青年教師展評課分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理教學設(shè)計(重慶涪陵實驗中學)

2014年全國高中數(shù)學 青年教師展評課 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理教學設(shè)計（重慶涪陵實驗中學）一、教學內(nèi)容解析（一）教材的地位和作用本節(jié)課是人教版《數(shù)學》選修2-3第一章第一節(jié)（第一課時）。分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是人類在大量的實踐經(jīng)驗的基礎(chǔ)上歸納出的基本規(guī)律，是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法，它們不僅是推導排列數(shù)、組合數(shù)計算公式的依據(jù)，而且其基本思想方法也貫穿在解決本章應(yīng)用問題的始終，在本章中是奠基性的知識。返璞歸真的看兩個原理，它們實際上是學生從小學就開始學習的加法運算與乘法運算的推廣，它們是解決計數(shù)問題的理論基礎(chǔ)。從思想方法的角度看，運用分類加法計數(shù)原理解決問題是將一個復(fù)雜問題分解為若干“類別” ，然后分類解決，各個擊破；運用分步乘法計數(shù)原理是將一個復(fù)雜問題的解決過程分解為若干“步驟”，先對每個步驟進行細致分析，再整合為一個完整的過程。這樣做的目的是為了分解問題、簡化問題。由于排列、組合及二項式定理的研究都是作為兩個計數(shù)原理的典型應(yīng)用而設(shè)置的，因此，理解和掌握兩個計數(shù)原理，是學好本章內(nèi)容的關(guān)鍵。（二） 教學目標1．通過實例，能歸納總結(jié)出分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，經(jīng)歷從特殊到一般的思維過程，進一步提高學生學習數(shù)學、研究數(shù)學的興趣；2．掌握分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，能說明兩個計數(shù)原理的不同之處，能根據(jù)具體問題的特征、選擇恰當?shù)脑斫鉀Q一些簡單的實際問題，體現(xiàn)數(shù)學實際應(yīng)用和理論相結(jié)合的統(tǒng)一美，經(jīng)歷從特殊到一般的思維過程；3．經(jīng)歷由實際問題推導出兩個原理，再回歸實際問題的解決這一過程，體會數(shù)學源于生活、高于生活、用于生活的道理，讓學生體驗到發(fā)現(xiàn)數(shù)學、運用數(shù)學的過程。（三） 教學重點與難點重點：歸納地得出分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，能應(yīng)用它們解決簡單的實際問題。難點：正確地理解“完成一件事情”的含義；根據(jù)實際問題的特征、正確地區(qū)分“分類”或“分步”。二、學生學情分析：認知基礎(chǔ)：在學習必修2“古典概型”時突出了樹形圖、列舉法在計數(shù)中的作用；在學習和生活中，我們會不自覺地使用“分類”和“分步”的方法來思考解決問題。能力基礎(chǔ)：高二學生有較強的觀察能力和數(shù)學抽象概括能力?？赡苷系K：一是應(yīng)用原理的意識淡薄，二是不能根據(jù)問題的特征，正確地選擇原理解決問題。三、教學策略分析：（一）教法分析對于兩個計數(shù)原理，不僅僅在于規(guī)律本身，更在于學生從已有的方法中發(fā)現(xiàn)原理、歸納原理，進一步深刻認識原理，在發(fā)現(xiàn)的過程中學會學習，學會探究，提升思維的品質(zhì)。因此我采取引導學生分析典型事例，歸納共同特征，進一步抽象概括出兩個原理的本質(zhì)特征，最后通過應(yīng)用示例，小組討論，加深對原理的區(qū)分和思想方法的理解。（二）學法指導學生已具備一定的計數(shù)能力（樹形圖、列舉法等） ，能解決一些基本的計數(shù)問題，包括本節(jié)課所涉及的一些實際問題，只是還沒有上升到理論的高度。但是要由實際問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學知識，必須借助于老師的引導和幫助。而當歸納總結(jié)得出分類加法計數(shù)原理之后，運用類比的方式得出分步乘法計數(shù)原理對學生來說就并不困難了。同時，對于兩個原理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能否根據(jù)具體問題的特征選擇相應(yīng)的原理，要指導學生感悟兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系及其應(yīng)用的前提條件、應(yīng)用的注意點。四、教學基本流程五、教學手段采用多媒體輔助教學，營造愉悅的學習情境。六、教學過程：（一）計數(shù)問題的引入教學過程設(shè)計學生活動設(shè)計意圖同學們，上課之前老師想問大家創(chuàng)一個問題：大家看過《爸爸去哪兒》嗎？師生互動，學從學生感興趣的電視節(jié)設(shè)知道第二季第一期他們來到了重慶的哪個生回答。目入手，喚起學生學習情地方嗎？就是因為明星效應(yīng)的帶動，他們的心向，通過一個比較景所住過的五家農(nóng)戶已被當?shù)亻_發(fā)成了一個復(fù)雜的計數(shù)問題，制造引入住式體驗的旅游項目。認知沖突，激發(fā)學生的入興趣，揭示探究原理的課師：如果你去旅游，你會選擇入住幾號房必要性。題呢？生1:我選5號。生2:選2號。生3:4號。師：假如這三名同學他們分別選的是1,1,3號房，請問，這兩種入住方式一樣嗎？不一樣。那么思考：3名同學從5家農(nóng)戶里各選一家入?。梢赃x同一家），一共有多少種不同的入住方式呢？師：可以一一列舉嗎？生：應(yīng)該可以，但需要時間。教學過程設(shè)計學生活動設(shè)計意圖生活中我們還會遇到很多類似的計算方法數(shù)的問題，我們稱之為“計數(shù)問題”。計數(shù)問題：即計算完成一件事的方法數(shù)的問題。今天我們先來學習計數(shù)問題中兩種最基本、最重要的方法。（板書課題：1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理）（二）分類加法計數(shù)原理的形成教學過程設(shè)計學生活動設(shè)計意圖問題1：1）小明要從北京到重慶，一天中，飛機有4班，火車有3班，一天中乘坐這些交通工具從北京到重慶共有多少種不同的走法？生活生：7種。通過生活中的簡單的實感（追問：你是怎么想的）例，源自學生的鄰近發(fā)知師：這個問題中，小明要完成一件什么事？師生共同分展區(qū)，使學生初步感知初生：從北京到重慶。析本小題。計數(shù)問題中有這樣一類識師：怎么完成的呢？用加法計算的分類問原生：坐飛機或坐火車題。理師：你的意思是按交通工具不同分成了兩類不同的解決方案？你是怎么計算的呢？生：因為每一個班次的飛機或火車都能到達重慶，所以4+3=7.(以圖表形式板書)（2）用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出感多少種不同的號碼？在學生的初步感知的基知（由完成一件什么事，怎么完成這件事，引導學生分礎(chǔ)上，通過類似的兩個積完成沒有？怎么計算方法數(shù)四個方面來解析本小題，再簡單問題和學生自己所累決這個問題）由學生舉例，舉例子，進一步積累感（3）從班上30名男生、25名女生中任選并分析要完知經(jīng)驗，讓感知多次重再1名學生擔任數(shù)學課代表，一共有多少種不成一件什么復(fù)被學生熟知，從而形識同的選法？事，怎么完成成“共同性印象”，為下原這些問題同學們解決得都很不錯。的，怎么計算一步歸納概括原理打下理但是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題比解決問題更重的。堅實的基礎(chǔ)。要，我們不妨思考一下，追問：能否舉出一些生活中類似的例子呢？問題2：這一類問題有什么共同特征呢？在經(jīng)歷了感知與想象內(nèi)抽（分類、加法、計數(shù)）化后，結(jié)合具體感知的追問：你能不能把這種解決問題的規(guī)律用事實材料，和學生一起象學生感數(shù)學語言來表述呢？“去粗取精，去偽存真，概分類加法計數(shù)原知積累，概括由此即彼，由表及里”括理獲得計數(shù)問的反復(fù)提煉推敲，抽象揭完成一件事有兩類不同方案，第1類方案題的特征。由概括出加法原理的特示里有m種不同方法，第2類方案里有n種學生敘述原征。讓學生體會數(shù)學源原不同方法，完成這件事一共有N=m+n種不理，老師適當于生活的同時也培養(yǎng)了理同的方法。補充。學生歸納概括、數(shù)學表述的能力。教學過程設(shè)計學生活動設(shè)計意圖練習：小明在參觀重慶的大學時了解到A、B兩所學生思考回及時給時間讓學生檢驗類大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具答出答案，并自己的研究成果，進一比體情況如下：指明完成一步體會加法原理，不但遷A大學B大學件什么事，怎起鞏固的效果，還能增移么完成的。加學生的興趣和信心。如果小明要從這兩所大學選一個專業(yè)，他同一共有多少種不同的選法呢？化變式：如果C大學里還有兩個感興趣的強原項專業(yè)，A大學B大學C大學理 如果小明要從這三所大學里選一個專業(yè)，他一共有多少種不同的選法呢？完成一件事有三類不同方案，第 1類方案里有m1種不同的方法，第2類方案里有m2種不同的方法，第 3類方案里有m3種不同的方法，那么完成這件事一共有N m1 m2 m3種不同的方法。(如果完成一件事可以有四類、五類，甚至類方案，每類方案里有若干種不同方法，又當如何計數(shù)呢？)分類加法計數(shù)原理的推廣完成一件事有n類不同方案，第1類方案里有m1種不同的方法，第2類方案里有m2種不同的方法，,第 n類方案里有 mn種不同的方法，那么完成這件事一共有

學生獨立探究、歸納通過一個具體的實例及總結(jié)，然后類其變式，讓學生經(jīng)歷了比分類加法數(shù)學知識從特殊到一般計數(shù)原理進的推廣過程，培養(yǎng)了學行推廣。生類比、邏輯推理的思維能力，體會了數(shù)學的邏輯美。N m1 m2 mn種不同的方法。（三）分步乘法計數(shù)原理的形成教學過程設(shè)計 學生活動 設(shè)計意圖生 問題3：活（1）小明先從北京到成都，飛機有4班，獨立思考，用設(shè)計感一天后再從成都到重慶，火車有3班。小列舉法、樹形意圖知明乘坐這些交通工具從北京經(jīng)成都到重慶圖、乘法進行初共有多少種不同的走法？計算，然后展識教學過程設(shè)計臺展示。原學生活動理展臺展示：①樹形圖學生概括出從一個簡單的生活實例“任意一班入手，讓學生通過已有②43=12(請做的同學自己分析解釋)飛機都能與3的計數(shù)經(jīng)驗，和前面所師：乘法運算是特定條件下加法運算的簡班火車中的學習的分類加法計數(shù)原化，由于加數(shù)相同，所以乘法優(yōu)化了加法，任何一班形理，得出結(jié)果。讓學生使得計數(shù)更為科學。成一種走初步體會生活中還存在我們可以換個角度來看這個問題，問題中法”。著一類與分步有關(guān)，可小明要完成一件什么事？用乘法計算的計數(shù)問生：從北京到重慶。題，讓學生經(jīng)歷在特定師：怎么完成的？條件下將加法簡化的過生：先坐飛機再坐火車。程，領(lǐng)會分步與乘法的師：只選擇一班飛機能完成嗎？關(guān)系，為進一步的探究生：不能，還要選擇一班火車，所以這個積累經(jīng)驗。過程分成了兩個步驟進行。師：那怎么計算呢？生：因為第一步里的每一班飛機都對應(yīng)第二步里的三班火車，所以43=12。（以圖表形式板書）感（2）用前6個大寫英文字母和1~9九個阿知拉伯數(shù)字，以A,A,,B,B,的方式給積1212累教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？再（引導學生從完成一件什么事，怎么完成識這件事，怎么計算的去分析這個問題）原（3）從班上30名男生、25名女生中選男理生、女生各1人擔任數(shù)學課代表，一共有多少種不同的選法？追問：你能舉出生活中類似的例子嗎？

體會乘法的便利性，舉學生舉例，并例是原理形成和概括的類似地加以重要手段，讓學生初步分析。 體會幾個具體實例之間的關(guān)系，提高觀察力，讓學生在發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程中主動建構(gòu)，理解數(shù)學知識的本質(zhì)。抽問題4：這一類問題的共同特征是什么？象（分兩步、乘法、計數(shù)問題）類比分從實例和具體經(jīng)驗出概追問：你能不能把這種解決問題的規(guī)律用類問題的共發(fā)，通過比較、歸納、括數(shù)學語言來表述呢？同特征，學生概括等思維過程獲得分揭分步乘法計數(shù)原理歸納敘述分步乘法計數(shù)原理的內(nèi)示完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m步乘法計數(shù)容，培養(yǎng)學生分析問題、原種不同方法，做第2步有n種不同方法，原理。模仿和語言表達能力。理那么完成這件事一共有N=mn種不同方法。如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有m種不類12比同的方法，做第3步有m種不同的方法，遷3移那么完成這件事一共有Nm1m2m3同種不同的方法。化(如果完成一件事需要n個步原驟，每個步驟里有若干種不同方法，又當理如何計數(shù)呢？)分步乘法計數(shù)原理的推廣完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，,做第n步有m種不同的方法，那么n完成這件事一共有Nm1m2mn種不同的方法。

學生類比分 讓學生經(jīng)歷從直觀到抽類加法計數(shù) 象，從特殊到一般，進原理歸納敘 一步提高學生學習數(shù)述出分步乘 學、研究數(shù)學的興趣，法計數(shù)原理 從中也可體會歸納、類及其推廣。 比等合情推理方式。（四）兩個計數(shù)原理的辨析與應(yīng)用教學過程設(shè)計 學生活動 設(shè)計意圖題組訓練：（1）從甲地到乙地一天有汽車 8班，火車3班，輪船2班，某人從甲地到乙地，共有多少種不同的走法?2）從5名同學中選出正、副班長各一名，共有多少種不同的選法？3）有不同顏色的5件上衣與3件不同顏色的長褲,如果一條長褲與一件上衣配成一套,則不同的配法有多少種？4）從一個裝有4個不同白球的盒子里或裝有3個不同黑球的盒子里取1個球，共有多少種不同的取法？5）某校高一有6個班，高二有8個班，從中選擇1個班級擔任周一早晨的升旗任務(wù)，一共有多少種不同選法？6）某商場有6個門，某人從其中的任意一個門進入商場，再從其他的門出去，共有辨多少種不同的進出商場的方式？析理 請第2組的一名同學回答前三個小題，請第解3組的一名同學回答后三個小題。其實，剛才在請同學回答的過程，這本身就固 是一個數(shù)學問題。 （口述，然后板書在黑板化 上。）原理 “每個學習小組有 6人，老師從第 2、3小組中各選1人來回答問題，一共有多少種不同的選法？”這個問題中是要完成一件什么事呢？這是一個分類還是分步問題呢？如何計算呢？

學生獨立感知容易理解難，具體思考，完成練應(yīng)用更難，這組題組訓習，回答問練采用分類分步問題交題，指明使用叉設(shè)置，使學生有較多了哪個原理。的機會在應(yīng)用過程中加深對原理的理解，正確區(qū)分使用兩個計數(shù)原理，提高學生的分析問題和解決問題的能力。學生體驗一這個環(huán)節(jié)的設(shè)置，使學種經(jīng)歷式學生親身經(jīng)歷體驗發(fā)現(xiàn)數(shù)習。 學問題，數(shù)學并不是一個抽象而模糊的概念，數(shù)學就是源于生活，解決生活中所遇到的問題。問題5：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的相同點和不同點是什么 ?（討論交流）生1：相同點都是計數(shù)問題。不同點是分類用加法，分步用乘法。追問生1：你是如何區(qū)分這個問題是分類還是分步呢？生1：如果做這件事情只做一次選擇就可以完成這件事，就是分類。如果要做多次選擇

學生獨立思學生能從分析問題和解考、小組討決問題的過程中去挖掘論、代表發(fā)兩個原理的本質(zhì)區(qū)別。言。 這是本節(jié)課的一個難點突破，所以設(shè)置了小組討論。學生在與人分享中傾聽、質(zhì)疑、表述，體驗成功的喜悅，培養(yǎng)學生合作交流的能力，讓學生學會在參與中發(fā)展自己的數(shù)學知識和能力。才能完成就是分步。生2：我覺得分步問題也是分類問題。分類是一步到位，而分步是以第一步的方法不同為分類標準，每一類里是多步完成。教學過程設(shè)計生3：分類是每一種方法都可以獨立完成這件事情，而分步必須是每一步都完成才能完成，也就是每一種方法不能獨立完成這件事相分類加法計數(shù)原分步乘法計數(shù)原理同理點都是計算完成一件事方法數(shù)的問題不分類、加法分步、乘法同分類中每類方案分步中每步中的每一點中的每一種方法方法不能獨立完成這都能獨立完成這事，只有各步都完成件事件事才算完成注類類獨立步步相依意不重不漏缺一不可情。鞏固練習：書架上第一層放有4本不同的計算機書，第二層放有3本不同的文藝書，第三層放有2本不同的體育書。若從第一,二,三實 層中各取 1本書，共有多少種不同取法？際應(yīng)變式1：若從書架上任取1本書，共有多少用種不同取法？變式2：若從書架上取2本不同類別的書，活共有多少種不同取法？化原 解決課前遺留的 思考：理3名同學從5家農(nóng)戶里各選一家入?。梢赃x同一家），一共有多少種不同的入住方式？（五）反思回顧，深化認知

學生活動 設(shè)計意圖讓學生體會兩個計數(shù)原理的異同，理解兩者的本質(zhì)，