2023屆高考數(shù)學(xué)專題破-專題六 導(dǎo)數(shù)的綜合問題（解析版）

專題六導(dǎo)數(shù)的綜合問題一、單選題1．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得函數(shù)，把在上有兩個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上由兩個(gè)不等式的實(shí)數(shù)根，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于的方程在區(qū)間上由兩個(gè)不等式的實(shí)數(shù)根，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要使得函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則滿足，即a的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.2．已知函數(shù)，若，使成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)時(shí)，求得函數(shù)的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，求得，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，可得，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為值域包含的值域，得出不等式，求得；②當(dāng)時(shí)，求得的值域?yàn)?，滿足題意，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，函數(shù)，可得，①當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)閷?duì)，使成立，轉(zhuǎn)化為值域包含的值域，所以，即，解得，所以；②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)值域?yàn)?，滿足對(duì)，使成立，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.3．若存在實(shí)數(shù)x，y滿足，則（）A． B．0 C．1 D．【答案】C【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，再令，結(jié)合基本不等式，求得，進(jìn)而得到，求得的值，即可求解.【詳解】令函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，可得，令函數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又由，所以，所以，所以．故選：C.【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.4．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，確定函數(shù)的單調(diào)性【詳解】解：由題意可知，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，根據(jù)圖象，解集為，故選：A．5．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知，則過點(diǎn)P(-1，0)且與曲線相切的直線方程為（）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)為則切線方程為，將點(diǎn)代入解，即可求切線方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，切線斜率為所以切線方程為，因?yàn)檫^點(diǎn)則解得或，所以切線方程為或故選：C6．（2020·全國(guó)）設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，則等于（）A． B． C． D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，直接得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，.所以故選：C.7．（2020·全國(guó)）已知函數(shù)，若在R上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)是遞增函數(shù)可得在R上恒成立，再分離參數(shù)，由取值范圍即得結(jié)果.【詳解】在R上為增函數(shù)，故在R上恒成立，即恒成立，而，故.故選：D.8．已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和在處的切線斜率，再由與直線垂直斜率乘積為可得答案.【詳解】，，切線的斜率為，因?yàn)榍芯€與直線垂直，所以，解得.故選：D.9．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于方程恰好有4個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間和極值，作出的圖象，將方程因式分解為，則或，從而有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與有3個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可得到的取值范圍，從而得解；【詳解】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)或時(shí)，，遞減，可得在處取得極小值0，在處取得極大值，作出的圖象如下所示，因?yàn)榍『糜?個(gè)不相等的實(shí)根，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，有個(gè)實(shí)數(shù)解，所以應(yīng)有個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與有3個(gè)交點(diǎn)，所以，即故選：D【點(diǎn)睛】本題考查方程的根的個(gè)數(shù)問題解法，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查運(yùn)算能力．10．若函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)分別為a，b，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，再比較選項(xiàng).【詳解】，當(dāng)，；當(dāng)或時(shí)，．故的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)分別為，，則，，所以．故選：C11．（2020·全國(guó)）若函數(shù)在上可導(dǎo)，且，則（）A． B．C． D．以上答案都不對(duì)【答案】C【分析】由已知等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，取，求出的值，利用二次函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性即可解決問題．【詳解】，,,,，圖象為開口向上的拋物線，其對(duì)稱軸方程為：，.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，求出的值是關(guān)鍵，屬于中檔題．12．已知函數(shù)的圖象在(1，f（1）)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則函數(shù)y=f(x)的最小值為（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，從而可得，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性即可求出最值.【詳解】函數(shù)，則且，所以，所以，解得，所以，（），令，即，解得，令，即，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以.故選：C13．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在內(nèi)的極小值有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)極小值點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性是先減后增，對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)值是先負(fù)后正，結(jié)合圖象即可求得結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)闃O小值點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性是先減后增，對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)值是先負(fù)后正，由圖得：導(dǎo)函數(shù)值先負(fù)后正的點(diǎn)有1個(gè)．所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1．故選：．14．（2020·全國(guó)高三其他模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且是偶函?shù)，（為的導(dǎo)函數(shù)）.若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)函數(shù)，求得時(shí)，，得到當(dāng)時(shí)，，得到函數(shù)的單調(diào)性，把任意的，恒成立，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】由為偶函數(shù)，得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以由?duì)任意的，恒成立，可得，即，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.15．（2020·六安市城南中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為1，2，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．在區(qū)間的最大值為0C．有2個(gè)零點(diǎn) D．的極大值是正數(shù)【答案】B【分析】由是導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求得，可判定A錯(cuò)誤；代入導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得因?yàn)槭菍?dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，可得，其中，可得，所以，故A錯(cuò)誤；所以函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，在上遞減，且，故在的最大值是，所以B正確；函數(shù)的大致圖象，如圖所示，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故C不正確，D不正確.故選：B.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）的方法：（1）當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí)，解不等式或，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)方程可解時(shí)，解出方程的實(shí)根，依照實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分為幾個(gè)區(qū)間，確定各區(qū)間的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程、不等式都不可解，根據(jù)結(jié)構(gòu)特征，利用圖像與性質(zhì)確定的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間.16．（2020·湖北荊州市·高三月考）設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】把不等式成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，得出恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】因?yàn)?，不等式成立，即成立，即，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，則不等式恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.17．（2020·全國(guó)高三其他模擬）已知函數(shù).若方程在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】把方程在區(qū)間上有解，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線在圖象的上方，故當(dāng)時(shí)，，由方程在區(qū)間上有解，可得在區(qū)間上有解，令，，則，因?yàn)椋?，則由，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故先：C.【點(diǎn)睛】含參數(shù)的方程有解問題的處理方法常常是分參數(shù)法，通常將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，對(duì)于分子?分母都有對(duì)數(shù)式的式子的求導(dǎo)，常常需要變形，分離出常數(shù)，如本題中的函數(shù)，直接求導(dǎo)比較繁瑣，可變形轉(zhuǎn)化為，再求導(dǎo)就比較簡(jiǎn)單.二、多選題18．已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），的圖像在上有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值可能是（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由函數(shù)，的圖像在上有兩個(gè)交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象和選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，的圖像在上有兩個(gè)交點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，即方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根．設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，又由，且當(dāng)時(shí)，，故可由此作出的大致圖像，如圖所示，則由圖像可知，解得，結(jié)合選項(xiàng)可知A，B符合題意.故選：AB.【點(diǎn)睛】函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.19．已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．存在唯一極值點(diǎn)，且B．恰有3個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)D．若且，則【答案】ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定，可判定A正確；利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在，單調(diào)遞減，進(jìn)而得到函數(shù)只有2個(gè)零點(diǎn)，可判定B不正確；由，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判定C正確；由，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合單調(diào)性，可判定D正確.【詳解】由函數(shù)，可得，則，所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)，又由，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以A正確；由函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，可得，因?yàn)椋?，函?shù)在單調(diào)遞減；又由，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，可得，因?yàn)?，所以，函?shù)在單調(diào)遞減；又由，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上可得函數(shù)在定義域內(nèi)只有2個(gè)零點(diǎn)，所以B不正確；令，即，即，設(shè)，，可得，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，又由，可得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由，因?yàn)椋瑒t，且過原點(diǎn)的直線，結(jié)合圖象，即可得到函數(shù)和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以C正確；由，若時(shí)，因?yàn)?，可得，即，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以，即，同理可知，若時(shí)，可得，所以D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.20．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．函數(shù)在上有極小值C．方程在上只有一個(gè)實(shí)根D．方程在上有兩個(gè)實(shí)根【答案】ABD【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，可判定A，由函數(shù)的單調(diào)性和極值的概念，可判定B，利用函數(shù)的單調(diào)性，極值、端點(diǎn)的函數(shù)值，可判定C；將非常的解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象，可判定D，即可得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，當(dāng)，即，所以，所以，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即，所以，所以，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以A正確；又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在出取得極小值，所以B正確；因?yàn)椋栽谏喜恢挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)根，所以C不正確；因?yàn)榉匠?，即，即，所以，正切函?shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，又由函數(shù)，可得，當(dāng)和時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，作出兩函數(shù)的大致圖象，如圖所示，由圖象可得，當(dāng)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）的方法：（1）當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí)，解不等式或，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)方程可解時(shí)，解出方程的實(shí)根，依據(jù)實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分為幾個(gè)區(qū)間，確定各區(qū)間的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程、不等式都不可解，根據(jù)結(jié)構(gòu)特征，利用圖像與性質(zhì)確定的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間.第II卷（非選擇題）三、解答題21．已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)于任意的均有恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求得，分和兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可求解；（2）取代入不等式求得，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，又由，?dāng)時(shí)，可得，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，即，解得或（舍去），此時(shí)當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.（2）取代入不等式，可得，解得，下面證明：當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，其中，則，因?yàn)?，可得，函?shù)單調(diào)遞增，可得，令，，可得，當(dāng)時(shí)，可得，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即實(shí)數(shù)a的取值范圍.【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.22．（2020·全國(guó)高二單元測(cè)試）已知函數(shù)．（1）如果是關(guān)于的不等式的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）判斷在和的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（3）證明：函數(shù)f（x）存在零點(diǎn)，使得成立的充要條件是a．【答案】（1）；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，理由見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，得到，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）由，求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求解；（3）由，求得成立，由（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.【詳解】（1）由是關(guān)于的不等式的解，所以，解得.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（2）由，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）函數(shù)存在零點(diǎn)，使得成立的充要條件是，所以成立，根據(jù)無(wú)窮等比數(shù)列相關(guān)性質(zhì)，且，由（2）可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，反之亦然.23．已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，求證：在上有唯一零點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）求得導(dǎo)數(shù)，得到和，進(jìn)而求得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）由求得，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，和時(shí)，，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得，則，又由，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2）由，可得，令，可得，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以在上有唯一零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．24．已知函數(shù)().（1）討論函數(shù)的單調(diào)性（2）若函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，求證：().【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，得到在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，求得導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求得，化簡(jiǎn)，設(shè)()，求得，設(shè)，得到在上單調(diào)遞增，得出當(dāng)時(shí)在上有唯一的零點(diǎn)，得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義城為，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，可得，令，得，①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，單調(diào)遞增，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，單調(diào)遞增，（2）若函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則，得，即，則，設(shè)()，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，又，，所以當(dāng)時(shí)在上有唯一的零點(diǎn)，不妨設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，所以恒成立，即()恒成立.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）直接構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)；25．當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)對(duì)任意，恒成立，求的表達(dá)式；（2）討論關(guān)于x的方程解的個(gè)數(shù).【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值得出，得到，設(shè)，根據(jù)，轉(zhuǎn)化為恒成立，求得，再根據(jù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值，得到，進(jìn)而求得解析式；（2）由方程，化簡(jiǎn)得到，令，得到，設(shè)，求得，分和，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與極值，以及零點(diǎn)的存在性定理，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可設(shè)，則，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，又因?yàn)椋?，設(shè)，因?yàn)?，所以在上恒成立所以在上恒成立，所以，解得，所以，又由，可得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，所以，綜上（2）由方程，整理可得，即，可得，令，可得，即，設(shè)，可得，①當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)單調(diào)遞減，又由，所以此時(shí)函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程只有一個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)可得，令，則，（i）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得，即，此時(shí)單調(diào)遞增，又由，所以此時(shí)函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程只有一個(gè)零點(diǎn).（ii）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)，即方程有兩解，且，不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)，函數(shù)取得極小值，又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以在上有唯一的解；因?yàn)闀r(shí)，當(dāng)時(shí)，可得所以且，解得，所以在上恰有一根，所以可得函數(shù)在上恰有三根，綜上可得，當(dāng)或時(shí)，方程恰有一根；當(dāng)時(shí)，方程恰有三根.【點(diǎn)睛】求解有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)問題的常用方法與策略：1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.26．設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（1）討論的單調(diào)性（2）若，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求得的定義域和，結(jié)合定義域和導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求解；（2）由，求得，得到，根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性，求得，令，得到，利用累加法，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，其中函數(shù)的定義域?yàn)椋傻?，令，可得或，因?yàn)闀r(shí)，當(dāng)，，當(dāng)，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由題意，函數(shù)且可得，，因?yàn)?，可得，解得?舍去)，故由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)函數(shù)取得最小值，最小值，即，即，對(duì)于任意恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，則整理得，所以.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）直接構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).27．討論函數(shù)的極值；（2）若，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，，且.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，極大值為，無(wú)極小值；（2）證明見解析.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)和極值的概念，即可求解.（2）由，求得，得出存在唯一使得，得到在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，再由零點(diǎn)的存在性定理，得到在內(nèi)存在唯一實(shí)根，是在上的唯一零點(diǎn)，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無(wú)極值；若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)有極大值，無(wú)極小值.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值為，無(wú)極小值.（2）因?yàn)椋傻?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增.又由，，故存在唯一使得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以在?nèi)存在唯一實(shí)根.由，可得，又由，故是在上的唯一零點(diǎn)，記作，則，綜上，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，，且.【點(diǎn)睛】解決函數(shù)極值、最值綜合問題的策略：1、求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小；2、求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過比較才能下結(jié)論；3、函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較才能確定最值.28．，.（1）若存在實(shí)數(shù)使得恒成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）由在上恒成立，得到，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，列出不等式，即可求解；（2）（ⅰ）當(dāng)時(shí)，結(jié)合和的取值，得出函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn).（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，求得，令，求得，分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，（其中），要使在上恒成立，可得，又由，令，解得，即函數(shù)在單調(diào)遞增，令，解得，即函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，要使得，可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）由函數(shù)和.（ⅰ）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，可得，，所以恒大于零，函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可得，，可得恒小于零，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，可得，所以函數(shù)由一個(gè)零點(diǎn)，綜上可得，當(dāng)時(shí)，在只有1個(gè)零點(diǎn).（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，則，可得，令，可得，因?yàn)?，所以恒成立，在單調(diào)遞增，①由，即時(shí)，可得在上恒小于零，在上恒大于零，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，在只有個(gè)零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，，由于在單調(diào)遞增，所以在上恒小于零，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以在上有唯一零點(diǎn).又因?yàn)?，所以存在，使得，由于在單調(diào)遞增，，，所以在在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以，又因?yàn)?，，，所以，由，，知在上有唯一零點(diǎn)，結(jié)合在單調(diào)遞增，在上有唯一零點(diǎn)，又，時(shí)，在上有個(gè)零點(diǎn)綜上所述，當(dāng)或時(shí)，在只有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.29．已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)，對(duì)任意均有求的取值范圍．注：e=2．71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．【答案】．【分析】把轉(zhuǎn)化為，令，設(shè)，分和兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】由，即，解得，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，則，設(shè)，則，（i）當(dāng)時(shí)，，則．記，則，可得與的關(guān)系，如下表所示：10+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以．因此，．（ii）當(dāng)時(shí)，，令，則，故在上單調(diào)遞增，所以．由（i）得，，所以，因此．由（i）（ii）知對(duì)任意，，即對(duì)任意，均有，綜上所述，所求a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．30．若無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)?，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）分和兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可求解；（2）設(shè)，得到，轉(zhuǎn)化為，令，得到，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，則，①若，令，即，解得，此時(shí)函數(shù)有唯一零點(diǎn)；②若，令，即，解得，在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)，故在區(qū)間上，的極大值為，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故由題意得，即，可得，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）因?yàn)橛袃蓚€(gè)相異零點(diǎn)?，設(shè)，則，，可得，，則，，要證，只需，即，由，即，只需，即令，則，于是，即為，設(shè)函數(shù)，可得故函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，即.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）直接構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)；31．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).（1）求證：當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)實(shí)數(shù)k使得對(duì)恒成立，求k的最大值.【答案】（1）證明見詳解；（2）【分析】（1）構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明命題成立.（2）對(duì)k進(jìn)行討論，利用新函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)k的取值范圍.【詳解】（1）證明：，令，則，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，所以，，即當(dāng)時(shí)，.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，并非對(duì)恒成立，綜上可知，k的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立，解題的關(guān)鍵是由（1）確定當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，考查了運(yùn)算求解能力.32．（2020·全國(guó)）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值.【答案】（1）答案見解析；（2），.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，得到，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得，若，由，可得；由，可得，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；若，由，可得；由，可得，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，可得，則，由，即，解得或，當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：-0+0-遞減極小值遞增極大值遞減所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值.33．已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率等于，其中…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.（1）若，當(dāng)時(shí)，證明：；（2）若，證明：有兩個(gè)極值點(diǎn)，在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，且.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，得出關(guān)于的方程，求出的值，得出函數(shù)的解析式，結(jié)合單調(diào)性與最值，即可證得結(jié)論；（2）令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，求出，得到，從而證明結(jié)論成立.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得所以，所以，當(dāng)，則函數(shù)，由，可得，即證，設(shè)，因?yàn)椋O(shè)，則，因此在上單調(diào)遞增，所以，因此在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.（2）令，則所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以由于，所以又因?yàn)?，，所以有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為所以當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增；又因?yàn)?，所以函?shù)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，且在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，，可得，，所以，令，，則.所以在上單調(diào)遞增，所以，因此，即，所以.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）直接構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)；34．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.（1）求a的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)相異實(shí)根，令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，根據(jù)的最值和圖象確定a的取值范圍；

不妨設(shè),將要證不等式轉(zhuǎn)化為，由題意得,兩式相加減后再消去得到關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明，令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性進(jìn)而可證明.【詳解】(1)有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)相異實(shí)根．令，則

由得：，由得：，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（2）不妨設(shè),由題意得,，,，要證：，只需證.

，

令，，只需證

，只需證：.令,，在遞增，成立.

綜上所述，成立．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查不等式的證明，考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力，屬于常規(guī)題目．關(guān)鍵難點(diǎn)是（2）中的消元換元轉(zhuǎn)化為，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明.35．求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：對(duì)任意的，都有.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得，，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；（2）由（1）求得，得到在上單調(diào)遞增，根據(jù)，得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得定義域?yàn)?，則，可得，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）由（1）知，可得，所以在上單調(diào)遞增，又由，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，即對(duì)任意的，都有.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）直接法：證明或，可直接轉(zhuǎn)化為或；（2）直接構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（3）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（4）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).36．若，求的極值；（2）若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極小值為，沒有極大值；（2）.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，即可求解；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）若，則，定義域?yàn)椋傻?令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以的極小值為，沒有極大值.（2）由，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有(等號(hào)不同時(shí)成立)，即，所以原不等式又等價(jià)于，要使得對(duì)任意，都有成立，即，令，，則，當(dāng)時(shí)，，可得，所以在上為增函數(shù)，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.37．已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且.證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)符號(hào)，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，求得函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意，得出，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)定義域?yàn)?，可得，①?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)，則的定義域?yàn)椋傻糜捎袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，且，則方程的判別式，且，得，且，所以設(shè)，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，從而，即.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）直接構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)；38．當(dāng)時(shí)，令函數(shù)，若不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）令，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的極小值為，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）把不等式在區(qū)間上有解，轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解.（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合題意，列出方程，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，不等式在區(qū)間上有解，則，由，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）由，可得，，當(dāng)時(shí)，，∴，令，則或，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為，由題設(shè)知，，即，因?yàn)椋?，解?【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.39．（Ⅰ）令，討論的單調(diào)性并求極值；（Ⅱ）令，若有兩個(gè)零點(diǎn)；（i）求a的取值范圍；（ii）若方程有兩個(gè)實(shí)根，，且，證明：【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值；（Ⅱ）（i）；（ii）證明見解析.【分析】（Ⅰ）求出即可表示出，再求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求極值；（Ⅱ）（i）求出，分類討論，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性可知要使有兩個(gè)零點(diǎn)，即使，得；（ii）利用換元法將等式有兩個(gè)實(shí)根轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，，進(jìn)一步將所需不等式轉(zhuǎn)化為證，需證，再次利用換元法令將所需證不等式轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)證明上述不等式即可.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)樗裕瑒t，x2負(fù)0正單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為極小值為，無(wú)極大值.（Ⅱ）（i）有兩個(gè)零點(diǎn).因?yàn)棰佼?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，令，得，單調(diào)遞減；令，得，單調(diào)遞增.所以要使有兩個(gè)零點(diǎn)，即使，得，又因?yàn)?，，所以在存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，且，，所以在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，符合題意.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).法二：有兩個(gè)零點(diǎn).等價(jià)于時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根，（1）令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；，，，，.要使（1）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即使，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（ii）有兩個(gè)實(shí)根，令，有兩個(gè)零點(diǎn)，，，所以，所以（1）（2）要證，只需證，即證，所以只需證.由（1）（2）可得，只需證.設(shè)，令，則，所以只需證，即證令，，則，，即當(dāng)時(shí)，成立.所以，即，即.40．求的最小值；（2）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性；（3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖像與的圖像有，兩個(gè)不同的交點(diǎn)，證明：.【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而求得最小值；（2）求出的表達(dá)式并求導(dǎo)，通分，分解因式，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的不同情況對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系討論的單調(diào)性；（3）由題意可得有兩個(gè)不同的根，則①，②，消去參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性并利用放縮法推出，再次構(gòu)造函數(shù)，通過證明來(lái)證明.【詳解】解：（1）.令，得，所以在上單調(diào)遞增；令，得，所以在上單調(diào)遞減.所以的最小值為.（2），定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)通減.當(dāng)時(shí).令，得，所以在，上單調(diào)遞增；令，得，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，得，所以在，上單調(diào)遞增；令，得，所以在上單調(diào)遞減.（3），因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).所以關(guān)于的方程，即有兩個(gè)不同的根.由題知①，②，①②得③，②①得④.由③，④得，不妨設(shè)，記.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以.則，即，所以.因?yàn)椋?，?令，則在上單調(diào)遞增.又，所以，即，所以.兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，和含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.難點(diǎn)一：（2）中根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)情況分類討論；難點(diǎn)二：（3）中的由得到通過變形成，消去并得到關(guān)于要證不等式不等號(hào)左邊的關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而整理為由表達(dá)的形式，利用換元得到關(guān)于單變量t的函數(shù)表達(dá)式.41．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）若有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：在（2）的條件下．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．【分析】（1）求得，得到和，結(jié)合點(diǎn)斜式，即可求解；（2）求得，分和兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求解；（3）由函數(shù)零點(diǎn)的定義化簡(jiǎn)得到，要證，即證，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得，則，即函數(shù)的圖象在處的切線的斜率為，且，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為.（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若時(shí)，，在上單調(diào)遞增，函數(shù)最多一個(gè)零點(diǎn)；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由函數(shù)有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，可得，所以.（3）由（2）知，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，由，可得，于是，所以，令，可得，于是，所以，要證，即證，由，即證，設(shè)，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）直接構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)；42．（2020·全國(guó)高二單元測(cè)試）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的零點(diǎn)，以及曲線在處的切線方程；（2）設(shè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求證：．【答案】（1），切線方程為和；（2）證明見解析．【分析】（1）由，求得，得到函數(shù)的零點(diǎn)，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得曲線在處的切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)（1）得到當(dāng)時(shí)，，結(jié)合分析法，即可作出證明.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，令，得，所以函數(shù)的零點(diǎn)，又由，可得，，所以曲線在處的切線方程為．又由，所以曲線在處的切線方程為．（2）由（1）知，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，由（1）知，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．下面證明：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，由，即，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，所以對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，．由，可得，記，不妨設(shè)，則，所以，要證，只需證，即證，又因?yàn)椋恍枳C，即，因?yàn)?，所以，所以只需證，令，則．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）直接構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)；43．（2020·湖南高三月考）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（1）證明：.（2）若是的極值點(diǎn)，且.若，且.證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求得導(dǎo)數(shù)，利用，求得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.（2）由（1）得到，令，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值，得到，使得，設(shè)，求得的解析式，令，進(jìn)而得到的單調(diào)性，得到在上單調(diào)遞增，結(jié)合單調(diào)性，得出，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，所以，則，解得，故.令，則.由，解得；由，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即.（2）由（1）可知，則，設(shè)，則，由，得；由，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，因?yàn)椋?，所以，使得，即，因?yàn)?，所以由，得，則在上單調(diào)遞減.設(shè)，則.設(shè)，則.因?yàn)椋沂菧p函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以，則在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以，即，?因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，，且在上單調(diào)遞增，所以，即.因?yàn)?，所以，所以，所?【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）直接構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)；44．（2020·北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)函數(shù)①若在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；②若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，．證明：．【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）①，②證明見解析.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，得出，結(jié)合點(diǎn)斜式，即可求解；（2）求得，分和兩種情況討論，即可求解；（3）求得，①若在區(qū)間上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為任意恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，即可求得的取值范圍；②由存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則為方程的兩個(gè)根，轉(zhuǎn)化為為函數(shù)與的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用和為方程的兩個(gè)根，求得，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得，則切線的斜率，所以切線的方程為，即，即曲線在點(diǎn)處的切線方程.（2）由函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，可得，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為時(shí)，遞增區(qū)間.（3）由，可得，①若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則任意恒成立，所以任意恒成立，即任意恒成立，所以只需即可，令，可得，令，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞間，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.②證明：若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則為方程的兩個(gè)根，所以為方程的兩個(gè)根，即為方程的兩個(gè)根，即為方程的兩個(gè)根，令，可得為函數(shù)與的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由①知，函數(shù)在上單調(diào)遞減時(shí)，，反之函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則因?yàn)闉榉匠痰膬蓚€(gè)根，所以，兩式相減得，又因?yàn)樗?，由，可得，?【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.45．（2020·沙坪壩區(qū)·重慶南開中學(xué)高三月考）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類，和，三種情況討論，即可求解.（2）當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，由（1）得到，，把不等式，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，令，即，解得或；令，即，解得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，由（1）可知在單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，所以，即，即對(duì)任意的成立，所以在單調(diào)遞減，則，即對(duì)恒成立，令，可得，令，即，解得，令，即，解得或，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.46．（2020·沙坪壩區(qū)·重慶八中高三月考）已知.（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時(shí)，，求a的取值范圍.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)是的極值點(diǎn)，求得，得到，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，把不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，解得，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)椋?，則，從而，時(shí)，，則此時(shí)，可得，即，令，則，①當(dāng)時(shí)，由，則，從而時(shí)，，于是在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，得，從而當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，不符合題意.綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.47．（2020·河南鄭州市·高三月考（文））已知函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的極值；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，若不等式對(duì)任意恒成立，求的最小值．【答案】（1）答案見解析；（2）．【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)和兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值定義，即可求解.（2）把不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再令，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得（），當(dāng)，即時(shí)，令，得；令，得，所以在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，）內(nèi)單調(diào)遞減，故在處取得極大值，且極大值為，無(wú)極小值．當(dāng)，即時(shí)，令，得；令，得或，所以在區(qū)間（0，）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，）內(nèi)單調(diào)遞減，故在處取得極大值，且極大值為，在處取得極小值，且極小值為．當(dāng)，即時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減，無(wú)極值．當(dāng)，即時(shí)，同理可得在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（，）內(nèi)單調(diào)遞減，故在處取得極小值，在處取得極大值．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的極小值為，極大值為；當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，的極小值為，極大值為；當(dāng)時(shí)，的極大值為，無(wú)極小值．（2），設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以在（0，1）上單調(diào)遞增．又，，所以，使得，即，．當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)在（0，）內(nèi)單調(diào)遞增，在（，1）內(nèi)單調(diào)遞減，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，又，所以的最小值是．【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.48．（2020·河南高三期中（理））已知函數(shù)，，其中，均為實(shí)數(shù)．（1）試判斷過點(diǎn)能做幾條直線與的圖象相切，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)，若對(duì)任意的，（），恒成立，求的最小值．【答案】（1）2條，理由見解析；（2）.【分析】（1）設(shè)切線方程為，切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和斜率公式，得到方程所以得，根據(jù)方程顯然有兩個(gè)不等的實(shí)根，即可作出判定；（2）把不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）設(shè)過點(diǎn)與圖象相切的直線方程為，切點(diǎn)為，由函數(shù)，可得，則，所以得，因?yàn)椋朔匠田@然有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以過點(diǎn)能做2條直線與的圖像相切．（2）當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)樵诤愠闪ⅲ栽谏蠟樵龊瘮?shù)，設(shè)，所以在恒成立，所以在上為增函數(shù)，設(shè)，則等價(jià)于，即，設(shè)，則在為減函數(shù)，∴在上恒成立，∴恒成立．設(shè)，∵，，∴，∴，為減函數(shù)，∴在上的最大值為，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.49．當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對(duì)于恒成立