高考數(shù)學(xué)專題《基本不等式及其應(yīng)用》習(xí)題含答案解析

專題2.2基本不等式及其應(yīng)用練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·曲靖市第二中學(xué)高三二模（文））已知，，則的（）A．最大值是 B．最大值是C．最小值是 D．最小值是【答案】B【解析】由題意得，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；【詳解】因?yàn)?，所以，所以，等號成立?dāng)且僅當(dāng).故選：B.2．（2021·山東高三其他模擬）已知均為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】取可得由推不出，反過來，由基本不等式可得由能推出，然后可選出答案.【詳解】取，則，但，所以由推不出，反過來，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以由能推出，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：C3．（2021·吉林長春市·東北師大附中高三其他模擬（文））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積是，則的三個(gè)內(nèi)角大小為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由的面積是，利用面積公式及基本不等式判斷出，由b=c得.【詳解】因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號）.而的面積是,所以，即，所以，因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，所以.又因?yàn)閎=c，所以.故選：B4．（2021·浙江高三月考）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】運(yùn)用三角代換法，結(jié)合二倍角的正弦公式、正弦型函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，令，因此，因?yàn)?，所以，因此的最小值是，故選：D5．（2021·北京高三二模）某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，若每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤s(萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間t(年數(shù)，)的關(guān)系為，要使年平均利潤最大，則每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的年數(shù)t為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】根據(jù)題意求出年平均利潤函數(shù)。利用均值不等式求最值.【詳解】因?yàn)槊颗_機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤s(萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間t(年數(shù)，)的關(guān)系為，所以年平均利潤當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即年平均利潤最大，則每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的年數(shù)t為8，故選：D6．（2021·四川成都市·高三三模（文））已知函數(shù)，恒過定點(diǎn)，過定點(diǎn)的直線與坐標(biāo)軸的正半軸相交，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】求出，代入直線方程，再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】令，即，得，則，則且，，由．當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號成立，故選：C7.【多選題】（2021·福建南平市·高三二模）已知，，，則下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由、結(jié)合條件等式可判斷A、B，由結(jié)合條件等式可判斷C、由結(jié)合條件等式可判斷D.【詳解】對于A，B，由，，利用基本不等式，可得，解得，又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立），而，所以，所以，故B正確，A錯(cuò)誤：對于C，由，，利用基本不等式，變形得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立），解得，即，故C正確；對于D，由，，利用基本不等式化簡得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立），解得，故D錯(cuò)誤；故選：BC8．【多選題】（2021·河北高三三模）已知正數(shù)滿足，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】A：由條件等式得，結(jié)合基本不等式即可判斷正誤；B：由題設(shè)及A得，令有即可判斷正誤；C：結(jié)合A，易得，由基本不等式即可判斷正誤；D：通過基本不等式證，進(jìn)而可判斷D的正誤.【詳解】A：由，又，得，所以，正確；B：由，當(dāng)時(shí)有，此時(shí)，錯(cuò)誤；C：由，所以，正確；D：由，所以，正確.故選：9．【多選題】（2021·遼寧高三一模）已知，且，則下列不等式正確的（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】利用基本不等式證明判斷．【詳解】因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，A正確；由得，，同理，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，B正確；滿足題意，但，C錯(cuò)；由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，所以．D正確．故選：ABD10．（2021·天津高三二模）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______．【答案】10【解析】先把整理為，對，利用基本不等式求出最小值，即可求出的最小值.【詳解】∵正實(shí)數(shù)，滿足，∴（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號）∴.故答案為：10.練提升練提升TIDHNEG1．（2021·江蘇高三三模）在正方形中，為兩條對角線的交點(diǎn)，為邊上的動點(diǎn).若，則的最小值為（）A．2 B．5 C． D．【答案】C【解析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，求出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，然后設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入已知關(guān)系式，即可求出，的關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式即可求解．【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，則，，，，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由，可得，，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)的最小值為，故選：C2．（2021·河北保定市·高三二模）已知圓弧與函數(shù)和函數(shù)的圖象分別相交于，，其中且，則的最小值為（）A． B． C． D．4【答案】B【解析】由函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)可得，然后可得，然后利用基本不等式的知識求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，所以關(guān)于對稱所以因?yàn)?，在圓弧上所以，所以所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立故選：B3．（2021·四川達(dá)州市·高三二模（理））已知是圓上的點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A． B．最大值是C． D．【答案】C【解析】根據(jù)基本不等式，可得判定A、B不正確；根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)，可判定C正確，D不正確.【詳解】根據(jù)題意，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，可得，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以A不正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，即最小值是，所以B不正確；由，可得，則，又由，所以，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得成立，所以C正確；由，又由，因?yàn)?，可得符合不確定，所以和大小不確定，所以D不正確.故選：C.4．（2021·江西上饒市·高三三模（理））己知A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過原點(diǎn)O），且，則的最小值為（）A．10 B．9 C．8 D．4【答案】C【解析】先根據(jù)三點(diǎn)共線，求出，利用基本不等式求最值.【詳解】因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過原點(diǎn)O），且，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立．故選：C5．（2021·浙江高三三模）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)已知等式把代數(shù)式進(jìn)行變形為，再結(jié)合已知等式，利用基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因此，因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即時(shí)取等號，即時(shí)取等號），故選：A6．【多選題】（2021·福建廈門市·高三三模）已知正數(shù)，滿足，則（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】利用基本不等式證明不等式，判斷選項(xiàng)AC的正誤；利用，根據(jù)選項(xiàng)BD分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和最值情況來判斷選項(xiàng)BD的正誤.【詳解】正數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故A錯(cuò)誤；由知，，構(gòu)造函數(shù)，則，故時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，故時(shí)，有，B正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，而，所以，C正確；由知，，構(gòu)造函數(shù)，則，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知單調(diào)遞增，又，故時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.故，即，D正確.故選：BCD.7．【多選題】（2021·長沙市·湖南師大附中高三二模）關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題，其中正確的命題有（）A．的圖象關(guān)于軸對稱B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緼D【解析】對于A，B，先求出函數(shù)的定義域，然后判斷函數(shù)的奇偶性，從而可得結(jié)論；對于C，分別求解和，若相等，則的圖象關(guān)于直線對稱，否則的圖象不關(guān)于直線對稱；對于D，利用基本不等式判斷即可【詳解】由題意知的定義域?yàn)椋谊P(guān)于原點(diǎn)對稱.又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，所以A正確，B錯(cuò)誤.因?yàn)?，，所以，所以函?shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，C錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，所以的值域?yàn)?，所以D正確.故選：AD8．【多選題】（2021·江蘇高三其他模擬）若非負(fù)實(shí)數(shù)，，滿足，則下列說法中一定正確的有（）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最大值為【答案】ACD【解析】由已知條件結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論，即可作出判斷．【詳解】對于A，由，，，得，兩邊同時(shí)加上，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以A正確.對于B，易得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，所以B不正確.對于C，由，兩邊同時(shí)加上，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以C正確.對于D，易得，令，，所以，記，，利用導(dǎo)數(shù)易求得，所以D正確.故選：ACD9．（2021·山東高三二模）最大視角問題是1471年德國數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點(diǎn)B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為___________米時(shí)看A，B的視角最大.【答案】【解析】根據(jù)題意，，分別求得，表達(dá)式，即可求得表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，即可得答案.【詳解】過C作，交AB于D，如圖所示：則，設(shè)，在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以取最大值時(shí)，最大，所以當(dāng)離此樹的水平距離為米時(shí)看A，B的視角最大.故答案為：10．（2021·山東高三其他模擬）從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中，并加以解答.問題：在中，分別為內(nèi)角的對邊，若，_________，求的周長的最大值.注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】答案見解析.【解析】若選條件①，由正弦定理、兩角和的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得的值，由此求得，利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，從而求得三角形的周長的最大值.若選條件②，利用余弦定理求得的值，進(jìn)而求得，利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，從而求得三角形的周長的最大值.若選條件③，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、余弦定理求得的值，進(jìn)而求得，利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，從而求得三角形的周長的最大值.【詳解】若選條件①，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，所以，整理得，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以周長的最大值為.若選條件②，因?yàn)?，所以，整理得，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以周長的最大值為.若選條件③，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，由余弦定理得，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以周長的最大值為.練真題練真題TIDHNEG1．（2019年高考浙江卷）若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.2．【多選題】（2020·海南高考真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識進(jìn)行求解.【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C不正確；對于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故D正確；故選：ABD3．（山東省高考真題）定義運(yùn)算“”：（）.當(dāng)時(shí)，的最小值是.【答案】【解析】由新定義運(yùn)算知，，因?yàn)?，，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值是.4．（2020·天津高考真題）已知，且，則的最小值為_________．【答案】4【解析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.【詳解】，,，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)取等號，結(jié)合,解得，或時(shí)，等號成立.故答案為：5．（2020·江蘇高考真題）已知，則的最小值是_______．【答案】【解析】根據(jù)題設(shè)條件可得，可得，利用基