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集合的概念與表示(一)(1分鐘).掌握集合中元素的三個(gè)特性,能夠用其解決相關(guān)問題,提高分析問題和解決問題的能力,培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí).2,掌握集合的兩種常用表示方法:列舉法和描述法,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)..能正確使用常用數(shù)集及其記法,熟使練用區(qū)間來表示集合.(1分鐘)《漁民與數(shù)學(xué)家的故事》一位漁民非常喜歡數(shù)學(xué),但他怎么也想不明白集合的意義.于是,他請(qǐng)教數(shù)學(xué)家:“尊敬的先生,請(qǐng)你告訴我,集合是什么?”集合是不加定義的概念,數(shù)學(xué)家很難回答那位漁民.有一天,他來到漁民的船上,看到漁民撒下漁網(wǎng),輕輕一拉,許多魚在網(wǎng)中跳動(dòng).數(shù)學(xué)家非常激動(dòng),高興地告訴漁民:“這就是集合!”問題1:數(shù)學(xué)家說的集合是指什么?問題2:網(wǎng)中的“大魚”能構(gòu)成集合嗎?(24分鐘)精講1集合的概念【問題情境】集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),創(chuàng)始者是德國數(shù)學(xué)家——康托爾?康托爾在研究函數(shù)論時(shí)產(chǎn)生了探索無窮集和超窮數(shù)的興趣.康托爾肯定了無窮數(shù)的存在,并對(duì)無窮問題進(jìn)行了哲學(xué)的討論,最終建立了較完善的集合理論,為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的開展打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).【問題1]初中我們接觸了哪些集合?【答案】(1)數(shù)集:自然數(shù)的集合,有理數(shù)的集合,.…(2)點(diǎn)集:圓(同一平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合),線段的垂直平分線(到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合),….【問題2】所有的“美景”能否構(gòu)成集合?【答案】不能構(gòu)成集合.【抽象概括】.一般地,我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫作集合..集合與元素的符號(hào)語言:通常用大寫拉丁字母4B,C,…表示集合,小寫拉丁字母a,b,c9???表兀素..常用的數(shù)集及其記法常用的數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN*或N+ZQR【學(xué)以致用】【例1】(1)以下元素的全體能組成集合的是0.A.著名數(shù)學(xué)家B.很大的數(shù)C.聰明的人D.小于3的實(shí)數(shù)(2)判斷以下元素的全體能否組成集合.①不超過20的非負(fù)數(shù);②方程f-9二0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解;③某校2020年在校的所有高個(gè)子同學(xué);④舊的近似值的全體.【方法指導(dǎo)】根據(jù)集合的定義判斷.【解析】(1)只有選項(xiàng)D有明確的標(biāo)準(zhǔn),能組成一個(gè)集合,應(yīng)選D.(2)①對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)能判斷出是不是“不超過20的非負(fù)數(shù)”,所以能組成集合;②能組成集合;③“高個(gè)子”無明確的標(biāo)準(zhǔn),對(duì)于某個(gè)人算不算高個(gè)子無法客觀地判斷,因此不能組成集合;④“舊的近似值”沒有明確精確到什么程度,因此不能判斷一個(gè)數(shù)是不是它的近似值,所以不能組成集合.【答案】⑴D【方法小結(jié)】判斷每個(gè)元素是否具有確定性是判斷其能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵,而判斷一個(gè)元素是不是確定的,關(guān)鍵就是要找到一個(gè)明確的衡量標(biāo)準(zhǔn),同時(shí)還要注意集合中元素的互異性、無序性.【針對(duì)訓(xùn)練】1.以下元素的全體不能組成集合的是().A.中國古代四大創(chuàng)造B.地球上的小河流C.方程的實(shí)數(shù)解D.周長(zhǎng)為10cm的三角形【解析】因?yàn)闆]有明確的標(biāo)準(zhǔn)確定什么樣的河流稱為小河流,所以地球上的小河流不能組成集合.【答案】B.給出以下說法:①集合N與集合N*是同一個(gè)集合;②集合N中的元素都是集合Z中的元素;③集合Q中的元素都是集合N中的元素;④集合Q中的元素都是集合R中的元素.其中正確說法的個(gè)數(shù)是.【解析】由數(shù)集的性質(zhì)知①③錯(cuò)誤,②④正確.【答案】2精講2集合的表示方法【問題情境】開學(xué)第一天學(xué)習(xí)了集合,老師布置了一道作業(yè):把所有滿足不等式3/l<2x+9的正整數(shù)用集合表示.結(jié)果王浩宇、李琦、張瑜、謝芳四位同學(xué)的答案如下:姓名答案王浩宇{1,2,3,4,5,6,7,8,9)李琦“|爛9,x£N*}張瑜{爛9,x£N*}謝芳{x£N[爛9}【問題1】王浩宇的答案是否正確?他用了什么方法表示?【答案】正確,他是先解不等式,再找出正整數(shù)解,最后用列舉法表示.【問題2】小組討論李琦、張瑜、謝芳三位同學(xué)的答案有幾個(gè)是正確的?【答案】李琦和謝芳的答案都是正確的,用描述法要注意花括號(hào)內(nèi)用一豎杠分開,豎杠左邊的是元素,豎杠右邊的是元素滿足的條件.【問題3】任何一個(gè)集合是否既能用列舉法也能用描述法表示?假設(shè)不能,舉例說明.【答案】不一定,一般有有限個(gè)元素的集合或有無限個(gè)元素且元素之間有明顯規(guī)律的集合可用列舉法表示,而有無限個(gè)元素且元素間無規(guī)律可循的集合不能用列舉法表示,如不等式3x-l<2x+8的解組成的集合只能用描述法表示為3爛9}.【抽象概括】集合常用的表示法(1)列舉法:在花括號(hào)內(nèi)把集合的所有元素一一列舉出來,特點(diǎn)是適用于元素的個(gè)數(shù)較少的集合.(2)描述法:用集合中元素的屬性表示集合,其一般形式是{Rx所具有的屬性}.【學(xué)以致用】【例2】用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎疽韵录希海?)方程后=?的所有實(shí)數(shù)解組成的集合;(2)方程組卜+y=i’的解組成的集合.[x-y--1【方法指導(dǎo)】(1)既可以用描述法表示,也可以求出方程的解,用列舉法表示;(2)注意到點(diǎn)是用坐標(biāo)表示,采用列舉法表示.【解析】(1)(法一)用描述法表示為{x£R|V^=?}.(法二)由舊=?,解得廣0或41,故用列舉法表示為{0,1}.(2)解方程組卜+y=L得卜二°'因此用列舉法表示為{(0,1)}.【方法小結(jié)】用列舉法描述集合時(shí)要注意元素的不重不漏,不計(jì)次序,且元素與元素之間用隔開用描述法表示集合時(shí),常用的模式是{x|p(x)},其中x代表集合中的元素,p(x)為集合中元素所具備的共同特征.要注意豎線不能省略,同時(shí)表達(dá)要力求簡(jiǎn)練、明確.【針對(duì)訓(xùn)練】1.分別用列舉法和描述法表示方程組尸“+y=2,的解集.3y=27[解析]方程組序(y=上的解是卜=3;(2%-3y=27(y=-7.用描述法表示該集合為[(刈y)|^xty"2,I用列舉法表示該集合為{(3,-7)}.(|12x-3y=27)2.集合人二國加米生。,x£R},假設(shè)集合A中有兩個(gè)元素,求實(shí)數(shù)。的取值集合.【解析】因?yàn)榧螦中有兩個(gè)元素,所以關(guān)于x的方程"2_344=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以解得"尚且存0.(J=9+16a>0,16故實(shí)數(shù)a的取值集合是{硝>京且aW0}.精講3元素與集合的關(guān)系【問題情境】把高一年級(jí)所有的同學(xué)組成的集合記為4〃是高一⑺班的同學(xué),h是高二⑺班的同學(xué).【問題1】請(qǐng)問〃與A,8與A之間各自有什么關(guān)系?【答案】—A,【問題2】由2,3,4,5,卜3|構(gòu)成的集合里是不是有5個(gè)元素?【答案】由2,3,4,5,卜3|構(gòu)成的集合表示為M={2,3,4,5),只有4個(gè)元素.【問題3】問題2中卜3|在集合M中嗎?-3在集合M中嗎?【答案】因?yàn)椴?|二3,所以卜3|在集合M中;集合M中沒有-3,所以-3不在集合M中.【抽象概括】.集合中元素的三要素確定性:判斷每個(gè)對(duì)象是否具有確定性是判斷其能否組成集合的關(guān)鍵,而判斷一個(gè)對(duì)象是不是確定的,關(guān)鍵就是要找到一個(gè)明確的衡量標(biāo)準(zhǔn).互異性:集合中的任何兩個(gè)元素都是不相同的.無序性:在用列舉法表示集合時(shí),元素的排列順序沒有關(guān)系,例如,集合{1,2,3}同時(shí)也可以寫成{3,2,1}和{2,1,3)..元素與集合的關(guān)系:如果。是集合A中的元素,就說,屬于集合A,記作qGA;如果。不是集合A中的元素,就說〃不屬于集合A,記作NA.含有有限個(gè)元素的集合叫作有限集;含有無限個(gè)元素的集合叫作無限集;不含任何元素的集合叫作空集,記作【學(xué)以致用】【例3】集合A={x|x=a+或〃,m,〃£Z}.(1)判斷0,(1+遮F―石與A的關(guān)系;3-V2(2)假設(shè)X1,X2^A,試探究九1尤2,X1+X2與A的關(guān)系.【方法指導(dǎo)】根據(jù)元素與集合關(guān)系的定義判斷.【解析】⑴易知0=0+0乂/,且0£Z,所以0WA.因?yàn)?1+&)2=3+2魚,且3,2ez,所以(1+魚產(chǎn)0人ffl1_3+V2_3V2□3lj-ry因?yàn)榭?匹歷而歷=1+3,且Tfz,所以會(huì)建A.3-V2(2)因?yàn)閄1,所以可設(shè)%1=加+加〃1,%2=根2+魚〃2,且加1,〃1,m2,〃2£Z,所以用工2=(如+魚〃1)(m2+夜〃2)-mI加2+魚。%2〃1+根1〃2)+2〃1〃2=(m?加2+2〃1〃2)+迎(加2〃1+m1〃2).因?yàn)槿纭?2+2〃i〃2£Z,/%2〃1+/%1〃2£Z,所以X\X2^A.因?yàn)閄l+X2=(m1+m2)+魚(〃1+〃2),mi+m2^Z,所以Xi+%2£4【方法小結(jié)】判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法:(1)直接法,假設(shè)集合中的元素是直接給出的,那么只要判斷該元素在集合中是否出現(xiàn)即可.(2)推理法,對(duì)于一些沒有直接表示的集合,只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可,此時(shí)應(yīng)首先明確集合中的元素具有什么特征.【針對(duì)訓(xùn)練】集合4={。+1,a2-1},假設(shè)0£4那么實(shí)數(shù),的值為.【解析】???0£A,???0=。+1或0=/-1.當(dāng)0=〃+1時(shí),〃=-1,此時(shí)a2-1=0,A中元素重復(fù),不符合題意.當(dāng)〃2一1=0時(shí),.=1或々=-1(舍去),/.a-1,此時(shí),A=[2,0},符合題意.【答案】1精講4區(qū)間【問題1】區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法,那么任何數(shù)集都能用區(qū)間表示嗎?【答案】不是任何數(shù)集都能用區(qū)間表示,如集合{0}就不能用區(qū)間表示.【問題2]“8”是數(shù)嗎?如何正確使用“00”?【答案】“00”讀作“無窮大”,是一個(gè)符號(hào),不是數(shù).以"-8"或"+00”作為區(qū)間一端時(shí),這一端必須是小括號(hào).【抽象概括】區(qū)間的定義、名稱、符號(hào)及數(shù)軸表示如下表:定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示TOC\o"1-5"\h\z{x\a<x<b}閉區(qū)間b]*1—>abx{x\a<x<b}開區(qū)間(a,b)abx{x\a<x<b}半閉半開區(qū)間[。,b)Labx定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示{x\a<x<b}半開半閉區(qū)間(。,b]abx{x\x>a}[a,+oo)>ax{x\x>a](q,+8)>ax{x|爛a}(-oo,a]>ax{x\x<a](-oo,d)axR(-00,+oo)取遍數(shù)軸上所有的值特別提醒:(1)“8”讀作無窮大,是一個(gè)符號(hào),不是數(shù),以-00或+8作為區(qū)間一端時(shí),這一端必須是小括號(hào).(2)區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法,區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)必須保證左小、右大.【學(xué)以致用】【例4】假設(shè)口3〃-1]為一確定區(qū)間,那么,的取值范圍是.【方法指導(dǎo)】根據(jù)左端點(diǎn)值小于右端點(diǎn)值進(jìn)行求解.【解析】由題意得3如1>〃,那么?!敬鸢浮縂,+8)【針對(duì)訓(xùn)練】用區(qū)間表示以下數(shù)集:(1){x|x>1}=;(2){x|2<%<4}=【答案】⑴口,+8)⑵(2,4](10分鐘)探究:點(diǎn)集在集合中的表示與應(yīng)用【思考1】集合3〃(x)}與集合{(x,y)|〃(x,y)}有什么不同?它們代表的元素有何區(qū)別?【答案】集合{班⑴}表示數(shù)集,代表的元素為數(shù);集合{(x,y)\p(x9>)}表示點(diǎn)集,代表的元素為點(diǎn).【思考2】假設(shè)點(diǎn)(mb)£{(x,y)\p(x,y)},那么點(diǎn)3,〃)£{(%,y)\p(x,y)},對(duì)嗎?【答案】(〃,加是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì),位置是不能隨便互換的,比方在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)(1,2)與(2,1)是不同的.【例5】二次函數(shù)產(chǎn)jA2x+i,畫出它的函數(shù)圖象并思考以下問題:(1)該函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)能否組成一個(gè)集合?其元素用什么表示?(2)選擇合適的方法表示該函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)組成的集合.【解析】畫出函數(shù)產(chǎn)f-2x+l的圖象,如下圖.(1)因?yàn)槎魏瘮?shù)產(chǎn)P2x+1的圖象是確定的研究對(duì)象,所以可以組成一個(gè)集合,集合中的元素是函數(shù)圖象上的點(diǎn),點(diǎn)的描述可以用坐標(biāo)(x,y)表示.(2)因?yàn)楹瘮?shù)圖象中的點(diǎn)(心),)滿足等式y(tǒng)=f-2x+l,所以采用描述法表示比擬合適,表示如下:{(x,y)|y=f-2x+1}.【探究小結(jié)】將平面內(nèi)的點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)建立對(duì)應(yīng)關(guān)系,每一個(gè)點(diǎn)只對(duì)應(yīng)一個(gè)坐標(biāo),同時(shí)每一個(gè)坐標(biāo)在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)只有一個(gè),從而平面內(nèi)的點(diǎn)可以用坐標(biāo)表示,解決了集合中元素的表示問題,提升了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).【變式訓(xùn)練】將以下集合用符號(hào)語言表示出來:(1)平面內(nèi)第一象限內(nèi)的所有點(diǎn)組成的集合;(2)二次函數(shù)產(chǎn)f-2x-3的圖象與冗軸的所有交點(diǎn)組成的集合;(3)如圖,陰影區(qū)域內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合(含邊界).【解析】(1)第一象限內(nèi)的點(diǎn)(x,y)滿足條件x>0且),>0,故集合可表示為{(x,y)|x>0,)>0}.(2)令y=0,那么/々工烏二。,解得或卡3,二次函數(shù)產(chǎn)爐-2上3的圖象與無軸有兩個(gè)交點(diǎn),分別為(-1,0),(3,0),故采用列舉法表示為{(-1,0),(3,0)}.(3)觀察圖象,可知陰影區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)滿足條件上爛6且10.04,故集合可表示為{(X,),)|1二后6,1<><4}.(1分鐘).知識(shí)圖譜:.數(shù)學(xué)思想、學(xué)科素養(yǎng):分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化;數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理;.常見誤區(qū):忽視集合中元素的互異性.(5分鐘)1.以下各組對(duì)象可以組成集合的是0.A.數(shù)學(xué)必修1課本中所有的難題.小于8的所有素?cái)?shù)C.直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)D.所有小的正數(shù)【解析
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