一般形式的柯西不等式優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)

一般形式柯西不等式【學(xué)標(biāo)認(rèn)識二維柯西不等式的幾種形式，理解它們的幾何意義，并會證明二維柯西不等式及向量形式。【學(xué)點(diǎn)會證明二維柯西不等式及三角不等式。【學(xué)點(diǎn)理解幾何意義。【學(xué)程一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1．提問：二元均值不等式有哪幾種形式？答案：

ab(ab0)幾種變式。2．練習(xí)：已知A．B．C．d為實(shí)數(shù)，求(2)(c)ac)證法比較法(a)(c))2=…)二、講授新課：1．柯西不等式：

①提出定理1：若A．B．C．d為實(shí)數(shù)，(

)(c

))

?！炊S形式的柯西不等式→什么時(shí)候取等號？②討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？證法二綜合法(a

2

2

)(c

2

2

)

2

c

2

2

d

2

2

c

2

2

d

2ac)

)

bd)

。（要點(diǎn)：展開→配方）證法三向量法）設(shè)向m,b

d)

，則

|ma

2

2

，

|c

2

2

?！?/p>

，且m||n|cos,n|m||n

。∴…證法四函數(shù)法）設(shè)f(x22)x2)22，則f())2)≥恒成立?！郺c)]

a

2

2

)(c

2

2

)≤0，即…

11③討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？變式：

2

2

c

2

2

ac

或

2

2

c

2

2

acbd|或

a

c

。④提出定理2：

是兩個(gè)向量，

。即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）討論：上面時(shí)候等號成立？是零向量，或

共線）⑤練習(xí)：已知A．B．C．d為實(shí)數(shù)，求證a

2

2

2

2

()

2

b)

2。證法分析法）平方→應(yīng)用柯西不等式→討論：其幾何意義？（構(gòu)造三角形）2．教學(xué)三角不等式：出示定理3：設(shè)y，則21

y21

x2

2

2

2

(x1

2

12

2。分析其幾何意義→如何利用柯西不等式證明→變式：若y,xy,x,yR則結(jié)合以上1123幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？三、應(yīng)用舉例：例1：已知a，b為實(shí)數(shù)，求(

4

4

)(

2

2

a

3

3

2說明：在證明不等式時(shí)，聯(lián)系經(jīng)典不等式，既可以啟發(fā)證明思路，又可以簡化運(yùn)算。所以，經(jīng)典不等式是數(shù)學(xué)研究的有力工具。例題2：求函數(shù)最大值。分析：利用不等式解決最值問題，通常設(shè)法在不等式的一邊得到一個(gè)常數(shù)，并尋找不等式取等號的條件這個(gè)函數(shù)的解析式是兩部分的和若能化為的形式就能用柯西不等式求其最大值

bda

2

2

2

2）解：函數(shù)的定義域?yàn)?1，5)且y>0x252(2)276

當(dāng)且僅當(dāng)5時(shí)，等號成立，即x

12727

時(shí)，函數(shù)取最大63課堂練習(xí)：1．證明：(x2

+y4

)(a4

+b2

)≥(a2

x+by2

)22．求函數(shù)y的最大值。

例3．設(shè)a，b是正實(shí)數(shù)，a+b=1，求證111分析：注意到(a)(有(a)就可以用柯西不等式了。b四、鞏固練習(xí)：1．練習(xí)：試寫出三維形式的