1.1.1集合的概念與表示導(dǎo)學(xué)案

集合的概念與表示（一）（1分鐘）.掌握集合中元素的三個特性，能夠用其解決相關(guān)問題，提高分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)應(yīng)用意識.2,掌握集合的兩種常用表示方法：列舉法和描述法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)..能正確使用常用數(shù)集及其記法，熟使練用區(qū)間來表示集合.（1分鐘）《漁民與數(shù)學(xué)家的故事》一位漁民非常喜歡數(shù)學(xué)，但他怎么也想不明白集合的意義.于是，他請教數(shù)學(xué)家：“尊敬的先生，請你告訴我，集合是什么？”集合是不加定義的概念，數(shù)學(xué)家很難回答那位漁民.有一天，他來到漁民的船上，看到漁民撒下漁網(wǎng)，輕輕一拉，許多魚在網(wǎng)中跳動.數(shù)學(xué)家非常激動，高興地告訴漁民：“這就是集合!”問題1：數(shù)學(xué)家說的集合是指什么？問題2：網(wǎng)中的“大魚”能構(gòu)成集合嗎？（24分鐘）精講1集合的概念【問題情境】集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，創(chuàng)始者是德國數(shù)學(xué)家——康托爾?康托爾在研究函數(shù)論時產(chǎn)生了探索無窮集和超窮數(shù)的興趣.康托爾肯定了無窮數(shù)的存在，并對無窮問題進行了哲學(xué)的討論，最終建立了較完善的集合理論，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的開展打下了堅實的基礎(chǔ).【問題1］初中我們接觸了哪些集合？【答案】（1）數(shù)集：自然數(shù)的集合，有理數(shù)的集合，.…（2）點集：圓（同一平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合），線段的垂直平分線（到一條線段的兩個端點的距離相等的點的集合），….【問題2】所有的“美景”能否構(gòu)成集合？【答案】不能構(gòu)成集合.【抽象概括】.一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫作集合..集合與元素的符號語言：通常用大寫拉丁字母4B,C,…表示集合，小寫拉丁字母a,b,c9???表兀素..常用的數(shù)集及其記法常用的數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法NN*或N+ZQR【學(xué)以致用】【例1】(1)以下元素的全體能組成集合的是0.A.著名數(shù)學(xué)家B.很大的數(shù)C.聰明的人D.小于3的實數(shù)(2)判斷以下元素的全體能否組成集合.①不超過20的非負數(shù)；②方程f-9二0在實數(shù)范圍內(nèi)的解；③某校2020年在校的所有高個子同學(xué)；④舊的近似值的全體.【方法指導(dǎo)】根據(jù)集合的定義判斷.【解析】(1)只有選項D有明確的標(biāo)準(zhǔn)，能組成一個集合，應(yīng)選D.(2)①對任意一個實數(shù)能判斷出是不是“不超過20的非負數(shù)”，所以能組成集合；②能組成集合；③“高個子”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于某個人算不算高個子無法客觀地判斷，因此不能組成集合；④“舊的近似值”沒有明確精確到什么程度，因此不能判斷一個數(shù)是不是它的近似值，所以不能組成集合.【答案】⑴D【方法小結(jié)】判斷每個元素是否具有確定性是判斷其能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵，而判斷一個元素是不是確定的，關(guān)鍵就是要找到一個明確的衡量標(biāo)準(zhǔn)，同時還要注意集合中元素的互異性、無序性.【針對訓(xùn)練】1.以下元素的全體不能組成集合的是().A.中國古代四大創(chuàng)造B.地球上的小河流C.方程的實數(shù)解D.周長為10cm的三角形【解析】因為沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)確定什么樣的河流稱為小河流，所以地球上的小河流不能組成集合.【答案】B.給出以下說法：①集合N與集合N*是同一個集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合N中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素.其中正確說法的個數(shù)是.【解析】由數(shù)集的性質(zhì)知①③錯誤，②④正確.【答案】2精講2集合的表示方法【問題情境】開學(xué)第一天學(xué)習(xí)了集合，老師布置了一道作業(yè)：把所有滿足不等式3/l<2x+9的正整數(shù)用集合表示.結(jié)果王浩宇、李琦、張瑜、謝芳四位同學(xué)的答案如下：姓名答案王浩宇{1,2,3,4,5,6,7,8,9)李琦“|爛9,x￡N*}張瑜{爛9,x￡N*}謝芳{x￡N［爛9}【問題1】王浩宇的答案是否正確?他用了什么方法表示？【答案】正確，他是先解不等式，再找出正整數(shù)解，最后用列舉法表示.【問題2】小組討論李琦、張瑜、謝芳三位同學(xué)的答案有幾個是正確的？【答案】李琦和謝芳的答案都是正確的，用描述法要注意花括號內(nèi)用一豎杠分開，豎杠左邊的是元素，豎杠右邊的是元素滿足的條件.【問題3】任何一個集合是否既能用列舉法也能用描述法表示?假設(shè)不能，舉例說明.【答案】不一定，一般有有限個元素的集合或有無限個元素且元素之間有明顯規(guī)律的集合可用列舉法表示，而有無限個元素且元素間無規(guī)律可循的集合不能用列舉法表示，如不等式3x-l<2x+8的解組成的集合只能用描述法表示為3爛9}.【抽象概括】集合常用的表示法(1)列舉法：在花括號內(nèi)把集合的所有元素一一列舉出來，特點是適用于元素的個數(shù)較少的集合.(2)描述法：用集合中元素的屬性表示集合，其一般形式是{Rx所具有的屬性}.【學(xué)以致用】【例2】用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎疽韵录希海?）方程后=?的所有實數(shù)解組成的集合；（2）方程組卜+y=i’的解組成的集合.［x-y--1【方法指導(dǎo)】（1）既可以用描述法表示，也可以求出方程的解，用列舉法表示；（2）注意到點是用坐標(biāo)表示，采用列舉法表示.【解析】（1）（法一）用描述法表示為｛x￡R|V^=?｝.（法二）由舊=?,解得廣0或41,故用列舉法表示為｛0,1｝.（2）解方程組卜+y=L得卜二°'因此用列舉法表示為｛（0,1）｝.【方法小結(jié)】用列舉法描述集合時要注意元素的不重不漏，不計次序，且元素與元素之間用隔開用描述法表示集合時，常用的模式是｛x|p（x）｝,其中x代表集合中的元素，p（x）為集合中元素所具備的共同特征.要注意豎線不能省略，同時表達要力求簡練、明確.【針對訓(xùn)練】1.分別用列舉法和描述法表示方程組尸“+y=2,的解集.3y=27［解析］方程組序（y=上的解是卜=3；（2%-3y=27（y=-7.用描述法表示該集合為［（刈y）|^xty"2,I用列舉法表示該集合為｛（3,-7）｝.（|12x-3y=27）2.集合人二國加米生。，x￡R｝,假設(shè)集合A中有兩個元素，求實數(shù)。的取值集合.【解析】因為集合A中有兩個元素，所以關(guān)于x的方程"2_344=0有兩個不相等的實數(shù)根，所以解得"尚且存0.(J=9+16a>0,16故實數(shù)a的取值集合是｛硝>京且aW0｝.精講3元素與集合的關(guān)系【問題情境】把高一年級所有的同學(xué)組成的集合記為4〃是高一⑺班的同學(xué)，h是高二⑺班的同學(xué).【問題1】請問〃與A,8與A之間各自有什么關(guān)系？【答案】—A,【問題2】由2,3,4,5,卜3|構(gòu)成的集合里是不是有5個元素？【答案】由2,3,4,5,卜3|構(gòu)成的集合表示為M=｛2,3,4,5),只有4個元素.【問題3】問題2中卜3|在集合M中嗎?-3在集合M中嗎？【答案】因為卜3|二3,所以卜3|在集合M中；集合M中沒有-3,所以-3不在集合M中.【抽象概括】.集合中元素的三要素確定性：判斷每個對象是否具有確定性是判斷其能否組成集合的關(guān)鍵，而判斷一個對象是不是確定的，關(guān)鍵就是要找到一個明確的衡量標(biāo)準(zhǔn).互異性：集合中的任何兩個元素都是不相同的.無序性：在用列舉法表示集合時，元素的排列順序沒有關(guān)系，例如，集合｛1,2,3｝同時也可以寫成｛3,2,1｝和｛2,1,3)..元素與集合的關(guān)系：如果。是集合A中的元素，就說，屬于集合A,記作qGA；如果。不是集合A中的元素，就說〃不屬于集合A,記作NA.含有有限個元素的集合叫作有限集；含有無限個元素的集合叫作無限集；不含任何元素的集合叫作空集，記作【學(xué)以致用】【例3】集合A=｛x|x=a+或〃，m,〃￡Z｝.(1)判斷0,(1+遮F―石與A的關(guān)系；3-V2(2)假設(shè)X1，X2^A,試探究九1尤2，X1+X2與A的關(guān)系.【方法指導(dǎo)】根據(jù)元素與集合關(guān)系的定義判斷.【解析】⑴易知0=0+0乂/，且0￡Z,所以0WA.因為(1+&)2=3+2魚，且3,2ez,所以(1+魚產(chǎn)0人ffl1_3+V2_3V2□3lj-ry因為康=匹歷而歷=1+3,且Tfz，所以會建A.3-V2(2)因為X1，所以可設(shè)％1=加+加〃1，%2=根2+魚〃2，且加1，〃1，m2,〃2￡Z,所以用工2=(如+魚〃1)(m2+夜〃2)-mI加2+魚。%2〃1+根1〃2)+2〃1〃2=(m?加2+2〃1〃2)+迎(加2〃1+m1〃2).因為如〃22+2〃i〃2￡Z,/%2〃1+/%1〃2￡Z,所以X\X2^A.因為Xl+X2=(m1+m2)+魚(〃1+〃2)，mi+m2^Z,所以Xi+%2￡4【方法小結(jié)】判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法：(1)直接法，假設(shè)集合中的元素是直接給出的，那么只要判斷該元素在集合中是否出現(xiàn)即可.(2)推理法，對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應(yīng)首先明確集合中的元素具有什么特征.【針對訓(xùn)練】集合4={。+1,a2-1},假設(shè)0￡4那么實數(shù)，的值為.【解析】???0￡A,???0=。+1或0=/-1.當(dāng)0=〃+1時，〃=-1,此時a2-1=0,A中元素重復(fù)，不符合題意.當(dāng)〃2一1=0時,.=1或々=-1(舍去),/.a-1,此時,A=[2,0},符合題意.【答案】1精講4區(qū)間【問題1】區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法，那么任何數(shù)集都能用區(qū)間表示嗎？【答案】不是任何數(shù)集都能用區(qū)間表示，如集合{0}就不能用區(qū)間表示.【問題2]“8”是數(shù)嗎?如何正確使用“00”？【答案】“00”讀作“無窮大”，是一個符號，不是數(shù).以"-8"或"+00”作為區(qū)間一端時，這一端必須是小括號.【抽象概括】區(qū)間的定義、名稱、符號及數(shù)軸表示如下表：定義名稱符號數(shù)軸表示TOC\o"1-5"\h\z{x\a<x<b}閉區(qū)間b]*1—>abx{x\a<x<b}開區(qū)間(a,b)abx{x\a<x<b}半閉半開區(qū)間[。，b)Labx定義名稱符號數(shù)軸表示{x\a<x<b}半開半閉區(qū)間(。，b]abx{x\x>a}[a,+oo)>ax{x\x>a](q,+8)>ax{x|爛a}(-oo,a]>ax{x\x<a](-oo,d)axR(-00,+oo)取遍數(shù)軸上所有的值特別提醒：(1)“8”讀作無窮大，是一個符號，不是數(shù)，以-00或+8作為區(qū)間一端時,這一端必須是小括號.(2)區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法，區(qū)間的兩個端點必須保證左小、右大.【學(xué)以致用】【例4】假設(shè)口3〃-1]為一確定區(qū)間，那么，的取值范圍是.【方法指導(dǎo)】根據(jù)左端點值小于右端點值進行求解.【解析】由題意得3如1>〃，那么?！敬鸢浮縂，+8)【針對訓(xùn)練】用區(qū)間表示以下數(shù)集：(1){x|x>1}=；(2){x|2<%<4}=【答案】⑴口,+8)⑵(2,4](10分鐘)探究：點集在集合中的表示與應(yīng)用【思考1】集合3〃(x)}與集合{(x,y)|〃(x，y)}有什么不同?它們代表的元素有何區(qū)別？【答案】集合{班⑴}表示數(shù)集,代表的元素為數(shù)；集合{(x,y)\p(x9>)}表示點集,代表的元素為點.【思考2】假設(shè)點(mb)￡{(x,y)\p(x,y)},那么點3，〃)￡{(%,y)\p(x,y)},對嗎?【答案】(〃，加是一個有序?qū)崝?shù)對，位置是不能隨便互換的，比方在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)(1,2)與(2,1)是不同的.【例5】二次函數(shù)產(chǎn)jA2x+i,畫出它的函數(shù)圖象并思考以下問題：(1)該函數(shù)圖象上所有的點能否組成一個集合?其元素用什么表示？(2)選擇合適的方法表示該函數(shù)圖象上所有的點組成的集合.【解析】畫出函數(shù)產(chǎn)f-2x+l的圖象，如下圖.(1)因為二次函數(shù)產(chǎn)P2x+1的圖象是確定的研究對象，所以可以組成一個集合，集合中的元素是函數(shù)圖象上的點，點的描述可以用坐標(biāo)(x,y)表示.(2)因為函數(shù)圖象中的點(心)，)滿足等式y(tǒng)=f-2x+l,所以采用描述法表示比擬合適，表示如下：{(x,y)|y=f-2x+1}.【探究小結(jié)】將平面內(nèi)的點與平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)建立對應(yīng)關(guān)系，每一個點只對應(yīng)一個坐標(biāo)，同時每一個坐標(biāo)在平面內(nèi)對應(yīng)的點只有一個，從而平面內(nèi)的點可以用坐標(biāo)表示，解決了集合中元素的表示問題，提升了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).【變式訓(xùn)練】將以下集合用符號語言表示出來：(1)平面內(nèi)第一象限內(nèi)的所有點組成的集合；(2)二次函數(shù)產(chǎn)f-2x-3的圖象與冗軸的所有交點組成的集合；(3)如圖，陰影區(qū)域內(nèi)所有的點組成的集合(含邊界).【解析】(1)第一象限內(nèi)的點(x,y)滿足條件x>0且)，>0,故集合可表示為{(x,y)|x>0,)>0}.(2)令y=0,那么/々工烏二。，解得或卡3,二次函數(shù)產(chǎn)爐-2上3的圖象與無軸有兩個交點，分別為(-1,0),(3,0),故采用列舉法表示為{(-1,0),(3,0)}.(3)觀察圖象，可知陰影區(qū)域內(nèi)的點(x,y)滿足條件上爛6且10.04,故集合可表示為{(X，)，)|1二后6，1<><4}.(1分鐘).知識圖譜：.數(shù)學(xué)思想、學(xué)科素養(yǎng)：分類討論、等價轉(zhuǎn)化；數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理；.常見誤區(qū)：忽視集合中元素的互異性.(5分鐘)1.以下各組對象可以組成集合的是0.A.數(shù)學(xué)必修1課本中所有的難題.小于8的所有素數(shù)C.直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點D.所有小的正數(shù)【解析