九年級數(shù)學：-證明圓的切線的兩種類型習題

V:1.0精細整理，僅供參考九年級數(shù)學：-證明圓的切線的兩種類型習題日期：20xx年X月小專題 證明圓的切線的兩種類型類型1 已知直線與圓的交點【例1】如圖，AB=AC，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.求證：DM與⊙O相切.【方法總結(jié)】直線過圓上某一點，證明直線是圓的切線時，只需“連半徑，證垂直，得切線”.“證垂直”時通常利用圓中的關(guān)系得到90°的角，如直徑所對的圓周角等于90°等.變式練習1 (湖州中考改編)如圖，已知P是⊙O外一點，PO交⊙O于點C，OC=CP=2，弦AB垂直平分OC.(1)求BC的長；(2)求證：PB是⊙O的切線.變式練習2 (德州中考)如圖，已知⊙O的半徑為1，DE是⊙O的直徑，過D作⊙O的切線，C是AD的中點，AE交⊙O于B點，四邊形BCOE是平行四邊形.(1)求AD的長；(2)BC是⊙O的切線嗎？若是，給出證明，若不是，說明理由.變式練習3 (臨沂中考)如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E.(1)證明：DE為⊙O的切線；(2)連接OE，若BC=4，求△OEC的面積.類型2 未知直線與圓的交點【例2】如圖，AB=AC，D為BC中點，⊙D與AB切于E點.求證：AC與⊙D相切.【方法總結(jié)】直線與圓沒有已知的公共點時，通?！白鞔怪?，證半徑，得切線”.證明垂線段的長等于半徑常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.變式練習4 如圖，O為正方形ABCD對角線AC上一點，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點M，與AB、AD分別相交于點E、F.求證：CD與⊙O相切.變式練習5 如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，E為AB上的一點，DE=DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D，AB=5，EB=3.（1）求證：AC是⊙D的切線;（2）求線段AC的長.參考答案類型1 已知直線與圓的交點【例1】法一：連接OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠BDO=∠B.∴∠BDO=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM與⊙O相切.法二：連接OD，AD.∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC.∵AB=AC,∴∠BAD=∠CAD.∵DM⊥AC，∴∠CAD+∠ADM=90°.∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA.∴∠ODA+∠ADM=90°.即OD⊥DM，∴DM是⊙O的切線.變式練習1 (1)連接OB.∵弦AB垂直平分OC，∴OB=BC.又∵OB=OC，∴△OBC是正三角形.∴BC=OC=2.(2)∵BC=CP，∴∠CBP=∠CPB.∵△OBC是正三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°.∴∠CBP=30°，∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，即OB⊥BP.∵點B在⊙O上，∴PB是⊙O的切線.變式練習2 (1)連接BD，則∠DBE=90°.∵四邊形BCOE是平行四邊形，∴BC∥OE，BC=OE=1.在Rt△ABD中，C為AD的中點，∴BC=AD=1.∴AD=2.(2)連接OB，由(1)得BC∥OD，且BC=OD.∴四邊形BCDO是平行四邊形.又∵AD是⊙O的切線，∴OD⊥AD.∴四邊形BCDO是矩形.∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切線.變式練習3 (1)證明：DE為⊙O的切線；證明：連接OD.∵等腰△ABC的底角為30°，∴∠A=∠B=30°.∵OB=OD，∴∠ODB=∠B=30°.∴∠ODB=∠A.∴OD∥AC.又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD.∴DE為⊙O的切線；(2)連接DC，∵∠B=∠BDO=30°，∴∠DOC=60°.又∵OD=OC，∴OD=OC=DC=12BC=2.∵∠ODE=90°，∴∠EDC=30°,∴在Rt△DEC中，EC=DC=1,DE=2×=∵∠ODE=∠DEA=90°，∴OD∥AC,∴S△OCE=S△DEC=×CE×DE=×1×=.類型2 未知直線與圓的交點【例2】法一：連接DE，作DF⊥AC，垂足為F.∵AB是⊙D的切線，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF.∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切線.法二：連接DE，AD，作DF⊥AC，F(xiàn)是垂足.∵AB與⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠DAB=∠DAC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上，∴AC與⊙D相切.【方法總結(jié)】直線與圓沒有已知的公共點時，通?！白鞔怪?，證半徑，得切線”.證明垂線段的長等于半徑常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.變式練習4 連接OM，過點O作ON⊥CD，垂足為N，∵⊙O與BC相切于M，∴OM⊥BC.∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，又∵ON⊥CD，OM⊥BC,∴OM=ON.∴N在⊙O上.∴CD與⊙O相切.變式練習5 （1）AC是⊙D的切線;證明：過點D作DF⊥AC于F.∵∠ABC=90°∴AB⊥BC.∵AD平分∠BAC，DF⊥AC,∴BD=D