軸對(duì)稱(chēng)、等腰三角形經(jīng)典練習(xí)試題

.6/6[知識(shí)點(diǎn)回顧]軸對(duì)稱(chēng)一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊,重合,那么就說(shuō)這兩個(gè)兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。線段垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等線段垂直平分線的判定：到線段兩端距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上。等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形有兩邊相等；定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等〔簡(jiǎn)寫(xiě)成"等邊對(duì)等角"。推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊,這就是說(shuō),等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2：等邊三角形的各角都相等,并且每一個(gè)角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形；等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等〔簡(jiǎn)寫(xiě)成"等角對(duì)等邊"。推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半[典型例題]例1.如圖,中,,BD平分。求證：。分析：從要證明的結(jié)論出發(fā),在BC上截取,只需證明,考慮到,想到在BC上截取,連結(jié)DE,易得,則有,只需證明,這就要從條件出發(fā),通過(guò)角度計(jì)算可以得出。證明：在BC上截取,連結(jié)DE、DF在和中,又而即[隨堂作業(yè)]1、下列圖形中,不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是〔A．有兩個(gè)內(nèi)角相等的三角形B.有一個(gè)內(nèi)角是45°直角三角形C.有一個(gè)內(nèi)角是30°的直角三角形D.有兩個(gè)角分別是30°和120°的三角形2、下列說(shuō)法中正確的是〔角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的線段長(zhǎng)相等角是軸對(duì)稱(chēng)圖形③線段不是軸對(duì)稱(chēng)圖形線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等A.①②③④B.①②③C.②④D.②③④3、小明從鏡子里看到鏡子對(duì)面電子鐘的像如圖所示實(shí)際時(shí)間是〔A．21：10B.10：21C.10：51D.12：014、下列推理中,錯(cuò)誤的是<>A．∵∠A＝∠B＝∠C,∴△ABC是等邊三角形B．∵AB＝AC,且∠B＝∠C,∴△ABC是等邊三角形C．∵∠A＝60°,∠B＝60°,∴△ABC是等邊三角形D．∵AB＝AC,∠B＝60°,∴△ABC是等邊三角形5、等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為2cm和5cm,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是<>A．9cm B．12cmC．9cm和12cm D．在9cm與12cm之間6、若等腰三角形的一個(gè)外角為130°,則它的底角為_(kāi)_______.7、如圖,是等邊三角形,,則的度數(shù)是________如圖,在等腰三角形中,,點(diǎn)是底邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別是的中點(diǎn),若的最小值為2,則的周長(zhǎng)是〔A． B． C． D．在等邊三角形ABC中,CD是∠ACB的平分線,過(guò)D作DE∥BC交AC于E,若△ABC的邊長(zhǎng)為a,則△ADE的周長(zhǎng)為<>A．2aB．C．1．5a D．a(chǎn)如圖,在中,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),于點(diǎn),則等于〔CA． B． C． D．如圖7—111,在Rt△ABC中,B為直角,DE是AC的垂直平分線,E在BC上,∠BAE：∠BAC＝1：5,則∠C＝_________.如圖7—112,∠BAC＝30°,AM是∠BAC的平分線,過(guò)M作ME∥BA交AC于E,作MD⊥BA,垂足為D,ME＝10cm,則MD＝_________.已知：如圖7—120,等腰直角三角形ABC中,∠A＝90°,D為BC中點(diǎn),E、F分別為AB、AC上的點(diǎn),且滿(mǎn)足EA＝CF．求證：DE＝DF．14、已知：如圖△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它們交于點(diǎn)H,且AE=BE,求證：AH=2BD．[課后作業(yè)]PAECBD1、如圖：等邊三角形ABC中,BD＝CE,ADPAECBD∠APE的度數(shù)是〔A．45° B．55°C．60° D．75°等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm,一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3cm,則腰長(zhǎng)為〔A.2cm B.8cm C.2cm或8cm D.以上都不對(duì)如圖,△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°,BD、CE分別為∠ABC與∠ACB的角平分線,且相交于點(diǎn)F,則圖中的等腰三角形有〔A.6個(gè)B.7個(gè)C.8個(gè)D.9個(gè)4、如圖,

∠MPN＝25°,又PA＝AB＝BC＝CD,則∠DCM＝_______度。已知：在△ABC中,∠A=20°,D為AB上一點(diǎn),AD=DC,且∠ACD∶∠BCD=2∶3,則∠ABC=_______．6、等邊△ABC中,點(diǎn)P在△ABC內(nèi),點(diǎn)Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,問(wèn)△APQ是什么形狀的三角形？試說(shuō)明你的結(jié)論．ACACBQPP已知：如圖,AD平分∠BAC,EF垂直平分AD交BC延長(zhǎng)線于F,連結(jié)AF．求證：∠B=∠CAF.ABDABDFEC求證：AF=FC選擇題〔每小題3分,共30分1．下列圖案中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是<>2．以下四個(gè)圖形中對(duì)稱(chēng)軸條數(shù)最多的一個(gè)圖形是<>3．到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是<>A．三條角平分線的交點(diǎn)B．三條中線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn)D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)4．已知點(diǎn)P在線段AB的中垂線上,點(diǎn)Q在線段AB的中垂線外,則<>A．PA＋PB>QA＋QBB．PA＋PB<QA＋QBC．PA＋PB＝QA＋QBD．不能確定5．等腰三角形的一個(gè)外角等于100°,則與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為<>A．40°

,40°

B．80°,20°

C．50°,50°

D．50°,50°或80°

,20°

6．下列說(shuō)法：①等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；②等腰三角形的兩腰上的中線長(zhǎng)相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一邊長(zhǎng)為8,一邊長(zhǎng)為16,那么它的周長(zhǎng)是32或40．其中不正確的個(gè)數(shù)是<>A．1B．2C．3D．47．在△ABC中,AB＝AC,BD平分∠ABC,若∠BDC＝75°,則∠A的度數(shù)為<>A．30°

B．40°

C．45°

D．60°

8．在等腰三角形ABC中,AB＝AC,中線BD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為15和12兩個(gè)部分,則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為<>A．7B．11C．7或11D．7或109．如圖,在△ABC中,AC＝AD＝BD,∠DAC＝80°,則∠B的度數(shù)是<>A．40°

B．35°

C．25°

D．20°

10．如圖,直線l是一條河,P,Q兩地相距8km,P,Q兩地到l的距離分別為2km,5km,欲在l上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站,向P,Q兩地供水,現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案,圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道,則鋪設(shè)的管道最短的是<>填空題〔每小題3分,共24分11．粗圓體的漢字"口""天"等都是軸對(duì)稱(chēng)圖形,請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出至少三個(gè)以上這樣的漢字_______．12．如圖,△ABC中,DE垂直平分AC,與AC交于點(diǎn)E,與BC交于點(diǎn)D,∠C＝15°,∠BAD＝60°,則△ABC是_______三角形．13．等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為20°,則其頂角的大小為_(kāi)______．14．如圖,已知△ABC中,AB＝AC,AB邊上的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E,D為垂足,若∠ABE：∠EBC＝2：1,則∠A＝_______．15．在△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°,角平分線BE與CD相交于點(diǎn)F,如果不添加其他線和字母,那么圖中等腰三角形有_______個(gè)．16．如圖,AD是△ABC的中線,∠ADC＝60°,BC＝4,把△ADC沿直線AD折疊后,點(diǎn)C落在C'的位置上,那么BC'的長(zhǎng)為_(kāi)______．17．如圖,在△ABC中,AB＝AC,AD是∠BAC的平分線,點(diǎn)E是AD的任一點(diǎn),若△ABC的面積為12cm,則圖中陰影部分的面積是_______cm．18．△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,BN⊥AC于點(diǎn)N,則DE,DF,BN三者的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______．三、解答題〔共46分19．〔6分〔2013．XX如圖①是3x3正方形方格,將其中兩個(gè)方格涂黑,并且使涂黑后的整個(gè)圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形,約定繞正方形ABCD的中心旋轉(zhuǎn)能重合的圖案都視為同一種圖案,例如圖②中的四幅圖就視為同一種圖案,則得到的不同圖案共有幾種？20．〔6分已知：如圖,△BCE、△ACD分別是以BE、AD為斜邊的直角三角形,且BE＝AD,△CDE是等邊三角形．求證：△ABC是等邊三角形．答案：考點(diǎn)精練1．82.52．30a3．2204．105°5．3686．7秒或25秒7．〔2,-28．10°9．D10．B11．B12．B13．7cm或11cm14．關(guān)系：DE=DB,∵CD=CE,∴∠E=∠EDC,又∵∠ACB=60°,∴∠E=30°,又∵∠DBC=30°,∴∠E=∠DBC,∴DB=DE15．〔1①③或②③〔2已知①②求證△ABC是等腰三角形．證：先證△EBO≌△DCO．得OB=OC,得∠DBC=∠ECB．∴∠ABC=∠ACB．即△ABC是等腰三角形16．〔1△DEF是等邊三角形,提示證△ADF≌△BED≌△CFE．即得△DEF是等邊三角形〔2AD=BE=CF成立．證略．[例題經(jīng)典]根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)尋求規(guī)律例1．在△ABC中,AB=AC,∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,BD與CE相交于點(diǎn)O,如圖,∠BOC的大小與∠A的大小有什么關(guān)系？若∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,則∠BOC與∠A大小關(guān)系如何？若∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,則∠BOC與∠A大小關(guān)系如何？[分析]在上述條件由特殊到一般的變化過(guò)程中,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),∠1=∠2,∠ABD=∠ACE,即可得到∠1=∠ABC,∠2=∠ACB時(shí),∠BOC=90°+∠A；∠1=∠ABC,∠2=∠ACB時(shí),∠BOC=120°+∠A；∠1=∠ABC,∠2=∠ACB時(shí),∠BOC=·180°+∠A．[點(diǎn)評(píng)]在例1圖中,若AE=AB,AD=AC．類(lèi)似上題方法同樣可證得BD=CE．上述規(guī)律仍然存在．會(huì)用等腰三角形的判定和性質(zhì)計(jì)算與證明例2．如圖,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中線BD將這個(gè)等腰三角形周長(zhǎng)分成15和6兩部分,求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng)．[分析]要分AB+AD=15,CD+BC=6和AB+AD=6,CD+BC=15兩種情況討論．利用等腰三角形的性質(zhì)證線段相等例3．〔20XXXX市如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn),連結(jié)PA、PB、PC,以BP為邊作∠PBQ=60°,且BQ=BP,連結(jié)CQ．〔1觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論．〔2若PA：PB：PC=3：4：5,連結(jié)PQ,試判斷△PQC的形狀,并說(shuō)明理由．[分析]〔1把△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°即可得到△CBQ．利用等邊三角形的性質(zhì)證△ABP≌△CBQ,得到AP=CQ．〔2連接PQ,則△PBQ是等邊三角形．PQ=PB,AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5,∴△PQC是直角三角形．[點(diǎn)評(píng)]利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)完成此題的證明．[考點(diǎn)精練]一、基礎(chǔ)訓(xùn)練1．如圖1,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,BD為∠ABC的平分線,則∠BDC=_____°．〔1〔2〔32．如圖2,是由9個(gè)等邊三角形拼成的六邊形,若已知中間的小等邊三角形的邊長(zhǎng)是a,則六邊形的周長(zhǎng)是_______．3．如圖3,一個(gè)頂角為40°的等腰三角形紙片,剪去頂角后,得到一個(gè)四邊形,則∠1+∠2=________度．4．〔20XXXX市如圖4,在等腰直角△ABC中,∠B=90°,將△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到△AB′C′,則∠BAC′等于________．〔4〔5〔65．〔20XXXX市如圖5,沿AC方向開(kāi)山修渠,為了加快施工進(jìn)度,要在小山的另一邊同時(shí)施工．從AC上的一點(diǎn)B取∠ABD=135°,BD=520米,∠D=45°,如果要使A、C、E成一直線,那么開(kāi)挖點(diǎn)E離D的距離約為_(kāi)______米〔精確到1米．6．〔20XX諸暨市等腰△ABC的底邊BC=8cm,腰長(zhǎng)AB=5cm,一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從點(diǎn)B開(kāi)始向點(diǎn)C以0.25cm/秒的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PA與腰垂直的位置時(shí),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)為_(kāi)_______．7．如圖6,等邊△ABC,B點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),C點(diǎn)的坐標(biāo)為〔4,0,點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為_(kāi)______．8．〔20XX江陰市如圖7,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=20°,且AE=AD,則∠CDE=________．〔7〔8〔99．〔20XXXX市如圖8,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=44°,CD⊥AB于D,則∠DCB等于〔A．44°B．68°C．46°D．22°10．〔20XXXX省如圖9,要在離地面5m處引拉線固定電線桿,使拉線和地面成60°角,若考慮既要符合設(shè)計(jì)要求,又要節(jié)省材料,則在庫(kù)存的L1=5.2m,L2=6.2m,L3=7.8m,L4=10m的四種備用拉線材料中,拉線AC最好選用〔A．L1B．L2C．L3D．L11．〔20XX日照市如圖10,在△