matlab教程-matlab6.0初級優(yōu)化問題

5章優(yōu)化問線性規(guī)劃問題是目標函數(shù)和約束條件均為線性函數(shù)的問題，6.0解

f

xRnsub.to：AxAeqxf、x、b、beq、lb、ub為向量，A、Aeq 6.0版中線性規(guī)劃問（LinearProgramming）已用函數(shù)linprog 5.x版中的lp函數(shù)。當然，由于版本的向下兼容性，一般說來，低版本中的函數(shù)在6.0版中仍可使用。函 格 x= %求 f'

Axbx= %等式約束Aeqxbeq束AxbA=[]，b=[]x= %x的范圍lbxub式約束AeqxbeqAeq=[]，beq=[

x= %x= options[x,fval]=linprog(…) %返回目標函數(shù)最優(yōu)值，即fval=f'*x。[x,lambda,exitflag]=linprog(…) %lambda為解x的Lagrange乘子。[x,lambda,fval,exitflag]=linprog(…) %exitflag為終止迭代的錯誤[x,fval,lambda,exitflag,output]= %output 若exitflag>0表示函數(shù)收斂于解x，exitflag=0表示超過函數(shù)估值或迭lambda=upper表示上界ub，lambda=ineqlin表示不等式約束，lambda=eqlin表示等式約束，lambda0元素表示對應的約束是有效約束；output=iterations表示迭代次數(shù)，output=algorithm表示使用的運算規(guī)則，output=cgiterations表示PCG迭代次數(shù)。例5- 求下面的優(yōu)化問

5x14x2

3x12x24x33x12x20x1,0x2,0>>f=[-5;-4;->>A [1- >>b=[20;42;>>lb=>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=x= fval %-exitflag= outputiterations: %cgiterations:algorithm:'lipsol' lambda=ineqlin:[3x1double]eqlin:[0x1double]upper:[3x1double]lower:[3x1>>lambda.ineqlinans=>>lambda.lowerans=231foptions0options(2)-x的精度控制(1e-4)。options(3)-F的精度控制(1e-4)。options(4)-約束的結(jié)束標準(默認值為1e-6)。options(6)-0BFCG1

options(7)-01options(8)-(Lambdaoptions(9)-1。options(15)-用于目標—達到問題中的特殊目標。options(17)-優(yōu)化過程中變量的最大有限差分梯度值。options(18)-步長設置(1或更小)。Foptions已經(jīng)被optimset和optimget代替查函數(shù)optimset和optimget單變量函數(shù)求最小值的標準形式為x

在5.x中使用fmin函數(shù)求其最小值函 格 x= %返回自變量x在區(qū)間

x2取最小值時x值，fun為目標函數(shù)的表達式字符串 自定義函數(shù)的函x=fminbnd(fun,x1,x2,options) %options為指定優(yōu)化參數(shù)選項[x,fval]=fminbnd(…) %fval為目標函數(shù)的最小值[x,fval,exitflag]=fminbnd(…) %xitflag為終止迭代的條件[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(…) %output為優(yōu)化信息說明exitflag>0xexitflag=0，表示超過函數(shù)估計值或迭代的最大數(shù)字，exitflag<0表示函數(shù)不收斂于x；若參數(shù)output=iterations表示迭代次數(shù)，output=funccount表示函數(shù)賦值次數(shù)，output=algorithm表示所使用的算法。例5- 計算下面函數(shù)在區(qū)間(0，1)內(nèi)的最小值f(x)x3cosxxlog解：[x,fval,exitflag,output]=fminbnd('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1)x=fvalexitflag1outputiterations:funcCount:algorithm:'goldensectionsearch,parabolic例5- 在[0，5]上求下面函數(shù)的最小值f(x)(x3)3解：先自定義函數(shù)：在編輯器中建立M文件為functionf=myfun(x)f=(x-3).^2-1;myfun.m>>x3多元函數(shù)最小值的標準形式為 x其中：x為向量，如 在5.x中使用fmins求其最小值命 利用函數(shù)fminsearch求無約束多元函數(shù)最小函 格 x= fun串 自定義函數(shù)的函數(shù)柄x=fminsearch(fun,x0,options) %options查optimset[x,fval]=fminsearch(…) [x,fval,exitflag] exitflag[x,fval,exitflag,output] %output注意：fminsearchNelder-Mead1例5- x214y 最小值1 X 或 編輯器中建立函數(shù)文 myfun.m>>X=fminsearch [0,0])或>> X 命 利用函數(shù)fminunc求多變量無約束函數(shù)最小函 x=fminunc(fun,x0) %返回給定初始點x0的最小函數(shù)值點x=fminunc(fun,x0,options) %options為指定優(yōu)化參數(shù)[x,fval]=fminunc(…) %fval最優(yōu)點x處的函數(shù)值[x,fval,exitflag]= %exitflag[x,fval,exitflag,output] %output[x,fval,exitflag,output,grad] grad為函數(shù)在解x

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]= %目標函數(shù)在解注意：2fminuncfminsearch更有效，但當所選函數(shù)高度不連續(xù)時，使用fminsearch效果較好。1例5- 求f(x)3x21

22>>2>>x0=[1>>x1.0e-008- fval1.3953e-exitflag1outputgrad

iterations:funcCount:stepsize:1.2353orderopt:1.6772e-007algorithm:'medium-scale:Quasi-Newtonline1.0e-006-hessian >>fun=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2')fun=Inlinefun(x)=>>x0=[1>>x=fminunc(fun,x0)x=1.0e-008- x

C(x)Ceq(x)0AxbAeqxbeq其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq為矩陣，C(x)、Ceq(x)是返回向在5.x中，它的求解由函數(shù)constr實現(xiàn)函 格 x=x=x=x=x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)[x,fval]=fmincon(…)[x,fval,exitflag]=[x,fval,exitflag,output]=fmincon(…)[x,fval,exitflag,output,lambda]=fmincon(…)[x,fval,exitflag,output,lambda,grad]=fmincon(…)[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(…)參數(shù)說明：funx0A、b滿足線性不等式約束AxbA=[]，b=[beq=[

Aeq、beq滿足等式約束Aeqxbeq，若沒有，則取Aeq=[]，lb、ub滿足lbxublb=[]，ub=[]；nonlcon的作用是通過接受的向量x來計算非線性不等約束Cx和等式約束Ceqx)0xCCeq定函數(shù)柄來使用，如：>>x=fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)，先建立非線性約束函數(shù)，并保存為mycon.m：function[C,Ceq]=C= %x處的非線性不等約束Cx0Ceq= %x處的非線性等式約束Ceqx)0lambdaLagrangeoutputgradxhessianxHessiab例5- 求下面問題在初始點（0，1）處的最優(yōu) 1x22x1 (x11)2x22x13x26 (x11)2x22x13x2先 編輯器中建立非線性約束函數(shù)文件 [c,ceq]=mycon(x)ceq=[ %M >>x0=[0>>A=[-2 %>>Aeq= %>>beq=[>>lb=[ %x>>ub=[x fval-exitflag= outputiterations:funcCount:stepsize:algorithm:'medium-scale:SQP,Quasi-Newton,line-search'orderopt:[]iterations:[]lambda=

lower:[2x1 %xlambda.lowerupper:[2x1 %x0eqlin:[0x1 %0eqnonlin:[0x1double] ineqlin:2.5081e-008 ineqnonlin:6.1938e-008 grad= 1.0e-006*-0hessian %Hessian -- 例5- 求下面問題在初始點x=(10,10,10)處的最優(yōu)解 f(x) x1x22x3

x12x22x3x12x22x3>>fun='->>>>A=[-1-2-2;12>>>>x fval-二次規(guī)劃問題（quadraticprogramming）

1xHxfxAxAeqxbeqlbxub其中，H、A、Aeq為矩陣，f、b、beq、lb、ub、x為向量5.x版中的qp函數(shù)已被6.0版中的函數(shù)qurog取代函 格 x= %其中H,f,A,b為標準形中的參數(shù)，x為目x=qu %Aeq,beq滿足等約束條Aeqxbeqx= lb,ub分別為解x同

xqurog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)%x0x=qurog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)%options[x,fval]=qurog(…)%fval為目標函數(shù)最優(yōu)[x,fval,exitflag]=qurog(…)%exitflag與線性規(guī)劃中參數(shù)意義相[x,fval,exitflag,output]=qurog(…)%output與線性規(guī)劃中參數(shù)[x,fval,exitflag,output,lambda]=qurog(…)%lambda例5- 求解下面二次規(guī)劃問

2 x1x2x12x22x1x20 0f(x1xHxfx則H 1，f2，xx1 2

中實現(xiàn)如下>>H=[1-1;-12]>>f=[-2;->>A=[11;-12;2>>b=[2;2;>>lb=>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=qurog(H,f,A,b,[],[x= fval %-exitflag= outputiterations:algorithm:'medium-scale:active-set'orderopt:[]iterations:[]lambda=lower:[2x1double]upper:[2x1double]eqlin:[0x1double]ineqlin:[3x1>>lambda.ineqlinans=0>>lambda.lowerans=00說 第1、2個約束條件有效，其余無效例5-9 f(x1,x2)=x1x2+3

x1

x2 中實現(xiàn)如下>>Aeq=[1>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=qurog(H,f,[],[xfval-exitflag1outputorderopt:iterations:cgiterations:algorithm:[1x58lambdaeqlin:1.0000ineqlin:[]lower:[upper:[ fx C(x)Ceq(x)0AxbAeqxbeqK1(x,w1)K2(x,w2)…Kn(x,wn)w1,w2,,wn2的向量。MTALAB5.xseminf函數(shù)格式x=x=x=x=x=fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)[x,fval]=fseminf(…)[x,fval,exitflag]=[x,fval,exitflag,output]=fseminf(…)[x,fval,exitflag,output,lambda]=fseminf(…)參數(shù)說明：x0funA、b由線性不等式約束AxbA=[]，b=[]；Aeq、beq由線性等式約束AeqxbeqAeq=[]，beq=[

Lb、ubx的范圍lbxuboptionsnthetaseminfcon用來確定非線性約束向量C和Ceq以及半無限約束的向K1，K2，…，Kn，通過指定函數(shù)柄來使用，如：x=先建立非線性約束和半無限約束函數(shù)文件，并保存為function[C,Ceq,K1,K2,…,Kntheta,S]=%Sw% S= %Sntheta2w1= %w2= %…wntheta= %K1= %xw1K2= %xw2…Kntheta=…%xwnthetaC=… %在x處計算非線性不等式約束值Ceq=… %在x處計算非線性等式約束值如果沒有約束，則相應的值取為“[]，如Ceq=[]fvalx處的目標函數(shù)最小值；exitflag為終止迭代的條件；output為輸出的優(yōu)化信息；lambdaxLagrange乘子。例5- 求下面一維情形的最優(yōu)化問x

f(x)(x10.5)2(x20.5)2(x3K1(x,w1)sin(w1x1)cos(w1x2)1(w150)2sin(w1x3)x3K2(x,w2)sin(w2x2)cos(w2x1)1(w250)2sin(w2x3)x31w11w2K1(x,w1)sin(w1x1)cos(w1x2)1(w150)2sin(w1x3)x31K2(x,w2)sin(w2x2)cos(w2x1)1(w250)2sin(w2x3)x31function[C,Ceq,K1,K2,S]=mycon(X,S)% S= 0; %w1=w2=% %C=[];Ceq=[%plot(w1,K1,'-',w2,K2,':'),title('Semi-infinite然后 命令窗口或編輯器中建立M文件fun='sum((x-x0=[0.5;0.2;0.3]; %Startingguess[x,fval]=fseminf(fun,x0,2,@mycon)xfval>>[C,Ceq,K1,K2]mycon %ans=-ans=-5-例5- x

f(x)(x10.2)2(x20.2)2(x3K1(x,w)sin(w1x1)cos(w2x2)1(w150)2sin(w1x3)x3sin(w2x2)cos(w1x1)1(w250)2sin(w2x3)x31w11w2x0=[0.25,0.25,0.25]function[C,Ceq,K1,S]=mycon(X,S)% s=[22];%w1x=w1y=[wx,wy]=% %C=[];Ceq=[%m=surf(wx,wy,K1,'edgecolor','none','facecolor','interp');camlightheadlighttitle('Semi-infiniteconstraint')然后 命令窗口下鍵入 令>>fun='sum((x->>x0=[0.25,0.25, 結(jié)果為（如圖x fval

5->>[c,ceq,K1] %ans=-x

C(x)Ceq(x)0AxbAeqxbeqlbxub其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq為矩陣，C(x)、Ceq(x)F(x)在5.x中，它的求解由函數(shù)minmax實現(xiàn)函 格 x=x=x=x=x=x=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)[x,fval,maxfval]=fminimax(…)[x,fval,maxfval,exitflag]=fminimax(…)[x,fval,maxfval,exitflag,output]=fminimax(…)[x,fval,maxfval,exitflag,output,lambda]=fminimax(…)參數(shù)說明：funx0Ab滿足線性不等約束AxbA=，b=[；lb、ub滿足lbxublb=[]，ub=[]；nonlconx來計算非線性不等約束Cx0等式約束Ceqx)0xCCeq先建立非線性約束函數(shù)，并保存為mycon.m：function[C,Ceq]=C= %x處的非線性不等約束Cx0Ceq= %x處的非線性等式約束Ceqx)0optionsfval為最優(yōu)點處的目標函數(shù)值；maxfvalx處的最大值；exitflag為終止迭代的條件；lambdaLagrangeoutput例5- 求下列函數(shù)最大值的最小化問[f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),f5(x)12 其中f1(x2x2x212

22f2(x)x222f3(x)x13x2 f5(x)x1x2myfun.m：functionfmyfun(x)f(1)=2*x(1)^2+x(2)^2-48*x(1)-40*x(2)+304;f(2)=-x(1)^2-f(3)=x(1)+3*x(2)-f(4)=-x(1)-f(5)=x(1)+x(2)-x0=[0.1; %[x,fval]=xfval - - - -例5-13 目標函數(shù)為：[|f1(x)|,|f2(x)|,|f3(x)|,|f4(x)|,|f5(x)|]解：先建立目標函數(shù)文件（與上例相同M>>x0=[0.1; %>>options %>>[x,fval]=fminimax(@myfun,x0,[],[],[],[],[],[],[xfval - - - - [f1(x),f2(x),m gj(x) x(x1x2,xn)，在同一約束下，當目標函數(shù)處于狀態(tài)時，不存在最優(yōu)解x使所有目標函數(shù)同時達到最優(yōu)。此時使用有效解，即如果不存在xS，使得fi(x)fi(x*)，i=1,2,…m,x* 中，多目標問題的標準形式 x, F(x)weightC(x)0AxbAeqx其中：x、b、beq、lb、ub是向量；A、Aeq為矩陣；C(x)、Ceq(x)F(x)是返回向量的函數(shù)；F(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非線性函數(shù)；weight為權(quán)值系數(shù)向為一個松弛因子標量；(x)為多目標規(guī)劃中的目標函數(shù)向量。在5.x中，它的最優(yōu)解由attgoal函數(shù)實現(xiàn)函 格 x=x=x=x=x=x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)[x,fval]=fgoalattain(…)[x,fval,attainfactor]=[x,fval,attainfactor,exitflag]=fgoalattain(…)[x,fval,attainfactor,exitflag,output]=fgoalattain(…)[x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda]=fgoalattain(…)x0funfun

goalweightA、b滿足線性不等式約束AxbA=[]，b=[]Aeq、beq滿足線性等式約束AeqxbeqAeq=[，beq；lb、ublbxub；nonlconx來計算非線性不等約束Cx0等式約束Ceqx)0xCCeq )建立非線性約束函數(shù)，并保存為mycon.m：function [C,Ceq]=C= %計算x處的非線性不等式約束Cx0Ceq= %x處的非線性等式約束Ceqx)0optionsfvalx處的值；attainfactorx處的目標規(guī)劃因子；exitflag為終止迭代的條件；outputlambda為解x處的Lagrange乘子例5-14 Axy 0

0A

10

B

22

C01 01x(ABKC)xBuyCx

4Kij

(i,j1,functionF=F=sort(eig(A+B*K*C)); %估計目標函數(shù)值A=[-0.500;0-210;01-B=[10;-22;0C=[100;00K01-1;1- %goal=[-5-3-1]; %為閉合環(huán)路的特征值（極點）設置目標值向weight %lb=- %ub= %options=optimset('Display','iter'); %設置顯示參數(shù)：顯示每次迭代的輸 Step- 1 1- -Hessian - -Hessianmodified -1- - -Hessian - -4.25e-Hessian - -Hessianmodified - -Hessian -1 - Hessianmodified - -1.22e-HessianmodifiedOptimizationterminatedSearchdirectionlessthan2*options.TolXandumconstraintviolationislessthanoptions.TolConActive1249K- -- -fval---attainfactor-x

1Cxd AxAeqxbeqlbxub其中：C、A、Aeq為矩陣；d、b、beq、lb、ub、x是向量。在5.x中，約束線性最小二乘用函數(shù)conls求解。 x=lsqlin(C,d,A,b) %求在約束條件Axb下，方程Cx=d的最小二乘解x。x= %Aeq、beq滿足等式約束Aeqxbeq若沒有不等式約束，則設A=[]，b=[]。x= %lb、ub滿足lbxub，若沒有Aeq，beq=[x= x0xlb=[，ub=[]x= options數(shù)件

[x,resnorm]=lsqlin(…) %resnorm=norm(C*x-d)^2，即2-范數(shù)。[x,resnorm,residual]=lsqlin(…) [x,resnorm,residual,exitflag]= %exitflag為終止迭代的[x,resnorm,residual,exitflag,output]= %output[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]= %lambdaxLagrange例5-15 Axblbxx 0.0578;0.3528;0.8131;0.0098; d=Ab=[0.5251;0.2026;lb=-0.1*ones(4,1);ub=2*ones(4,1);[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqlin(C,d,A,b,[],[x--resnormresidual-exitflag %xoutputiterations:algorithm:'medium-scale:active-set'orderopt:[]iterations:[]lambda=lower:[4x1double]upper:[4x1double]eqlin:[0x1double]ineqlin:[3x1lambda.ineqlin非線性數(shù)據(jù)（曲線）, 1F(x,xdata)ydata21(F(x,xdatai)ydatai 2在5.x中，使用函數(shù)curvefit解決這類問題。 格 x=x=x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)[x,resnorm]=lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual]=lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag]=lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag,output]=lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian]=lsqcurvefit(…)x0為初始解向量；xdata，ydataydata=F(x,xdata)的數(shù)據(jù)；lb、ub為解向量的下界和上界lbxublb=[]，ub=[

options 為擬合函數(shù)，其定義方式為： 其中myfun已定義 functionF=F= %xfunresnorm=sum((fun(x,xdata)-ydata).^2)xresidual=fun(x,xdata)-ydataxexitflagoutputlambdaxLagrangejacobianxfunjacobian例5- 求解如下最小二乘非線性擬合問xdataydatan 2 n

即目標函數(shù)為x

1(F(x,xdatai)22x0=[0.3,0.4,0.1]functionF=myfun(x,xdata)F=x(1)*xdata.^2+x(2)*sin(xdata)+xdata和>>xdata=[3.67.79.34.18.62.81.37.910.0>>ydata=[16.5150.6263.124.7208.59.92.7163.9325.0>>x0=[10,10, %>>[x,resnorm]=OptimizationterminatedRelativefunctionvaluechangingbylessthanOPTIONS.TolFunx= resnorm非線性最小二乘（非線性數(shù)據(jù)擬合）x

f(x)f1(x)2f2(x)2fm(x)2其中：L在5.x中，用函數(shù)leastsq解決這類問題，在6.0版中使用函f1(x)f2(x)設F(x) fm(x) 則目標函數(shù)可表達為 1F(x)21fi 2其中：x為向量，F(xiàn)(x)函數(shù)格式x=lsqnonlin(fun,x0)%x0為初始解向量；fun為fi(x，i=1,2,…,m，x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub)%lb、ub定義x的下界和上界：lbxubx=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options) lb=[]，ub=[]。[x,resnorm]lsqnonlin(…)%resnorm=sum(fun(x).^2)x

[x,resnorm,residual]lsqnonlin(…)%residual=fun(x)xfun[x,resnorm,residual,exitflag]=lsqnonlin(…)%exitflag為終止迭代[x,resnorm,residual,exitflag,output]lsqnonlin(…)%output[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] %lambdaLagrage %funxJacobian例5- 求下面非線性最小二乘問題(22kekx1ekx2)2初始解向量x0=[0.3,0.4]式而不是平方和形式，因此，myfun函數(shù)應由fi(x)建立：fk(x)22kekx1ekx2 F=myfun(x)k=1:10;

F=2+2*k-exp(k*x(1))-x0=[0.3[x,resnorm]=OptimizationterminatedNormofthe