偏微分方程的三類邊界條件-Read

偏微分方程的三類邊界條件：第一類邊界條件(Drichlet條件)：在邊界上指定場函數(shù)的分布形式，即S第二類邊界條件（Neumann條件：在邊界上指定場函數(shù)沿邊界外法線方向的偏導(dǎo)數(shù)，即：nq 或(nxS

n

nz

)qS其中n、n、n 為邊界外法向的方向余弦，q為定義在邊界上的已知函數(shù)。x y z第三類邊界條件（Robbin條件混合邊界條件：在邊界上指定場函數(shù)本身以及場函數(shù)沿邊界外法線方向的偏導(dǎo)數(shù)的線性組合，即(hk ) fnn其中h2kn

S0，當(dāng)h=0fqkn

，為第二類邊界條件；當(dāng)kn

0時，fh,為第一類邊界條件。（算式來表示的解，因而通常使用其得數(shù)值解（某些離散節(jié)點上的解）代替（詳見《有限元方法概論》第三章）將給定求解域（在我們的應(yīng)用中可以將其認為是個空間區(qū)域）限個單元（二維的單元通常為矩形或三角形，三維為立方體或四面體）的集合：用有限元在給定域中劃分有限元網(wǎng)格（網(wǎng)格由單元的頂點和邊構(gòu)成；將結(jié)點（頂點與單元編號；形成解此問題所需的幾何性質(zhì)。推導(dǎo)網(wǎng)格中所有典型單元的單元方程式：對典型單元建立給定微分方程的變分方程式假定因變量u具有以下形式una ，i ii1并將其代入前面的變分方程式，獲得如下單元方程式：ke ue

Fe

；推導(dǎo)單元插值函數(shù)，并計算單元矩陣。其中單元近似函數(shù)的推導(dǎo)是先假u(x) c(e)(x)，然后i ii將此式代入單元邊界條件中（場函數(shù)梯度值，求出ci用邊界結(jié)點的場函數(shù)/場函數(shù)的梯度表示的表達式，再將ci

的表達式代回u(x)的表達式，對節(jié)點上場函數(shù)的系數(shù)進行歸并，獲得以節(jié)點上場函數(shù)u(e)/梯度值p(e)為未知系數(shù)，i iu(e)的系數(shù)為(e)(e)

u(e)(e)i i

i ii1為單元內(nèi)場函數(shù)的近似表達式。將單元方程式集合起來，獲得整個問題的方程式：法1：通過建立單元節(jié)點與整體節(jié)點之間的關(guān)系，將單元方程中的單元節(jié)點全部用整體節(jié)點表示，并通過補0的方式，將單位方程擴充為整體形式（擴充到系統(tǒng)方程的維數(shù)最后將經(jīng)過擴充的單位方程的整體形式相加，最終獲得整體方程。法2：N

(u(e))(e)＝0， 1e1T

T 其中I

(u(e))

u(e

K(e

u(e) u(e

F(e

（2）e i 2 i i i將（2）式代入（1）式得：nM

M ku(e)

F(e)

u(e)0e1i1

j

ij

i i利用單元節(jié)點與整體節(jié)點的關(guān)系將單元節(jié)點寫為整體節(jié)點以及Ui為變分可是任意值）即可推出系統(tǒng)方程。引入問題的邊界條件：

的系數(shù)應(yīng)全為0（因系統(tǒng)方程中的未知數(shù)一般有兩種：一種是節(jié)點處的場函數(shù)值（Ui

，另一類是節(jié)點處場函數(shù)的梯度值（pe。如不通過某種方法消去一些未知數(shù)，則系統(tǒng)方程不可解。第i點處一般可由物理意義推出，如此系統(tǒng)方程可解。解系統(tǒng)方程。后，我們可通過單元內(nèi)場函數(shù)的近似函數(shù)推出單元內(nèi)任意一點的場函數(shù)表達式。梯度定理grad(F)dxdydz

Fdxdydz

(

F)dxdydz

Fds

(n

jn

)Fds 散度定理

x y

x y zdiv(G)dxdydz

Gdxdydz

(GGy

)dxdydz

Gds(n

n

n

)dsxz x y zxz

x

y y z z其中表示區(qū)域的外表面上的外法向單位矢量，n＝cos(z,)z推論

＝cos(x,)，x

＝cos(y,)，yGdxdydzG)FdxdydzFGds (2F)GdxdydzFGdxdydzFGds n其中n

nnx

nx

n y zz關(guān)于二次二維偏微分方程的解研究對象：－(a

u

u)

u

u)

uf0x 11x

12y y

21x

22y 00變分公式推導(dǎo)：利用梯度定理以及等效積分法則可將上式化為： v

)

)a vu

ds0x

11x

12

21x

21

vf dxdyn(e)

(e)

(3)其中qn

n(a uax 11x

u)n(a y y 21

uxya21yn、nxy

為邊界上的法向量在x、y軸上的分量。設(shè)u u

其中

滿足： (x ,

)

(x,

)1j j j

i j

ij i j ji將u的表達式代入（3）式并將（3）式中的v用代替，得：in

j j

ij i

i(a

x

y)

x

y)a fdxdyuj1

(e)

11

y 21 21 00 i j i

j(e)

fdxdyi (e

qds0n i或

K(e)u(e)F(e) （4）j1其中K(e)

ij j i i(a j

ij) (a ja j)a f dxdyi ij (e)

11

12

y 21

21

00 i

i （5）F(e)

fdxdy

qds （6）i (e) i (e) n i插值函數(shù)：插值函數(shù)與單元的性質(zhì)有關(guān)，二維有限元分析中主要使用三角形單元或矩形單元。三節(jié)點三角形單元的差值函數(shù)：設(shè)u(x,y)c1

cxc2

yu的表達式必須滿足ui

u(x,yi

)c1

cx

cy

（5）其中u

代表三角形的三個頂點，節(jié)點逆時針編號。則可解出：ic 1 (x y1 2A 1 2 e

x y3

)u (x y2 3

xy1

)u (xy3 1

x y)2 1c 1 (y2 2A 1 e

y)u (y3 2

y)u(y1 3

y)2c 1 (x1 2A 1 e

x )u (x2 2

x )u (x3 3

x)1其中Ae

為三角形的面積2Ae

(xy2

xy3

)(xy31

xy1

)(xy1

xy)2 1將c的表達式代入式，可得三節(jié)點三角形得插值函數(shù)為：i1(e)i

2A e

xi

y) i=1,2,3 （6） xyi j k

xyk

y yi j

x xi k

ijk可將（5）式寫成四個基本矩陣S

與矩陣

之和：K(e)

S

S

S12Ta

S22

S11 12 21 22 00s11

i

dxdy s12

i

dxdy s22

i

dxdyij x

ij x

ij y ys

dxdyij i j令f(e)

fdxdy Q(e)

qdsi (e)

i (e) n i利用（6）式可計算出：1 1 1s11

s12

s22 ij 4A i

ij 4A i

ij 4A i js 1

)x

)yij 4A i

i j j

i j j i1AA12

(3 xii1

9x2)i j

A(3 xy12 i i1

9xy)(i j

)j i

A(12i1

y2y2i i

j2A fA因為i

xyi i 3

則f(e)i

從而由三角形三頂點坐標可獲得單元方程3邊界積分的計算：Q(e)

q(e)(e)(s)ds 當(dāng)(e)的一部分不與域的邊界重合時，此積分為。當(dāng)(e)的一i (e) n i部分與域的邊界重合時，在這部分(e)上一般q(e)和(e)(s為已知，此積分能夠計算。n i單位矩陣的組裝：系統(tǒng)系數(shù)矩陣K

的元素k

k(e)

（當(dāng)i，j、ij nmem為系統(tǒng)節(jié)點、j在單元e；kij

0（當(dāng)i、j不在一個單元內(nèi)時）系統(tǒng)方程的iFi

F(e)ne

(i為第i為第i個系統(tǒng)節(jié)點在單元e內(nèi)所對應(yīng)的單元節(jié)點號。)漫射方程有限元求解的過程穩(wěn)態(tài)漫射方程： y,zD2y,z

2y,z

2y,

Sx,y,za

2

2 Da

1's

' s s

1g邊界條件：y,z2y,z,n,y,zx,y,z0 y,z RAx,y,z,n,nR R1.4399n20.7099n10.66810.0636n測量方程： Q(x,y,z)Dv(x,y,z)x,y,z y,z y,z 2Ax,y,z,n,nB(a

D2)G2AD(V))y,y,

,y,z2,y,z

2y,z

2y,dxdydz a

x2

2

2 y,y,對上式分步積分得：x,y,zx,y,zDx,y,zx,y,z,

x,y,zx,y,z,

x,y,zx,y,z, a

x x y y z zDx,y,zx,y,z,n x

x,y,z,y n

x,y,z, z nz ds x,y,zSx,y,zdxdydz將邊界條件帶入上式得：y,y,Dx,y,zx,y,z,

y,zx,y,z,

y,zx,y,z,dxdydz a x x y y z z x,y,z

x,y,zds 2y,z,n,ny,y,將上式寫為x,y,zx,y,z

y,zx,y,x,y,z

y,z2Ax,y,z,n,ndsx,y,y,zx,x,y,在一個單元中令

y,zk kk1

y,z

其中k

為在單元的第k個節(jié)點上的值， 為單元的第k個插值函數(shù)。k在一個單元中令Sx,y,zNp1

sryz 其中元素定義同上ppx,y,z x,y,zl將上面三式代入得：x,y,zTx,y,z

D

dxdydz

x,y,z

y,zk

dse l

k a

k k

e l

2Ax,y,z,n,nkkke l

x,y,zNsrx,y,zdxdydzppp1將上式寫為：MeeFeSe其中 其中Meij e

x,y,zj

x,y,

Da

j

dxdydz e

x,y,zds bx,y,z

y,z

x,y,zj

e空集ei

iSesi

2Ax,y,z,n,n0否則Fe ij e

y,i

x,y,zdxdydz二維下三角形單元差值函數(shù)

x,y的推導(dǎo)：i設(shè)xyzc1

cxcy2 3節(jié)點逆時針編號則 c1

cx2

cy2 1 c2 c

cx2 cx

cy2 2cy3 1 2 3 2 3從上面三個方程可解得：c 1 (xy x

)(xyxy

)(xy xy)1 2A 1 2 3 3 e

2 3 1 1

3 1 2 2 1c 1 (

y)(y

y)(

y)2 2A 1 2 3e

2 3

3 1 2c 1 (

x )(

x)(x

x)1 2A 1 3 2e

2 1

3 2 1其中Ae

為三角形的面積2Ae

(xy2

xy3

)(xy31

xy1

)(xy1

xy)2 1將c的表達式代入，可得三節(jié)點三角形的插值函數(shù)為：i(ei

1 2A e

xy)i i

i= 1,2,3j= 2,3,1k= 3,1,2 xyi j k

xyk

y yi j

x xi k

ijk三角形面積積分的計算：(e))a(e))b(e))cdxdy2i j k

a!b!c!(abc

其中為三角形面積二維三角形單元矩陣的構(gòu)造： 對內(nèi)部單元，變分式中的邊界積分項為 xy)( x y) D i i i j j j a i j i jijeMeije

dxdy

bx,ydse

4A2

4Ae

e a i j

Di j

i

a i

j

x a i

j

ya i

x2j a i

y2j

i j j

xydxdyee

ds

4A2ea i j

Di j

i

a i

j

x a i

yj i4Ae 3

4Ae 3

4Ae 3 exa i j i i

9x2 a i

yj ii1

9y2 a i

xy 9xyj i i ii148A

48A

48Ae

e e edsFe i

xi

y)( xy)j j j dxdyij e

A2 ea x yei j i j j i i j j i 4A 4Ae e3

4Ae3

3 x2iji i1iji

9x2 i

yj ii1

9y2 i

xy9xyi i ii148Ae

48Ae

48Ae三維四面體單元插值函數(shù)的推導(dǎo)：設(shè)xyzc1

cxc2

ycz4節(jié)點的編號順序為從節(jié)點k看由i、j、m節(jié)點組成的三角形，節(jié)點i、j、m的排列為逆時針 c1 1

cx2

cy2

cz41 c2 1 c

cx2 cx

cy2 cy

cz4 2cz3 1 c4

2 3cx2

2 3cy2

4 3cz4 4