數(shù)學(xué)運(yùn)算的題型課件

數(shù)學(xué)運(yùn)算——文字應(yīng)用運(yùn)算江北煙雨人數(shù)學(xué)運(yùn)算綜述數(shù)學(xué)運(yùn)算的知識(shí)點(diǎn)繁雜，需要系統(tǒng)梳理，并且要明確考試目的——數(shù)學(xué)運(yùn)算題并不一定要把最后的答案算出來(lái)，而是要把正確答案“選”出來(lái)，因此，掌握做題的技巧十分重要。有時(shí)一道題按常規(guī)的方法“算”出來(lái)可能需要五六分鐘甚至更長(zhǎng)的時(shí)間，但把正確答案“選”出來(lái)只需要20秒鐘。數(shù)學(xué)運(yùn)算基本題型眾多，每一基本題型都有其核心的解題公式或解題思路，應(yīng)通過(guò)練習(xí)不斷熟練。在此基礎(chǔ)上，有意識(shí)培養(yǎng)自己的綜合分析能力，即在復(fù)雜數(shù)學(xué)運(yùn)算題面前，能夠透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)，挖掘其中深層次的等量關(guān)系。數(shù)學(xué)運(yùn)算包括數(shù)學(xué)計(jì)算題和文字應(yīng)用題兩個(gè)部分。文字應(yīng)用題型1、濃度問(wèn)題2、行程問(wèn)題3、年齡問(wèn)題4、工程問(wèn)題5、比例問(wèn)題6、利潤(rùn)問(wèn)題7、排列組合問(wèn)題8、極值問(wèn)題9、統(tǒng)籌問(wèn)題10、牛吃草問(wèn)題11、抽屜原理問(wèn)題12、幾何問(wèn)題13、星期日期問(wèn)題例題濃度為70%的酒精溶液500克與濃度為50%的酒精溶液300克，混合后所得的酒精濃度是多少?()A.62.5%B.60%C.54.2%D.34.5%【答案】A【解析】這是一個(gè)混合溶液的配置問(wèn)題。把兩種濃度不同的同種溶液混合在一起，混合溶液的濃度介于原來(lái)兩種溶液濃度之間，哪些量混合前后沒(méi)有變化呢?顯然，混合前兩種溶液中所含溶質(zhì)的質(zhì)量之和與混合后溶液中所含溶質(zhì)的質(zhì)量相等。同樣，溶劑、溶液的質(zhì)量在混合前后也都有與溶質(zhì)相同的規(guī)律。本題中要求混合后的溶液濃度，需知混合后溶液總重量及所含酒精的重量?；旌虾笕芤嚎傊亓?，即為兩種溶液重量之和，混合后酒精的含量也等于混合前兩種溶液所含酒精質(zhì)量之和?；旌虾缶凭芤褐亓繛椋?00+300=800(克)混合后酒精含量為：500×70%+300×50%=350+150=500(克)混合液濃度為：500÷800=0.625=62.5%。實(shí)用解法濃度問(wèn)題常用經(jīng)典解法就是十字相乘法!具體說(shuō)明如下：一杯溶液，有2個(gè)不同的溶質(zhì)，部分個(gè)體取值為A，剩余部分取值為B。平均值為C。求取值為A的溶質(zhì)與取值為B的溶質(zhì)的質(zhì)量比例。假設(shè)A有X，B有(1-X)。AX+B(1-X)=C，X=(C-B)/(A-B)1-X=(A-C)/A-B。因此：X：(1-X)=(C-B)：(A-C)上面的計(jì)算過(guò)程可以抽象為：基本題型1.溶劑的增加或減少引起濃度變化。面對(duì)這種問(wèn)題，不論溶劑增加或減少，溶質(zhì)是始終不變的，以此可作為解題的突破點(diǎn)。2.溶質(zhì)的增加引起濃度變化。面對(duì)這種問(wèn)題，溶質(zhì)和濃度都增大了，但溶劑是不變的，以此可作為解題的突破點(diǎn)。3.兩種或幾種不同溶度的溶液配比問(wèn)題。面對(duì)這種問(wèn)題，要抓住混合前各溶液的溶質(zhì)和與混合后溶液的溶質(zhì)質(zhì)量相等，以此可作為解題的突破點(diǎn)?！敬鸢浮緿【解析】假設(shè)原有清水質(zhì)量為x克，根據(jù)題意列方程：(10+200×5%)/(x+10+200)=2.5%，解得x=590克（一）相遇問(wèn)題

要點(diǎn)提示：甲從A地到B地，乙從B地到A地，甲，乙在AB途中相遇。

A、B兩地的路程=甲的速度×相遇時(shí)間+乙的速度×相遇時(shí)間=速度和×相遇時(shí)間1、同時(shí)出發(fā)例題兩列對(duì)開(kāi)的列車(chē)相遇，第一列車(chē)的車(chē)速為10米/秒，第二列車(chē)的車(chē)速為12.5米/秒，第二列車(chē)的旅客發(fā)現(xiàn)第一列車(chē)在旁邊開(kāi)過(guò)時(shí)用了6秒，則第一列車(chē)的長(zhǎng)度為多少米？

A.60米

B.75米

C.80米

D.135米2、不同時(shí)出發(fā)例題每天早上李剛定時(shí)離家上班，張大爺定時(shí)出家門(mén)散步，他們每天都相向而行且準(zhǔn)時(shí)在途中相遇。有一天李剛因有事提早離家出門(mén)，所以他比平時(shí)早7分鐘與張大爺相遇。已知李剛每分鐘行70米，張大爺每分鐘行40米，那么這一天李剛比平時(shí)早出門(mén)（）分鐘

A.7B.9C.10D.11【答案】D【解析】設(shè)每天李剛走X分鐘，張大爺走Y分鐘相遇，李剛今天提前Z分鐘離家出門(mén)，可列方程為70X+40Y=70×（X+Z－7）+40×（Y－7），解得Z=11，故應(yīng)選擇D。3、二次相遇問(wèn)題要點(diǎn)提示：甲從A地出發(fā)，乙從B地出發(fā)相向而行，兩人在C地相遇，相遇后甲繼續(xù)走到B地后返回，乙繼續(xù)走到A地后返回，第二次在D地相遇。第二次相遇時(shí)走的路程是第一次相遇時(shí)路程的兩倍。例題兩汽車(chē)同時(shí)從A、B兩地相向而行，在離A城52千米處相遇，到達(dá)對(duì)方城市后立即以原速沿原路返回，在離A城44千米處相遇。兩城市相距（）千米

A.200B.150C.120D.100【答案】D【解析】第一次相遇時(shí)兩車(chē)共走一個(gè)全程，到第二次相遇時(shí)兩車(chē)共走了兩個(gè)全程，從A城出發(fā)的汽車(chē)在第二次相遇時(shí)走了52×2=104千米，從B城出發(fā)的汽車(chē)走了52+44=96千米，故兩城間距離為（104+96）÷2=100千米。4、繞圈問(wèn)題例題在一個(gè)圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，8分鐘后兩人相遇，再過(guò)6分鐘甲到B點(diǎn)，又過(guò)10分鐘兩人再次相遇，則甲環(huán)行一周需要（）？A.24分鐘B.26分鐘C.28分鐘D.30分鐘（二）追及問(wèn)題要點(diǎn)提示：甲，乙同時(shí)行走，速度不同，這就產(chǎn)生了“追及問(wèn)題”。假設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時(shí)間（追及時(shí)間）內(nèi)：追及路程=甲的路程-乙的路程=甲的速度×追及時(shí)間-乙的速度×追及時(shí)間=速度差×追及時(shí)間核心是“速度差”。例題一列快車(chē)長(zhǎng)170米，每秒行23米，一列慢車(chē)長(zhǎng)130米，每秒行18米?？燔?chē)從后面追上慢車(chē)到超過(guò)慢車(chē)，共需（）秒鐘

A.60B.75C.50D.55【答案】A【解析】設(shè)需要x秒快車(chē)超過(guò)慢車(chē)，則（23-18）x=170+130，得出x=60秒?！敬鸢浮緾【解析】汽車(chē)和拖拉機(jī)的速度比為100：（100－15－10）=4：3，設(shè)追上時(shí)經(jīng)過(guò)了t小時(shí)，那么汽車(chē)速度為4x，拖拉機(jī)速度則為3x，則3xt+15=4xt，得xt=15，即汽車(chē)經(jīng)過(guò)4xt=60千米追上拖拉機(jī)，這時(shí)汽車(chē)距乙地100-60=40千米。

（三）流水問(wèn)題要點(diǎn)提示：順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（順?biāo)俣?逆水速度）/2水速=（順?biāo)俣?逆水速度）/2例題一艘輪船從河的上游甲港順流到達(dá)下游的丙港，然后調(diào)頭逆流向上到達(dá)中游的乙港，共用了12小時(shí)。已知這條輪船的順流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小時(shí)2千米，從甲港到乙港相距18千米。則甲、丙兩港間的距離為（）

A.44千米

B.48千米

C.30千米

D.36千米【例題】一只輪船在208千米長(zhǎng)的水路中航行。順?biāo)?小時(shí)，逆水用13小時(shí)。求船在靜水中的速度及水流的速度。A.4km/hB.5km/hC.6km/hD.7km/h【答案】B【解析】此船順?biāo)叫械乃俣仁牵?08÷8=26（千米/小時(shí)）此船逆水航行的速度是：208÷13=16（千米/小時(shí)）由公式船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，可求出此船在靜水中的速度是：（26+16）÷2=21（千米/小時(shí)）由公式水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，可求出水流的速度是：（26-16）÷2=5（千米/小時(shí)）3、年齡問(wèn)題【例題】爸爸、哥哥、妹妹現(xiàn)在的年齡和是64歲。當(dāng)爸爸的年齡是哥哥的3倍時(shí)，妹妹是9歲；當(dāng)哥哥的年齡是妹妹的2倍時(shí)，爸爸34歲?，F(xiàn)在爸爸的年齡是（）歲？A.34B.39C.40D.42【例題】1980年李紅出生時(shí)，她爺爺?shù)哪挲g時(shí)他自己出生年份的1/29，問(wèn)李紅爺爺在1988年時(shí)年齡是多少?A.76歲B.64歲C.86歲D.74歲【答案】D【解析】這道題目關(guān)系很復(fù)雜，不能輕易的得到等量關(guān)系求解，所以我們考慮用代入法。我們從最小的選項(xiàng)開(kāi)始驗(yàn)證。假如1988年?duì)敔數(shù)哪挲g為64，那么出生年份就是1988-64=1924年，而1980年?duì)敔斈挲g為56，不是出生年份的1/29，所以排除掉，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，1988年?duì)敔數(shù)哪挲g應(yīng)該為74，故選擇D。4、工程問(wèn)題解決工程問(wèn)題，首先我們應(yīng)該掌握工程問(wèn)題的核心公式：工程總量=工作效率×工作時(shí)間基本方法有：代入排除法，方程法，設(shè)“1”思想等。例題同時(shí)打開(kāi)游泳池的A，B兩個(gè)進(jìn)水管，加滿(mǎn)水需1小時(shí)30分鐘，且A管比B管多進(jìn)水180立方米，若單獨(dú)打開(kāi)A管，加滿(mǎn)水需2小時(shí)40分鐘，則B管每分鐘進(jìn)水多少立方米?A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】本題屬于工程問(wèn)題。設(shè)進(jìn)水速度分別為A立方米/分和B立方米/分，則由總水量相等有90（A+B）=160A，再根據(jù)1小時(shí)30分A管比B管多進(jìn)水180立方米可知90（A-B）=180，兩式聯(lián)立解得A=9，B=7。所以選擇B選項(xiàng)。5、比例問(wèn)題【例題】一所學(xué)校一、二、三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)450人，三個(gè)年級(jí)的學(xué)生比例為2∶3∶4，問(wèn)學(xué)生人數(shù)最多的年級(jí)有多少人?A.100B.150C.200D.250【答案】C【解析】解答這種題時(shí)，可以把總?cè)藬?shù)看做包括了2+3+4=9份，其中一年級(jí)占九份中的兩份，二年級(jí)占三份，三年級(jí)占四份，因此，人數(shù)最多的是三年級(jí)，其占總?cè)藬?shù)的4／9，所以答案是200人。6、利潤(rùn)問(wèn)題【例題】某商品按定價(jià)出售，每個(gè)可以獲得45元的利潤(rùn)，現(xiàn)在按定價(jià)的八五折出售8個(gè)，按定價(jià)每個(gè)減價(jià)35元出售12個(gè)，所能獲得的利潤(rùn)一樣。這種商品每個(gè)定價(jià)多少元？A.100B.120C.180D.200【答案】D【解析】每個(gè)減價(jià)35元出售可獲得利潤(rùn)（45－35）×12=120元，則如按八五折出售的話，每件商品可獲得利潤(rùn)120÷8=15元，少獲得45－15=30元，故每個(gè)定價(jià)為30÷（1－85%）=200元。7、排列組合問(wèn)題基本概念基本公式排列公式：組合公式：例題參加會(huì)議的人兩兩都彼此握手，有人統(tǒng)計(jì)共握手36次，到會(huì)共有（）人。A.9B.10C.11D.12【答案】A【解析】解答這道題之前，首先要明白這是一道排列還是組合的題目。參加會(huì)議的人兩兩握手，比如說(shuō)我和你握手，和你和我握手，這是算一次還是兩次。很顯然，不管是我和你握手還是你和我握手，都只是我們兩在握手，這算一次，沒(méi)有順序，因此這是一道組合題。設(shè)到會(huì)的總共有n個(gè)人，從n個(gè)人中挑出2個(gè)人來(lái)握手，即=36，所以n=9,即到會(huì)的有9人。例題某單位訂閱了30份學(xué)習(xí)材料發(fā)放給3個(gè)部門(mén)，每個(gè)部門(mén)至少發(fā)放9份材料。問(wèn)一共有多少種不同的發(fā)放方法？（）A.7B.9C.10D.12【答案】C【解析】首先我們考慮，要想每個(gè)部門(mén)至少發(fā)9份，有幾種發(fā)法呢？（1）101010（2）91011（3）9912很顯然，這是個(gè)分類(lèi)的問(wèn)題，用加法原理來(lái)解決，首先我們來(lái)看第一種情況，每個(gè)部分都分10本，那就只有一種選擇，就是每個(gè)部分給10本；第二種情況，即一個(gè)部分給9本，另一個(gè)部門(mén)給10本，第三個(gè)部門(mén)給11本，即從三個(gè)部門(mén)中挑出一個(gè)部分給9本，再?gòu)氖Ｏ碌膬蓚€(gè)部門(mén)中挑出一個(gè)部門(mén)給10本，那剩余的一個(gè)部門(mén)只能得11本，這樣共有=6種；第三種情況，即挑出三個(gè)部門(mén)中的其中一個(gè)給12本，那另外兩個(gè)就只能每個(gè)部門(mén)9本，所以=3種，那這三種情況加起來(lái)即是1++=10種。例題一張節(jié)目表上原有3個(gè)節(jié)目，如果保持這3個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添進(jìn)去2個(gè)新節(jié)目，有多少種安排方法？（）A.20B.12C.6D.4【答案】A【解析】排列組合問(wèn)題。將2個(gè)新節(jié)目安排進(jìn)來(lái)一共分兩步：先插進(jìn)第一個(gè)節(jié)目，有4個(gè)空，所以有4種安排方法；再插進(jìn)第二個(gè)節(jié)目，有5個(gè)空，所以有5種安排方法。分步用乘法原理得到總共有4×5=20種安排方法。8、極值問(wèn)題極值問(wèn)題一般為題目中出現(xiàn)“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”、“最快”、“最慢”、“最高”、“最低”等字樣，題目較抽象，難度較大。解答此類(lèi)題型的方法為“極端分析法”就是構(gòu)造符合條件的數(shù)值。同色抽取的極值問(wèn)題特定排名的極值問(wèn)題多集合的極值問(wèn)題同色抽取的極值問(wèn)題該類(lèi)問(wèn)題一般表述為：有若干種不同顏色的紙牌，彩球等，從中至少抽出幾個(gè)，才能保證在抽出的物品中至少有n個(gè)顏色是相同的。解題常用通法：先對(duì)每種顏色抽取(n-1)個(gè)，如果某種顏色的個(gè)數(shù)不夠(n-1)的，就對(duì)這種顏色全取光，然后再將各種顏色的個(gè)數(shù)加起來(lái)，再加1，即為題目所求。例題從一副完整的撲克牌中，至少抽出()張牌，才能保證至少6張牌的花色相同。A.21B.22C.23D.24【答案】【解析】先對(duì)四種常見(jiàn)花色“桃杏梅方”各抽取n-1=5個(gè)，總共抽取5×4=20張?？紤]到這是一副完整的撲克牌，再對(duì)特殊的花色“大小王”進(jìn)行抽取，大小王只有2張，不夠n-1的要求，就對(duì)其全部取光，總共抽取2張。將以上各種顏色的個(gè)數(shù)加起來(lái)，再加1，即5×4+2+1=23張，即為所求，答案選C。特定排名的極值問(wèn)題該類(lèi)問(wèn)題一般表述為：若干個(gè)整數(shù)量的總和為定值，且各不相同(有時(shí)還會(huì)強(qiáng)調(diào)：各不為0或最大不能超過(guò)多少)，求其中某一特定排名的量所對(duì)應(yīng)的最大值或最小值。解題常用通法：將所求量設(shè)為n，如果要求n最大的情況，則考慮其它量最小的時(shí)候；反之，要求n最小的情況，則考慮其它量盡可能大。例題5人的體重之和是423斤，他們的體重都是整數(shù)，并且各不相同，則體重最輕的人，最重可能重()。A.80斤B.82斤C.84斤D.86斤【答案】B【解析】體重最輕的人，是第5名，設(shè)為n?？紤]其最重的情況，則其他人盡可能輕。第四名的體重大于第五名n，但又要盡可能輕且不等于n，故第四名是n+1。同理，第三名至第一名依次大于排名靠后的人且取盡可能小的值，故依次為n+2，n+3，n+4。五個(gè)人盡可能輕的情況下，總重量為n+n+1+n+2+n+3+n+4=4n+10。實(shí)際總重量423應(yīng)大于等于盡可能輕的總重量，故4n+10≤423，解得n≤82.6，所以n最大為82斤，答案選B。多集合的極值問(wèn)題該類(lèi)問(wèn)題一般表述為：在一個(gè)量的總和(即全集)里，包含有多種情況(即多個(gè)子集)，求這多種情況同時(shí)發(fā)生的量至少為多少。解題常用通法：多種情況交叉發(fā)生的量完全不知道，故無(wú)法正面求解。將題目轉(zhuǎn)化為：至多有多少量并不是多種情況同時(shí)發(fā)生，也就是只要有一種情況不發(fā)生即可。求出題目中多個(gè)情況不發(fā)生的量，相加即可得到只要有一種情況不發(fā)生的最大值，再用總題量相減，即可得所求量。計(jì)算通式：總和M，每種情況發(fā)生的量分別為a，b，c，d，則多種情況同時(shí)發(fā)生的量至少為M-[(M-a)+(M-b)+(M-c)+(M-d)]例題某社團(tuán)共有46人，其中35人愛(ài)好戲劇，30人愛(ài)好體育，38人愛(ài)好寫(xiě)作，40人愛(ài)好收藏，這個(gè)社團(tuán)至少有多少人以上四項(xiàng)活動(dòng)都喜歡?()A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】每種活動(dòng)不喜歡的人數(shù)分別為46-35=11人，16人，8人，6人。故四種活動(dòng)都喜歡的反面——“四種活動(dòng)不都喜歡”——即只要有一種活動(dòng)不喜歡的人數(shù)最多為11+16+8+6=41人，所以四種活動(dòng)都喜歡的人數(shù)最少為46-41=5人，答案選A。例題共有100個(gè)人參加某公司的招聘考試，考試內(nèi)容共有5道題，1－5題分別有80人，92人，86人，78人，和74人答對(duì)，答對(duì)了3道和3道以上的人員能通過(guò)考試，請(qǐng)問(wèn)至少有多少人能通過(guò)考試？（）A.30B.55C.70D.74【答案】C【解析】最值問(wèn)題。1-5題分別錯(cuò)了20、8、14、22、26道，加起來(lái)（注意利用湊整法速算）為90。題目問(wèn)“至少有多少人能通過(guò)這次考試”，所以我們應(yīng)該讓更多的人不及格，因此這90錯(cuò)題分配的時(shí)候應(yīng)該盡量每3道分給一個(gè)人，即可保證一個(gè)人不及格，那么90道錯(cuò)題一共可以分給最多30個(gè)人，讓這30個(gè)人不及格，所以及格的人最少的情況下是70人。9、統(tǒng)籌問(wèn)題【例題】毛毛騎在牛背上過(guò)河，他共有甲、乙、丙、丁4頭牛，甲過(guò)河要2分鐘，乙過(guò)河要3分鐘，丙過(guò)河要4分鐘，丁過(guò)河要5分鐘。毛毛每次只能趕2頭牛過(guò)河，要把4頭牛都趕到對(duì)岸去，最少要多少分鐘？A.16B.17C.18D.19【答案】A【解析】因?yàn)槭窃试S兩頭牛同時(shí)過(guò)河的（騎一頭，趕一頭），所以若要時(shí)間最短，則一定要讓耗時(shí)最長(zhǎng)的兩頭牛同時(shí)過(guò)河；把牛趕道對(duì)面后要盡量騎耗時(shí)最短的牛返回。我們可以這樣安排：先騎甲、乙過(guò)河，騎甲返回，共用5分鐘；再騎丙、丁過(guò)河，騎乙返回，共用8分鐘；最后再騎甲、乙過(guò)河，用3分鐘，故最少要用5+8+3=16分鐘。【注釋】此題要求“最省時(shí)”，這時(shí)我們應(yīng)該在頭腦中反應(yīng)出“若要最省時(shí)，則盡量把最耗時(shí)的幾件事同時(shí)完成”。10、牛吃草問(wèn)題牛吃草問(wèn)題又稱(chēng)為消長(zhǎng)問(wèn)題，是17世紀(jì)英國(guó)偉大的科學(xué)家牛頓提出來(lái)的。典型牛吃草問(wèn)題的條件是假設(shè)草的生長(zhǎng)速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長(zhǎng)的，所以草的存量隨吃的天數(shù)不斷地變化。英國(guó)著名的物理學(xué)家學(xué)家牛頓曾編過(guò)這樣一道數(shù)學(xué)題：牧場(chǎng)上有一片青草，每天都生長(zhǎng)得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，如果供給25頭牛吃，可以吃幾天？【環(huán)節(jié)】1、求出每天長(zhǎng)草量；2、求出牧場(chǎng)原有草量；3、求出每天實(shí)際消耗原有草量(牛吃的草量--生長(zhǎng)的草量=消耗原有草量)；4、最后求出可吃天數(shù)【解析】這片草地天天以同樣的速度生長(zhǎng)是分析問(wèn)題的難點(diǎn)。把10頭牛22天吃的總量與16頭牛10天吃的總量相比較，得到的10×22-16×10=60，是60頭牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長(zhǎng)出的草。求出了這個(gè)條件，把所有頭牛分成兩部分來(lái)研究，用其中頭吃掉新長(zhǎng)出的草，用其余頭數(shù)吃掉原有的草，即可求出全部頭牛吃的天數(shù)?！窘獯稹啃麻L(zhǎng)出的草供幾頭牛吃1天：（10×22-16×10）÷(22-10）=（220-160）÷12=60÷12=5（頭）這片草供25頭牛吃的天數(shù)：（10-5）×22÷（25-5）=5×22÷20=5.5（天）【答案】供25頭?？梢猿?.5天?！疽?guī)律】牛頓問(wèn)題的難點(diǎn)在于草每天都在不斷生長(zhǎng)，草的數(shù)量都在不斷變化。解答這類(lèi)題目的關(guān)鍵是想辦法從變化中找出不變量，我們可以把總草量看成兩部分的和，即原有的草量加新長(zhǎng)的草量。顯而易見(jiàn)，原有的草量是一定的，新長(zhǎng)的草量雖然在變，但如果是勻速生長(zhǎng)，我們也能找到另一個(gè)不變量——每天（每周）新長(zhǎng)出的草的數(shù)量?！舅悸贰竣侔衙款^牛每天（周）的吃草量看作是“1”；②求出每天（周）的新生長(zhǎng)的草量是多少；③求出原來(lái)的草量是多少；④假設(shè)幾頭牛專(zhuān)門(mén)去吃新生長(zhǎng)的草，剩下的牛吃原來(lái)的草所用幾天（周）數(shù)即為所求。牛吃草問(wèn)題簡(jiǎn)介核心公式草場(chǎng)草量＝（牛數(shù)－每天長(zhǎng)草量）×天數(shù)基本不變量單位面積牧場(chǎng)上原有草量不變一般用來(lái)列方程每頭牛每天吃草量不變一般設(shè)為“1”單位面積牧場(chǎng)上每天新增草量不變一般設(shè)為“x”例題1有一塊牧場(chǎng)，可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，則它可供25頭牛吃多少天？A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】設(shè)該牧場(chǎng)每天長(zhǎng)草量恰可供x頭牛吃一天，這片草場(chǎng)可供25頭牛吃n天根據(jù)核心公式： 代入例題2有一塊牧場(chǎng)，可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，則它可供多少頭牛吃4天？A.20B.25C.30D.35【答案】C【解析】設(shè)該牧場(chǎng)每天長(zhǎng)草量恰可供x頭牛吃一天，根據(jù)核心公式： 代入例題3有一水池，池底有泉水不斷涌出，要想把水池的水抽干，10臺(tái)抽水機(jī)需抽8小時(shí)，8臺(tái)抽水機(jī)需抽12小時(shí)，如果用6臺(tái)抽水機(jī)，那么需抽多少小時(shí)？A.16B.20C.24D.28【答案】C【解析】設(shè)每分鐘流入的水量相當(dāng)于x臺(tái)抽水機(jī)的排水量，共需t小時(shí)，則有恒等式解得代入恒等式11、抽屜原理問(wèn)題抽屜原理在公務(wù)員考試中的數(shù)字運(yùn)算部分時(shí)有出現(xiàn)。抽屜原理是用最樸素的思想解決組合數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)范例，我們可以從日常工作中的實(shí)例來(lái)體會(huì)抽屜原理的應(yīng)用。抽屜原理的內(nèi)容簡(jiǎn)明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問(wèn)題中有重要的作用。許多有關(guān)存在性的證明都可用它來(lái)解決。它的內(nèi)容可以用形象的語(yǔ)言表述為：“把m個(gè)東西任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜里（m>n），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少2個(gè)東西?！北热缫荒曜疃嘤?66天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。這相當(dāng)于把367個(gè)東西放入366個(gè)抽屜，至少有2個(gè)東西在同一抽屜里。例題有紅、黃、藍(lán)、白珠子各10粒，裝在一只袋子里，為了保證摸出的珠子有兩粒顏色相同，應(yīng)至少摸出幾粒？（）

A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】這是一道典型的抽屜原理題。解這種題時(shí)，要從最壞的情況考慮，所謂的最不利原則，假定摸出的前4粒都不同色，則再摸出的1粒（第5粒）一定可以保證可以和前面中的一粒同色。因此選C。傳統(tǒng)的解抽屜原理的方法是找兩個(gè)關(guān)鍵詞，“保證”和“最少”。保證：5?？梢员ＷC始終有兩粒同色，如少于5粒（比如4粒），我們?nèi)〖t、黃、藍(lán)、白各一個(gè)，就不能“保證”，所以“保證”指的是要一定沒(méi)有意外。最小：不能取大于5的，如為6，那么5也能“保證”，就為5。這種傳統(tǒng)的解抽屜原理的方法對(duì)于一部分考生很容易理解，但是對(duì)于有些考生接受起來(lái)就要相對(duì)困難，這并不是智商的差異，而是人的思維方式不同，接受新事物新方法的能力也不同。例題黑色、白色、黃色的筷子各有8根，混雜地放在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的2雙筷子（每雙筷子兩根的顏色應(yīng)一樣），問(wèn)至少要取材多少根才能保證達(dá)到要求？【答案】11【解析】由于有三種顏色的筷子，而且又混雜在一起，為了確保取出的筷子中有2雙不同顏色的筷子，可以分兩步進(jìn)行。第一步先確保取出的筷子中有1雙同色的；第二步再?gòu)挠嘞碌目曜又腥〕鋈舾筛ＷC第二雙筷子同色。首先，要確保取出的筷子中至少有1雙是同色的，我們把黑色、白色、黃色三種顏色看作3個(gè)抽屜，把筷子當(dāng)作蘋(píng)果，根據(jù)抽屜原則，只需取出4根筷子即可。其次，再考慮從余下的20根筷子中取多少根筷子才能確保又有1雙同色筷子，我們從最不利的情況出發(fā)，假設(shè)第一次取出的4根筷子中，有2根黑色，1根白色，1根黃色。這樣，余下的20根筷子，有6根黑色的，7根白色的，7根黃色的，因此，只要再取出7根筷子，必有1根是白色或黃色的，能與第一次取出的1根白色筷子或黃色筷子配對(duì)，從而保證有2雙筷子顏色不同，總之，在最不利的情況下，只要取出4+7=11根筷子，就能保證達(dá)到目的。12、幾何問(wèn)題人類(lèi)之所以研究幾何，主要原因是眼睛所看到的全都是幾何圖案。身邊有很多圓形、方形、三角形，因此幾何非常直觀。而將這些形狀定量進(jìn)行計(jì)算之后，又顯得有些抽象。在公務(wù)員考試中，有一些幾何題如果能夠充分利用數(shù)量之間的關(guān)系，那么會(huì)起到意想不到的效果。例1：下圖是由5個(gè)相同的小長(zhǎng)方形拼成的大長(zhǎng)方形，大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是88厘米，問(wèn)大長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米?A.472平方厘米B.476平方厘米C.480平方厘米D.484平方厘米【答案】C【解析】由于該大長(zhǎng)方形是由5個(gè)相同的小長(zhǎng)方形拼接而成的，因此大長(zhǎng)方形的面積是小長(zhǎng)方形面積的5倍，因此大長(zhǎng)方形的面積應(yīng)當(dāng)是一個(gè)5的倍數(shù)，答案中只有C選項(xiàng)符合條件。例2：一個(gè)長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)是32米，長(zhǎng)是寬的3倍，問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少()A.64平方米B.56平方米C.52平方米D.48平方米【答案】D【解析】由于該長(zhǎng)方形面積的為長(zhǎng)與寬的乘積，而長(zhǎng)是寬的3倍，因此相乘之后所得的結(jié)果一定是3的倍數(shù)，答案中只有D選項(xiàng)符合條件。例3：如圖，一個(gè)正方形分成了五個(gè)大小相等的長(zhǎng)方形。每個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)都是36米，問(wèn)這個(gè)正方形的周長(zhǎng)是()A.56米B.60米C.64米D.68米【答案】B【解析】由于該正方形的邊長(zhǎng)為5個(gè)相同的小長(zhǎng)方形的寬之和，因此該正方形的邊長(zhǎng)一定是5的倍數(shù)，而正方形的周長(zhǎng)是邊長(zhǎng)的4倍，因此該正方形的周長(zhǎng)一定是20的倍數(shù)，答案中只有B選項(xiàng)符合條件。以上三道題充分利用了“倍數(shù)”條件，省去了各種各樣的計(jì)算取得了不錯(cuò)的效果。而在一些試題中如果能夠充分利用“化整為零”的思想，則會(huì)大大簡(jiǎn)化計(jì)算。例4：一個(gè)正三角形和一個(gè)正六邊形周長(zhǎng)相等，則正六邊形面積為正三角形的：A.倍B.1.5倍C.倍D.2倍【答案】B【解析一】假設(shè)兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)都是6，那么正三角形的邊長(zhǎng)為2，正六邊形的邊長(zhǎng)為1。根據(jù)正三角形、正六邊形的面積公式可知正三角形的面積為=，正六邊形的面積為=，恰好為正三角形面積的1.5倍?！窘馕龆靠梢约僭O(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，那么正三角形的邊長(zhǎng)為2，此時(shí)兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)想等。根據(jù)下圖可知，正六邊形可以劃分為6個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正三角形，大正三角形可以劃分為4個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正三角形，因此兩個(gè)圖形的面積之比為6：4，即正六邊形的面積為正三角形面積的1.5倍。

以上的幾道例題旨在為考生提供一些解決幾何問(wèn)題的小技巧，然而我們?nèi)匀唤ㄗh各位考生能夠耐心熟記各種幾何公式，以便應(yīng)對(duì)考場(chǎng)中錯(cuò)綜復(fù)雜的各類(lèi)問(wèn)題。這些公式主要是三角形、矩形、圓、立方體、球等常見(jiàn)幾何圖形(體)的面積、體積公式。三角形的邊角之間的關(guān)系（1）三角形三內(nèi)角和等于180°（在球面上，三角形內(nèi)角之和大于180°）（2）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和（3）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角