

1j0jju

u

n1jun1

2un

uj

j2

2

2un

unj j

1

a

unj1u1

u0

j

j

j, (n

1,2,)注意到上面差分方程中,第一層的截斷誤差是一階的,而格式是二階的,不匹配。為提高離散精度,可使用中心差分離散。同時,將顯式格式應用于第0層u1

u1j

j2j

2

2

2u0

u0j j

11ju1

2u0

uj

j

a

u0j11j

2j1ju

uj聯(lián)立,消去u112

212jjjj1j1

2

2

(1

a

)

u

a

差分格式解的依賴域穩(wěn)定性條件a

1CFL條件:差分格式收斂的必要條件是差分格式解的依賴域包含偏微分方程初值問題解的依賴域。j其中網(wǎng)格比

/h無條件穩(wěn)定,其截斷誤差是T

O(

2

h2

)2h2j

1

jj

1un

1

2un

1

un

1

a

2

或改寫為2h2j

1jun

1

2un

1

un

1

j

1

jj

j

2波動方程的隱式格式

2unun

1

un

1122

2

n1j

1

122

2n1j

1n1j

1122

2

n1j

a

(1

a

)u2

2

n1j

2un

(1

a

)uu

a

ua

u2

2

n1j

1

uh2j

1

jj

1un

1

2un

1

un

1

2un

unjj

12h22h2j

1

jun

1

2un

1

un

1

j

1

(1

2

)jjj2un

1

2un

un

1unj

1

a

2

波動方程的三層格式,則其中0

1/2注:(1)?。?)取(3)取

0

1/2

,則

1/4

,則為顯式格式;為隱式格式;為Von

ann格式

O

4

2

h2

h4

2

a4h2O(

2

h2

),

h4

),

h2

)/12a2

2

h2

)/12a2

2j

4

u

n

2

a

2

T

12

12

x

4

whenwhen

(a4

2

(a4

2

O(

4其截斷誤差是(2)當0

1/4

,穩(wěn)定的充要條件是穩(wěn)定性(1)當,無條件穩(wěn)定;11

4(

/

h)a

1/

4邊界條件的處理

2

u

a

2

2

u

f

(

x

,

t

),

t

>

0

,0

x

l

t

2

x

2t

0u(x,

0)

(x),u

/

t

0

x

l0

x

lt

0t

0

(x),1u(0,

t)

g

(t),u(l,t)

g2

(t),0jj;

u1

u0j

jju

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