九年級(jí)數(shù)學(xué)：-證明圓的切線的兩種類型習(xí)題

V:1.0精細(xì)整理，僅供參考九年級(jí)數(shù)學(xué)：-證明圓的切線的兩種類型習(xí)題日期：20xx年X月小專題 證明圓的切線的兩種類型類型1 已知直線與圓的交點(diǎn)【例1】如圖，AB=AC，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.求證：DM與⊙O相切.【方法總結(jié)】直線過(guò)圓上某一點(diǎn)，證明直線是圓的切線時(shí)，只需“連半徑，證垂直，得切線”.“證垂直”時(shí)通常利用圓中的關(guān)系得到90°的角，如直徑所對(duì)的圓周角等于90°等.變式練習(xí)1 (湖州中考改編)如圖，已知P是⊙O外一點(diǎn)，PO交⊙O于點(diǎn)C，OC=CP=2，弦AB垂直平分OC.(1)求BC的長(zhǎng)；(2)求證：PB是⊙O的切線.變式練習(xí)2 (德州中考)如圖，已知⊙O的半徑為1，DE是⊙O的直徑，過(guò)D作⊙O的切線，C是AD的中點(diǎn)，AE交⊙O于B點(diǎn)，四邊形BCOE是平行四邊形.(1)求AD的長(zhǎng)；(2)BC是⊙O的切線嗎？若是，給出證明，若不是，說(shuō)明理由.變式練習(xí)3 (臨沂中考)如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D，過(guò)D作DE⊥AC，垂足為E.(1)證明：DE為⊙O的切線；(2)連接OE，若BC=4，求△OEC的面積.類型2 未知直線與圓的交點(diǎn)【例2】如圖，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，⊙D與AB切于E點(diǎn).求證：AC與⊙D相切.【方法總結(jié)】直線與圓沒(méi)有已知的公共點(diǎn)時(shí)，通?！白鞔怪?，證半徑，得切線”.證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.變式練習(xí)4 如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)M，與AB、AD分別相交于點(diǎn)E、F.求證：CD與⊙O相切.變式練習(xí)5 如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上的一點(diǎn)，DE=DC，以D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作⊙D，AB=5，EB=3.（1）求證：AC是⊙D的切線;（2）求線段AC的長(zhǎng).參考答案類型1 已知直線與圓的交點(diǎn)【例1】法一：連接OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠BDO=∠B.∴∠BDO=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM與⊙O相切.法二：連接OD，AD.∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC.∵AB=AC,∴∠BAD=∠CAD.∵DM⊥AC，∴∠CAD+∠ADM=90°.∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA.∴∠ODA+∠ADM=90°.即OD⊥DM，∴DM是⊙O的切線.變式練習(xí)1 (1)連接OB.∵弦AB垂直平分OC，∴OB=BC.又∵OB=OC，∴△OBC是正三角形.∴BC=OC=2.(2)∵BC=CP，∴∠CBP=∠CPB.∵△OBC是正三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°.∴∠CBP=30°，∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，即OB⊥BP.∵點(diǎn)B在⊙O上，∴PB是⊙O的切線.變式練習(xí)2 (1)連接BD，則∠DBE=90°.∵四邊形BCOE是平行四邊形，∴BC∥OE，BC=OE=1.在Rt△ABD中，C為AD的中點(diǎn)，∴BC=AD=1.∴AD=2.(2)連接OB，由(1)得BC∥OD，且BC=OD.∴四邊形BCDO是平行四邊形.又∵AD是⊙O的切線，∴OD⊥AD.∴四邊形BCDO是矩形.∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切線.變式練習(xí)3 (1)證明：DE為⊙O的切線；證明：連接OD.∵等腰△ABC的底角為30°，∴∠A=∠B=30°.∵OB=OD，∴∠ODB=∠B=30°.∴∠ODB=∠A.∴OD∥AC.又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD.∴DE為⊙O的切線；(2)連接DC，∵∠B=∠BDO=30°，∴∠DOC=60°.又∵OD=OC，∴OD=OC=DC=12BC=2.∵∠ODE=90°，∴∠EDC=30°,∴在Rt△DEC中，EC=DC=1,DE=2×=∵∠ODE=∠DEA=90°，∴OD∥AC,∴S△OCE=S△DEC=×CE×DE=×1×=.類型2 未知直線與圓的交點(diǎn)【例2】法一：連接DE，作DF⊥AC，垂足為F.∵AB是⊙D的切線，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF.∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切線.法二：連接DE，AD，作DF⊥AC，F(xiàn)是垂足.∵AB與⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠DAB=∠DAC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上，∴AC與⊙D相切.【方法總結(jié)】直線與圓沒(méi)有已知的公共點(diǎn)時(shí)，通?！白鞔怪?，證半徑，得切線”.證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.變式練習(xí)4 連接OM，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CD，垂足為N，∵⊙O與BC相切于M，∴OM⊥BC.∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，又∵ON⊥CD，OM⊥BC,∴OM=ON.∴N在⊙O上.∴CD與⊙O相切.變式練習(xí)5 （1）AC是⊙D的切線;證明：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F.∵∠ABC=90°∴AB⊥BC.∵AD平分∠BAC，DF⊥AC,∴BD=D