中學(xué)物理學(xué)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題上

中學(xué)物理學(xué)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"引言:中學(xué)數(shù)學(xué)與物理關(guān)系ー窺 3\o"CurrentDocument"第一章比例、方程與方程組在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用舉例 6!比例法在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 62力學(xué)中的方程與方程組應(yīng)用舉例 93穩(wěn)恒電流中方程與方程組問(wèn)題 174電磁場(chǎng)中的方程與方程組應(yīng)用舉例 19\o"CurrentDocument"第二章函數(shù)的性質(zhì)在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 221函數(shù)的定義域在物理學(xué)研究中的作用 222函數(shù)的值域在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 273一次函數(shù)在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 284線性回歸在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 325二次函數(shù)與一元二次方程在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 33\o"CurrentDocument"6分段函數(shù)在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 397函數(shù)的單調(diào)性在中學(xué)物理學(xué)應(yīng)用及其局限性 428函數(shù)的周期性在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 46\o"CurrentDocument"第三章導(dǎo)數(shù)和定積分在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 501利用導(dǎo)數(shù)求某些物理量的變化率問(wèn)題 502利用導(dǎo)數(shù)求某些物理量的最值問(wèn)題 563定積分及其在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用（選學(xué)） 624極限思想在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用（選學(xué)） 66\o"CurrentDocument"第四章不等式在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 721不等式的解法在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 722利用均值不等式求最值在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 773判別式在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 834線性規(guī)劃在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用（選學(xué)） 87第五章三角函數(shù)在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 87!銳角三角函數(shù)在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 882同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 933三角函數(shù)的單調(diào)性在中學(xué)物理學(xué)的應(yīng)用 1004三角函數(shù)的值域在物理學(xué)中的應(yīng)用 1035三角函數(shù)的圖象在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 1066反三角函數(shù)在中學(xué)物理學(xué)中的運(yùn)用 1097兩角和與差的三角函數(shù)公式在物理學(xué)中的應(yīng)用 1168輔助角公式在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 1199二倍角公式在物理學(xué)中的應(yīng)用 12310半角公式在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 12611積化和差、和差化積公式的應(yīng)用（選學(xué)） 128\o"CurrentDocument"12正弦定理和余弦定理在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用 130\o"CurrentDocument"13三角函數(shù)在幾何光學(xué)中的應(yīng)用 138引言一一中學(xué)數(shù)學(xué)與物理關(guān)系ー窺數(shù)學(xué)作為ー門工具,在高中物理的學(xué)習(xí)中時(shí)時(shí)存在數(shù)學(xué)方法的影子,在解題的過(guò)程中,除了面對(duì)物理知識(shí)的考察和理解外,可能也面臨著數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)知識(shí)的考驗(yàn)，而有時(shí)數(shù)學(xué)方法的使用對(duì)解題能力的提升起到關(guān)鍵的作用.新的高中物理學(xué)科的考試說(shuō)明對(duì)學(xué)生的能力考核從五個(gè)方面提出了具體的要求:ー是理解能力，二是推理能力,三是分析綜合能力，四是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力,五是實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?，尤其是?chuàng)新實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?其中對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力具體說(shuō)明是:要求學(xué)生能夠根據(jù)具體問(wèn)題列出物理量之間的關(guān)系式,進(jìn)行相關(guān)推導(dǎo)和求解,并根據(jù)計(jì)算結(jié)果得出物理結(jié)論:必要時(shí)能靈活運(yùn)用幾何圖形、圖像或函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行表達(dá)、分析.物理學(xué)利用種種數(shù)學(xué)表述手段為理論和實(shí)踐開辟道路、使物理學(xué)的結(jié)論可隨時(shí)加以嚴(yán)格檢驗(yàn).華東師大朱鉱雄教授說(shuō)得好：“與歐幾里得幾何學(xué)的‘公理’不同的是，與幾何學(xué)相比,物理學(xué)有著附加的約束：它必須與真實(shí)世界相符?！备咧形锢碇匾暥糠治?，要用到數(shù)學(xué)方面的知識(shí),數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的好壞直接影響著物理成績(jī)的高低.比如在談到力的正交分解時(shí)要涉及到平面直角坐標(biāo)系和三角函數(shù)的知識(shí).而勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律中就是一次函數(shù)和二次函數(shù)及有關(guān)圖象的斜率問(wèn)題.還有研究電磁感應(yīng)的感應(yīng)電流和感應(yīng)電壓時(shí),也經(jīng)常用函數(shù)圖象來(lái)表示,例如在力學(xué)中,我們可以從不同角度來(lái)研究力的作用效應(yīng)，每種效應(yīng)分別對(duì)應(yīng)相應(yīng)的規(guī)律，這便構(gòu)成了力學(xué)的三條主線.力的瞬時(shí)作用效應(yīng)，是使物體產(chǎn)生相應(yīng)的加速度,對(duì)應(yīng)規(guī)律牛頓第二定律F=ma的數(shù)學(xué)表達(dá)式.カ的時(shí)間積累效應(yīng)，是使物體的動(dòng)量發(fā)生改變,對(duì)應(yīng)規(guī)律動(dòng)量定理F?t=P'-P的數(shù)學(xué)表達(dá)式.カ的空間積累效應(yīng)，是使物體的動(dòng)能發(fā)生改變,對(duì)應(yīng)規(guī)律動(dòng)能定理W=El氏的數(shù)學(xué)表達(dá)式.我們要訓(xùn)練學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題的已知條件出發(fā),適當(dāng)?shù)剡x擇物理規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題.特別是近幾年來(lái)高考對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)能力的考查要求提高了，所以對(duì)一些在高中物理中要用到的數(shù)學(xué)知識(shí)，如ー次函數(shù)圖象、圖線的斜率和截距、幾何中心、三角函數(shù)、解比例、二次函數(shù)的極值等等，都有必要進(jìn)行補(bǔ)充復(fù)習(xí)和訓(xùn)練，培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)表達(dá)能力.數(shù)學(xué)是與物理聯(lián)系最為緊密的學(xué)科之一,隨著高考改革的深入及素質(zhì)教育的全面推開，各學(xué)科之間的滲透不斷加強(qiáng)，作為對(duì)理解能力和演繹推理能力及運(yùn)算能力都有很高要求的物理學(xué)科，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要隨時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)和物理內(nèi)容的整合.所謂的思而不學(xué)則罔,學(xué)而不思則殆，物理的數(shù)學(xué)和物理的哲學(xué)分別就是學(xué)與思.運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題的能力，主要指兩個(gè)方面.一是從物理現(xiàn)象與過(guò)程出發(fā),經(jīng)過(guò)概括、抽象，把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題;二是綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí),例如比例關(guān)系、函數(shù)關(guān)系、不等式關(guān)系、幾何關(guān)系、極值關(guān)系等,正確、簡(jiǎn)潔地進(jìn)行有關(guān)問(wèn)題的求解.數(shù)學(xué)知識(shí)不僅是解決物理問(wèn)題的工具，本身也是ー種物理思維方法.具體地講,物理中考查的主要數(shù)學(xué)方法有：.圖象處理能力（1）給定圖象圖表信息,要求學(xué)生提取信息并處理，尋找規(guī)律.每年的物理試題中都會(huì)有大量的圖表圖例,包括示意圖、各種規(guī)律圖象、數(shù)據(jù)列表等，尤其是是些空間立體示意圖,要求學(xué)生從這些圖表圖象示意圖中獲取相關(guān)的信息ー即讀圖的能力;（2）用圖象描述物理規(guī)律.要求學(xué)生用圖象來(lái)描述物理現(xiàn)象、物理規(guī)律、計(jì)算結(jié)果等.如描述線框進(jìn)入有界磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電流或感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間的變化圖線（全國(guó)髙考多次考查,是學(xué)生的難點(diǎn)），實(shí)驗(yàn)題中的描點(diǎn)連線等;（3）用圖象法解決物理問(wèn)題.圖象法解題屬于物理解題方法與技巧,是ー種非常好的物理思維方法.如速度一時(shí)間圖象、位移ー時(shí)間圖象、加速度ー時(shí)間圖象、磁通量一時(shí)間圖象、感應(yīng)電流或電動(dòng)勢(shì)ー時(shí)間圖象、分子力一分子間距離圖象、分子勢(shì)能一分子間距離圖象、彈簧彈カ一變化量圖象等,由于這些圖象能生動(dòng)形象、一目了然地反映問(wèn)題，因此,若能巧妙地運(yùn)用對(duì)解題帶來(lái)很多方便.特別是動(dòng)力學(xué)綜合題中運(yùn)用速度一時(shí)間圖象是ー種很好的輔助方法.（4）輔助法比如運(yùn)動(dòng)過(guò)程草圖、受力分析圖、電路圖、光路圖、原子能級(jí)躍遷圖等,都是解題過(guò)程中的一種輔助手段,若能熟練地畫出相應(yīng)的輔助圖,對(duì)解題帶來(lái)很大的幫助。.特殊數(shù)學(xué)思維方法在物理解題中要經(jīng)常用于ー些比較特殊的數(shù)學(xué)方法,比如數(shù)學(xué)歸納法（碰撞或往復(fù)運(yùn)動(dòng)模型中常見(jiàn)），正弦定理法（靜力學(xué)三カ平衡且三カ不是直角三角形時(shí)多見(jiàn)），相似三角法,三角函數(shù)極值法，二次函數(shù)判別式法（追趕問(wèn)題、求極值問(wèn)題等中多見(jiàn)）,不等式法（判斷題中多見(jiàn)），數(shù)列和二項(xiàng)式定理（能級(jí)躍遷求光子種類等中多見(jiàn)）,數(shù)形結(jié)合法（力學(xué)和電學(xué)中多見(jiàn)）,等等.還比如圓的對(duì)稱性及相關(guān)知識(shí)的運(yùn)用就是個(gè)重要的物理方法，如帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)求半徑、求圓心、畫運(yùn)動(dòng)軌跡、判斷相關(guān)的角度（如進(jìn)入磁場(chǎng)邊界時(shí)的對(duì)稱性）等,求相關(guān)極值,如圓形磁場(chǎng)的最小面積（最大弦長(zhǎng)對(duì)應(yīng)最小磁場(chǎng)面積）等。.估算法在物理學(xué)中經(jīng)常用到估算的辦法和近似的辦法以及小量的處理辦法.數(shù)學(xué)研究的是數(shù)量關(guān)系和幾何形態(tài),而這些必須是以自然界的物質(zhì)及其運(yùn)動(dòng)為對(duì)象的.離開了現(xiàn)實(shí)世界，數(shù)學(xué)研究就沒(méi)有意義,即使是數(shù)論和數(shù)理邏輯等抽象數(shù)學(xué)分支也不能例外.數(shù)學(xué)是解決物理問(wèn)題的工具，是精確表述物理現(xiàn)象及其規(guī)律的語(yǔ)言，而不是向大自然發(fā)號(hào)施令的權(quán)杖.美國(guó)物理教師協(xié)會(huì)（AAPT）在1988年發(fā)表《中學(xué)物理課程內(nèi)容》的報(bào)告中指出:“應(yīng)當(dāng)讓中學(xué)生體驗(yàn)到物理學(xué)是ー門發(fā)展中的科學(xué),是現(xiàn)代前沿科學(xué)中最為激勵(lì)人心的學(xué)科之一.”數(shù)學(xué)和物理學(xué)的相互影響和促進(jìn),在整個(gè)近代科學(xué)史的發(fā)展過(guò)程中具有根本意義.不僅物理學(xué)離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)也離不開物理學(xué)。早在20世紀(jì)30年代狄拉克就認(rèn)為,基礎(chǔ)物理學(xué)是通過(guò)越來(lái)越能體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美的理論取得進(jìn)展的。數(shù)學(xué)、物理本是科學(xué)的李生子，有著共同的根源,幾個(gè)世紀(jì)以來(lái),它們沿著各自的脈絡(luò)發(fā)展，至今已門類林立，內(nèi)容迥異.然而，今天應(yīng)用的數(shù)學(xué)物理方法已經(jīng)不在局限于18世紀(jì)的導(dǎo)出的方程.這些方程反映相關(guān)物理現(xiàn)象的本質(zhì)和運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律.它們的確立，體現(xiàn)了人們的認(rèn)識(shí)從表象走向本質(zhì)的飛躍，是這些學(xué)科走向成熟的ー個(gè)標(biāo)志.當(dāng)我們沉湎于具體方程的研究和學(xué)習(xí)時(shí),往往并不滿足于這些方程抽象的表述形式和單純的理論探討，而迫切需要熟悉它們物理現(xiàn)象的本源,了解它們的物理和數(shù)學(xué)的直觀意義，以便進(jìn)ー步開拓思維，把握實(shí)質(zhì)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系,找到新的靈感.但要做到這一點(diǎn)，在今天已經(jīng)太不容易了，因?yàn)樗麄兠媲笆且粭l橫在數(shù)學(xué)與物理學(xué)兩大學(xué)科之間的鴻溝.自然界中的一切事物都是質(zhì)和量的統(tǒng)一體,認(rèn)識(shí)世界的重要途徑是對(duì)事物進(jìn)行質(zhì)和量的考察,量變到質(zhì)變是事物發(fā)展的普遍規(guī)律.反映事物本質(zhì)屬性及其規(guī)律的物理學(xué),不僅應(yīng)有正確的定性描述,還必須準(zhǔn)確地刻畫出量的變化規(guī)律,而且也只有當(dāng)物理學(xué)由定性進(jìn)入到定量的階段,オ算是真正把握住了事物的質(zhì)，オ標(biāo)志著物理學(xué)已經(jīng)成熟,這當(dāng)然離不開數(shù)學(xué).物理學(xué)逐漸發(fā)展成為一門成熟的自然科學(xué),它不僅用實(shí)驗(yàn)方法代替了以往整體的觀察法而且引進(jìn)了數(shù)學(xué)方法.在物理學(xué)研究中針對(duì)研究對(duì)象不同的特點(diǎn),運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、方法和技巧,對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行量的分析、描述、計(jì)算和推導(dǎo),從而找出能以數(shù)學(xué)形式表達(dá)事物的量的規(guī)律性.為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的工具性和實(shí)用性,加強(qiáng)學(xué)科間的滲透,并由此強(qiáng)化對(duì)學(xué)生的能力考查,我們編輯本書時(shí)特別注意兩點(diǎn):ー不求全,物理學(xué)作為ー門學(xué)科,觸及的領(lǐng)域相當(dāng)?shù)膹V泛,所涉及的知識(shí)面也十分的復(fù)雜.由于方程與方程組、銳角的三角函數(shù)、比例在物理學(xué)中應(yīng)用得最多,而且在化學(xué)課中方程、比例也經(jīng)常應(yīng)用，同學(xué)們也比較熟悉，不寫難以保證其完整性，因此本書略寫.陸游在《次韻和楊伯子見(jiàn)贈(zèng)》中所要求的:“文章最忌百家衣，火龍觸敲（fufu）世不知.誰(shuí)能養(yǎng)氣塞天地,吐出自足成虹霓.”對(duì)ー門學(xué)科的ー個(gè)體系或者ー個(gè)對(duì)象進(jìn)行研究,所要掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)也是要相當(dāng)豐富的，采取的手段和方法也要準(zhǔn)確、有意義.本書選題僅涉及中學(xué)物理學(xué)中數(shù)學(xué)問(wèn)題的冰山一角,難以對(duì)浩如煙海的物理學(xué)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題做全面的概括;康托曾經(jīng)講過(guò):'’在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,提出問(wèn)題的藝術(shù)比解答問(wèn)題的藝術(shù)更為重要.數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于其自由.”海森堡講:“提出正確的問(wèn)題往往等于解決了問(wèn)題的大半.”李政道講:“對(duì)于科研工作者來(lái)說(shuō)，最重要的是自己會(huì)不會(huì)提出問(wèn)題.”本書僅僅是提出這些問(wèn)題拋磚引玉，供同學(xué)們思考.有些內(nèi)容應(yīng)用頻率較低，本書沒(méi)有單列,例如排列組合在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用較少，但并不是沒(méi)有應(yīng)用，例如原子能級(jí)的躍遷發(fā)射或者吸收光子的種類為CM,其它實(shí)例不再列舉.著名物理學(xué)家巴丁(J.Bardeen)的一段話很有啟發(fā)性:“處在這日益專業(yè)化的時(shí)代之中，得以認(rèn)識(shí)到基本物理概念可能應(yīng)用于一大批看起來(lái)五花八門的問(wèn)題,是令人欣慰的。在理解某ー領(lǐng)域所獲得的進(jìn)展常?？梢詰?yīng)用于其他領(lǐng)域。這不僅對(duì)材料科學(xué)的眾多領(lǐng)域是確實(shí)的，對(duì)廣義而言的物質(zhì)結(jié)構(gòu)亦復(fù)如此。作為闡述的例證，為理解磁性、超流性和超導(dǎo)性所發(fā)展的概念也被推廣應(yīng)用于眾多的領(lǐng)域，如核物質(zhì),弱與電磁相互作用，高能物理學(xué)的夸克結(jié)構(gòu)與眾多的液晶相”。德馳認(rèn)為:“數(shù)學(xué)只能揭示抽象對(duì)象的真相.而物理學(xué)與其說(shuō)是試圖研究這些對(duì)象,還不如說(shuō)是發(fā)現(xiàn)哪個(gè)對(duì)象更符合現(xiàn)實(shí).據(jù)我們所知,迄今為止，我們用來(lái)構(gòu)建物理學(xué)理論的純數(shù)學(xué)的比例非常小.”例如粒子和場(chǎng)以及空間和時(shí)間之間的所有關(guān)系都能用一系列可在圖靈機(jī)(圖靈機(jī)是我們目前廣泛使用的計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ))上計(jì)算出來(lái)的數(shù)學(xué)運(yùn)算表示出來(lái).但是,德馳指出,為了在獲得萬(wàn)物之理這條路上取得進(jìn)步,我們可能需耍進(jìn)入一些目前無(wú)法由計(jì)算機(jī)計(jì)算出來(lái)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域.而且德馳進(jìn)ー步表示,我們必須摒棄過(guò)去幾個(gè)世紀(jì)里已經(jīng)讓我們?nèi)〉镁薮筮M(jìn)步的一個(gè)想法,那就是,如果我們從數(shù)學(xué)開始進(jìn)行研究,現(xiàn)實(shí)也會(huì)跟著數(shù)學(xué)方法走.相反，我們必須首先用我們對(duì)物理宇宙的理解來(lái)解決問(wèn)題,也即宇宙中的物質(zhì)正在慢慢減少，或者為什么引力比其他作用力更加微弱等:另外,我們也要盡力弄清楚,我們的宇宙觀發(fā)生什么變化才能解決這個(gè)問(wèn)題.德馳指出：“很多理論物理學(xué)家們?cè)噲D首先用數(shù)學(xué)方法開始,但這根本無(wú)濟(jì)于事,永遠(yuǎn)不會(huì)成功.”二不求難，中學(xué)物理學(xué)難度之大關(guān)鍵在于大量應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，我們僅就大部分學(xué)生能夠接受的問(wèn)題進(jìn)行分析研究，起到拋成引玉的作用,主要是讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與物理學(xué)的關(guān)系,為將來(lái)的學(xué)習(xí)與研究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).本書初步歸納出了中學(xué)物理學(xué)中的幾個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,以數(shù)學(xué)問(wèn)題為主線展開.為了便于學(xué)生閱讀,書中涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)均為中學(xué)數(shù)學(xué)范圍之內(nèi),由于涉及高中數(shù)學(xué)和物理學(xué)的全部?jī)?nèi)容,因此本書適用于高三學(xué)生閱讀.由于時(shí)間倉(cāng)促，錯(cuò)誤在所難免,懇請(qǐng)廣大讀者給予斧正，聯(lián)系方式一diancizhi1iang@163.com.第一章比例、方程與方程組在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用舉例.比例法在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用所謂比值定義法.就是用兩個(gè)基本的物理量的“比”來(lái)定義一個(gè)新的物理量的方法.一般地,比值法定義的基本特點(diǎn)是被定義的物理量往往是反映物質(zhì)最本質(zhì)的屬性,它不隨定義所用的物理量的大小取舍而改變.在初中就有過(guò)物質(zhì)密度的定義，電阻的定義,到高中進(jìn)ー步滲透這種方法,如確定的電場(chǎng)中的某一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)就不隨q、F而變;電容C的定義,用電荷量Q與電勢(shì)差U的比值來(lái)定義，但電容C是由電容本身決定的，與Q和U無(wú)關(guān);到后面的電勢(shì)、電勢(shì)差、磁通密度等都用這種方法來(lái)定義，當(dāng)然用來(lái)定義的物理量也有一定的條件,如q為點(diǎn)電荷，S為垂直放置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的一個(gè)面積等.類似的比值還有:壓強(qiáng)、速度、功率等等,就這樣把這種定義物理量的方法滲透在整個(gè)物理學(xué)中.比例是最基本也是最常用的數(shù)學(xué)建模方法之一.在物理學(xué)中有很多是基于這種方法而得到的公式,例如牛頓第二定律尸=儂,虎克定律尸=〃s,(虎克定律:彈カ大小與形變成正比).比例計(jì)算法可以避開與解題無(wú)關(guān)的量，直接列出已知和未知的比例式進(jìn)行計(jì)算,使解題過(guò)程大為簡(jiǎn)化.應(yīng)用比例法解物理題，要討論物理公式中變量之間的比例關(guān)系,要清楚公式的物理意義和每個(gè)量在公式中的作用,以及所要討論的比例關(guān)系是否成立.同時(shí)要注意以下幾點(diǎn).(1)比例條件是否滿足.物理過(guò)程中的變量往往有多個(gè),討論某兩個(gè)量間的比例關(guān)系時(shí)要注意只有其他量為常量時(shí)オ能成比例.(2)比例是否符合物理意義.不能僅從數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)看物理公式中各量的比例關(guān)系,要注意每個(gè)物理量的意義.(如不能根據(jù)れフ認(rèn)定電阻與電壓成正比)(3)比例是否存在.討論某公式中兩個(gè)量的比例關(guān)系時(shí)，要注意其他量是否能認(rèn)為是不變量.如果該條件不成立,比例也不能成立.(如在串聯(lián)電路中，不能認(rèn)為戶中タ與??成反比，因?yàn)??變化1\的同時(shí)，む也隨之變化而并非常量)許多物理量都是用比值法來(lái)定義的,常稱之為“比值定義”.如密度。ギ導(dǎo)體的電阻/iヰ，電容器的電容C鼻接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃=￡,電場(chǎng)強(qiáng)度ム=ラ等.它們的共同特征是:被定義的物理量是反映物體或物質(zhì)的屬性和特征的,它和定義式中相比的物理量無(wú)關(guān).通過(guò)數(shù)學(xué)推理的方法使復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單化.我們常遇到有些綜合題所反映的物理過(guò)程往往比較復(fù)雜，其中,有些物理量是并不要求解出的,但它在解題中恰恰又需要，這樣的物理量稱作中間量.對(duì)中間量的處理如果我們指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行推導(dǎo)，往往這些中間量不但不需要計(jì)算出來(lái)，甚至還可以不需要在解題過(guò)程中體現(xiàn)，可舍去反復(fù)套用公式的過(guò)程，免去不必要的中間量計(jì)算，從而減少大量的計(jì)算,使解題既科學(xué)又簡(jiǎn)捷.例1ー支刻度均勻，但讀數(shù)不準(zhǔn)的溫度計(jì)，在1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，放入沸水中示數(shù)為94ヒ，放在冰水混合物中示數(shù)為4℃,用它測(cè)教室溫度為22℃,求教室內(nèi)實(shí)際溫度.利用數(shù)學(xué)比例法較為方便,由題意可列比例計(jì)算.絲ニさ=型二±,解得t=20℃.100t例2A,B兩球的密度之比是4:3,質(zhì)量之比是5:3,如果把它們同時(shí)浸沒(méi)在同一種液體之中.它們受到的浮力之比是多少?解析：本題不知質(zhì)量和密度的具體數(shù)值，又不知道浸沒(méi)在何種液體之中,無(wú)法求出兩球受到的具體浮力.但是知道質(zhì)量和密度的關(guān)系,要確定它們受到的浮力之比，只有通過(guò)已知的比值關(guān)系來(lái)解決.答：它們的浮力之比是5：4.

例3ー個(gè)物體浸沒(méi)于煤油中受到的浮力為7.84N,若將它浸沒(méi)于水中,它受到的浮力為多大?解:由于排開液體體積相同,都等于物體體積,又g為常數(shù),由公式ド浮=0液gV排可知汽浮與。液成正比,所以:絲=得:F="咒=1.。とI。ア5./二;x7.84N=9.8NF油。油 水。油O.8xlOUg/ガ例4ー標(biāo)有“220V100W”字樣的白熾燈泡接入到240V的電路中，其實(shí)際功率為多少?解;由于燈絲的電阻R為常數(shù)，由公式P=?一可知P與。2成正比，所以:R-ーー-；2x100W?119W220VR.Ul,U.j./Uセ、2-ーー-；2x100W?119W220V/U額 U額 U額例5通過(guò)一理想變壓器，經(jīng)同一線路輸送相同的電功率P,原線圈的電壓U保持不變，輸電線路的總電阻為R.當(dāng)副線圈與原線圈的匝數(shù)比為k時(shí),線路損耗的電功率為R,若將副線圈與原線圈的匝p2數(shù)比提高到nk,線路損耗的電功率為P2,則巳和藍(lán)分別為（）PR1A?PR1A?疝公【解析】選D.由原副線圈電壓比/=（得，副線圈的電壓U'=Uk,線路損耗巳=/セ）ゝ=（匐）,同理Pz=2同理Pz=2P21

R'Pin"故D項(xiàng)正確.例6如圖所示，氣缸放置在水平平臺(tái)上,活塞質(zhì)量為10kg,橫截面積50cm：厚度1cm,氣缸全長(zhǎng)21cm,大氣壓強(qiáng)為IXltfPa,當(dāng)溫度為ブC時(shí)，活塞封閉的氣柱長(zhǎng)10cm,若將氣缸倒過(guò)來(lái)放置時(shí)，活塞下方的空氣能通過(guò)平臺(tái)上的缺口與大氣相通.g取lOm/sユ求:（1）氣柱多長(zhǎng)?（2）當(dāng)溫度多高時(shí)，活塞剛好接觸平臺(tái)（活塞摩擦不計(jì)）.PiLi=P2PiLi=P2L2L2=15cm(1)先等溫變化：Pi=Po+—=1.2X105Pa,P2=Po--=0.8X105Pas s（2）后等壓變化:ル』=（273+7）K=280K,L2=15cm,L3=20cm，點(diǎn)マ，T3^T2丁T2=373K12 13V2L2例7某位溜冰愛(ài)好者在岸上從ク點(diǎn)由靜止開始勻加速助跑，2s后到達(dá)岸邊ス處，接著進(jìn)入冰面（冰面與岸邊基本相平）開始滑行,又經(jīng)3s停在了冰上的6點(diǎn)，如圖甲所示.若該過(guò)程中他的位移是x,速度是ス受的合外力是E機(jī)械能是E,則對(duì)以上各量隨時(shí)間變化規(guī)律的描述,圖乙中正確的是（）解析:選BC.溜冰者前2s做勻加速運(yùn)動(dòng),后3s在滑動(dòng)摩擦力作用下做勻減速運(yùn)動(dòng).設(shè)最大速度為丹,則加速度大小之比為色=號(hào)=*由牛頓第二定律,合外力大小之比纟=5=*選項(xiàng)A錯(cuò)誤,B、C正確;前2s機(jī)械能增大，后3s機(jī)械能減小，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.例8如果把水星和金星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng),從水星與金星在一條直線上開始計(jì)時(shí),若天文學(xué)家測(cè)得在相同時(shí)間內(nèi)水星轉(zhuǎn)過(guò)的角度為火;金星轉(zhuǎn)過(guò)的角度為〃式出、の均為銳角），則由此條件可求得（）L……ヽ、//' ，，ベい.?水—'、、"、ー./ノ

、、.……ノA,水星和金星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期之比;B,水星和金星的密度之比C.水星和金星到太陽(yáng)的距離之比:D.水星和金星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小之比B天宮一號(hào)B天宮一號(hào)〇幾 〇ji TQ.故C【解析】選ACD.設(shè)水星、金星的公轉(zhuǎn)周期分別為￡、T2,—t=0.-1=外,アゴ,A正確.因故C不知兩星質(zhì)量和半徑,密度之比不能求,B錯(cuò)誤.由開普勒第三定律,“ （2吟2 （2吟2 a3/~^j正確.31=1-JR\,a：=l-JR>,所以キ=ヽ/萬(wàn)，D正確.例8:如題21圖所式,矩形就W0區(qū)域內(nèi)有方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng),有5個(gè)帶點(diǎn)粒子從圖中箭頭所示位置垂直于磁場(chǎng)邊界進(jìn)入磁場(chǎng)，在紙面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)軌跡為相應(yīng)的圓弧,，這些粒子的質(zhì)量,電荷量以及速度大小如下表所示.題21圖題21圖粒子編號(hào)質(zhì)量電荷量(g>0)速度大小1m2gV22m2g2v33m-3q42m2g3v52m-qV由以上信息可知,從圖中abc處進(jìn)入的粒子對(duì)應(yīng)表中的編號(hào)分別為A.3,5,4【答案】A.3,5,4【答案】DB.4,2,5C.5,3,2 D.2,4,5【解析】根據(jù)半徑公式「=つ結(jié)合表格中數(shù)據(jù)可求得1—5各組粒子的半徑之比依次為0.5：2:3Bq：3：2(說(shuō)明第一組正粒子的半徑最小,該粒子從MQ邊界進(jìn)入磁場(chǎng)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng).由圖a、b粒子進(jìn)入磁場(chǎng)也是逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),則都為正電荷,而且a、b粒子的半徑比為2：3,則a一定是第2組粒子,b是第4組粒子.c順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，都為負(fù)電荷，半徑與a相等是第5組粒子.正確答案D在實(shí)際運(yùn)用中有很多內(nèi)容,讐如對(duì)于存在某種比例關(guān)系的物理量之間,運(yùn)用比例求解往往可使過(guò)程簡(jiǎn)化.海王星發(fā)現(xiàn)過(guò)程的曲折，也許更能夠反映科學(xué)發(fā)現(xiàn)開始的試湊路徑.在1821年，AlexisBouvard出版了天王星的軌道表,隨后的觀測(cè)顯示出與表中的位置有越來(lái)越大的偏差，使得Bouvard假設(shè)有ー個(gè)攝動(dòng)體存在.但是這顆新的行星在什么地方,要發(fā)現(xiàn)它,想來(lái)就像大海撈針ー樣困難.麥克斯韋認(rèn)為:自然科學(xué)的皇后是數(shù)學(xué).把數(shù)學(xué)分析和實(shí)驗(yàn)研究聯(lián)合使用所得到的物理知識(shí)，比之ー個(gè)單純實(shí)驗(yàn)人員或單純的數(shù)學(xué)家能具有的知識(shí)更堅(jiān)實(shí),有益和鞏固..力學(xué)中的方程與方程組應(yīng)用舉例物理學(xué)是研究物質(zhì)運(yùn)動(dòng)中最基本最普遍的形式,但這些運(yùn)動(dòng)又普遍的存在于其它高級(jí)的,復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形式之中.因此可以認(rèn)為,物理學(xué)是一切自然科學(xué)的基礎(chǔ).又是當(dāng)代工程技術(shù)的重大理論支柱,這已是物理學(xué)的三次大突破,從而引起的三次工業(yè)革命的歷史所應(yīng)證.物理學(xué)是大類巨大的精神財(cái)富的寶地,在這塊寶地上不僅結(jié)出了震撼世界的花朵,而且孕育了牛頓,愛(ài)因斯坦等科學(xué)巨匠,所以這塊寶地很值得我們?nèi)ラ_墾,這些精神財(cái)富值得我們?nèi)ネ诰?去研究.力學(xué)作為ー門經(jīng)典的學(xué)科，ー開始就同人們的生活和生產(chǎn)緊密相關(guān).中學(xué)階段所學(xué)習(xí)的カ學(xué)知識(shí)，不但是為后續(xù)課程打基礎(chǔ)，也是為畢業(yè)后參加生產(chǎn)勞動(dòng)做準(zhǔn)備.力學(xué)是物理學(xué)的有機(jī)組成部分，它在物理學(xué)中占重要的位置,并且對(duì)天文學(xué)及各種工程學(xué)都有極大的貢獻(xiàn).我國(guó)古代在力學(xué)方面就已有了很多偉大的成就.希臘的亞里士多德ー他在重心、杠桿、浮力等方面均有建樹,為靜力學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).15世紀(jì)以后,歐洲興起了文藝復(fù)興使力學(xué)進(jìn)入了一個(gè)空前未有的發(fā)展階段.在15世紀(jì)到18世紀(jì)內(nèi)逐步建立了比較完整的力學(xué)系統(tǒng)理論.首先應(yīng)提到哥白尼,他提出了日心學(xué)說(shuō)引起了宇宙觀的大革命;開普勒總結(jié)了行星運(yùn)動(dòng)之定律;伽利略研究了落體和斜面運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,提出了加速度的概念，并第一次正確認(rèn)識(shí)到加速度與外部作用的關(guān)系,為動(dòng)力學(xué)的發(fā)展更定了基礎(chǔ).牛頓的《原理》無(wú)疑是物理學(xué)史中第一部劃時(shí)代的著作.他第一次用實(shí)驗(yàn)、觀察、假設(shè)和推理形成了完整的理論體系揭示相互作用和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系,而不限于對(duì)個(gè)別的現(xiàn)象和過(guò)程的描述.他運(yùn)用微積分這ー最為恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具刻畫力學(xué)規(guī)律,從而使人們通過(guò)相互作用和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的瞬時(shí)關(guān)系去認(rèn)識(shí)全過(guò)程.力學(xué)是研究物質(zhì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的ー門科學(xué).力學(xué)在整個(gè)中學(xué)物理教材中占有很重要的地位.首先,力學(xué)是物理學(xué)的基礎(chǔ).物質(zhì)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)是一切運(yùn)動(dòng)形式中最基本、最普遍的運(yùn)動(dòng)形式;每ー種較高級(jí)、較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形式都包含著簡(jiǎn)單的機(jī)械運(yùn)動(dòng).在中學(xué)物理中，力學(xué)中的一些基本概念，如カ、質(zhì)量、功和能的概念，以及力學(xué)的一些基本規(guī)律,如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)量守恒定律、能的轉(zhuǎn)化和守恒定律等，是物理學(xué)最基本、最重要的概念和規(guī)律,它們?cè)谖锢韺W(xué)中貫穿始終.研究力學(xué)的基本方法-ー以觀察、實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ),抽象、概括出物理規(guī)律,把實(shí)驗(yàn)同數(shù)學(xué)方法緊密結(jié)合起來(lái)，運(yùn)用圖像、數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)推理來(lái)表示和論證物理規(guī)律,運(yùn)用理論知識(shí)分析實(shí)際問(wèn)題等等，這也是學(xué)習(xí)物理學(xué)其它部分所必需的.總之，力學(xué)知識(shí)及其研究問(wèn)題的方法，在后繼課程中用處很大.其次,力學(xué)知識(shí)最早起源于対自然現(xiàn)象的觀察和在生產(chǎn)勞動(dòng)中的經(jīng)驗(yàn).人們?cè)诮ㄖ?、灌溉等勞?dòng)中使用杠桿、斜面、汲水器具，逐漸積累起對(duì)平衡物體受力情況的認(rèn)識(shí).古希臘的阿基米德對(duì)杠桿平衡、物體重心位置、物體在水中受到的浮力等作了系統(tǒng)研究,確定它們的基本規(guī)律，初步奠定了靜カ學(xué)即平衡理論的基礎(chǔ).古代人還從對(duì)日、月運(yùn)行的觀察和弓箭、車輪等的使用中了解ー些簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,如勻速的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng).伽利略在實(shí)驗(yàn)研究和理論分析的基礎(chǔ)上,最早闡明自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，提出加速度的概念.牛頓繼承和發(fā)展前人的研究成果（特別是開普勒的行星運(yùn)動(dòng)三定律）,提出物體運(yùn)動(dòng)三定律.伽利略、牛頓奠定了動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ).牛頓運(yùn)動(dòng)定律的建立標(biāo)志著力學(xué)開始成為ー門科學(xué).它雖然是一門古老的學(xué)科，但今天仍富有旺盛的生命力.打好經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ),對(duì)于進(jìn)ー步學(xué)習(xí)物理學(xué)及其它現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)知識(shí),是必不可少的準(zhǔn)備.第三，力學(xué)部分在中學(xué)物理教材中討論得比較詳細(xì)、系統(tǒng)和完整，這從教學(xué)法觀點(diǎn)及學(xué)生的學(xué)習(xí)效果看來(lái)也是可取的.因此,一般的中學(xué)物理教材，都把力學(xué)作為整個(gè)教材的重點(diǎn),要求學(xué)生對(duì)整個(gè)カ學(xué)部分的內(nèi)容掌握的比較牢固，對(duì)力學(xué)的基本概念與規(guī)律，要求做出一定的定量的分析和描述.這也給培養(yǎng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)，邏輯思維和數(shù)學(xué)運(yùn)算等三方面能力提供了充分的機(jī)會(huì).從學(xué)時(shí)上來(lái)看,力學(xué)占整個(gè)中學(xué)物理教材比重的三分之一強(qiáng),這也充分說(shuō)明了它的重要地位和作用.例1ー探險(xiǎn)隊(duì)員在探險(xiǎn)時(shí)遇到一山溝，山溝的ー側(cè)豎直,另ー側(cè)的坡面呈拋物線形狀.此隊(duì)員從山溝的豎直一側(cè),以速度の沿水平方向跳向另一側(cè)坡面.如圖所示,以溝底的。點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Oxy.已知,山溝豎直一側(cè)的高度為2ん坡面的拋物線方程為尸キザ，探險(xiǎn)隊(duì)員的質(zhì)量為加入視為質(zhì)In點(diǎn)，忽略空氣阻カ，重力加速度為g（1）求此人落到坡面時(shí)的動(dòng)能;（2）此人水平跳出的速度為多大時(shí)，他落在坡面時(shí)的動(dòng)能最小?動(dòng)能的最小值為多少?

【解析】(1)設(shè)該隊(duì)員在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為わ在坡面落點(diǎn)的橫坐標(biāo)為出縱坐標(biāo)為ト由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和已知條件得オ=兩度)，【解析】(1)設(shè)該隊(duì)員在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為わ在坡面落點(diǎn)的橫坐標(biāo)為出縱坐標(biāo)為ト由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和已知條件得オ=兩度)，2カー尸らア2根據(jù)題意有尸キ由機(jī)械能守恒,落到坡面時(shí)的動(dòng)能為ルア=/加+儂(2わ一y)聯(lián)立①?③?式得う/デ=貝宣+詳—.②③④⑤(2)⑤式可以改寫為ア=2gh丫^>+gh)+3g〃ビ的極小的條件為⑥式中的平方項(xiàng)等于0,由此得vo=yfff/i此時(shí)ザ=3gh,則最小動(dòng)能為隰デ).=)建?力.V/min乙【答案】う(謚+含仁)⑵迎ちgh例2假設(shè)地球是一半徑為柩質(zhì)量分布均勻的球體.ー礦井深度為d已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零.礦井底部和地面處的車力加速度大小之比為()A.り,dA.り,dB.1+/【解析】選A.由萬(wàn)有引力定律,地面處質(zhì)量為卬的物體車力為:磔=華①，g為地面處重力加速度,"為地球質(zhì)量，則,kP三KR②，0為地球密度，由題中信息知該物體在礦井底部重力為:儂’=一::k③,0 (K-a)g'為礦井底部的重力加速度且"=ベ④.聯(lián)立①(D③④得:J=1一ラ故A項(xiàng)正確.gK例3如圖所示，固定放置的豎直斜面AB的下端與光滑的圓弧BCD的B點(diǎn)相切，圓弧軌道的半徑R=0.5m,圓心。與A、D在同一水平面上，角COB=37°,現(xiàn)有質(zhì)量為m=0.1kg的小物體從距D點(diǎn)h=0.2R的地方無(wú)初速的釋放,已知物體恰能從D點(diǎn)進(jìn)入圓軌道.(重力加速度g=10m/sラ求:(1)為使物體不會(huì)從A點(diǎn)沖出斜面,物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少為多少?(2)若物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃=0.25,求物體在斜面上通過(guò)的總路程.0C(3)在(2)的條件下，小物體通過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)C時(shí)，對(duì)C的最小壓カ是多少?0C(1)為使小物體不會(huì)從A點(diǎn)沖出斜面，由動(dòng)能定理得TOC\o"1-5"\h\zRcosff ハReos?へ小 必加一」?但EMkId sin^ ^mg ル"〃geos。 =0①,解得動(dòng)摩擦因數(shù)至少為:〃= ②4 sin。 4cos。(2)分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程可得,最終小物體將從B點(diǎn)開始做往復(fù)的運(yùn)動(dòng),由動(dòng)能定理得,Heosタハ、ハハヘ イmg( 4-Reos)-jumgScos=0 ③解得小物體在斜面上通過(guò)的總路程為:S=5RCO? (4)2sin。(3)由于小物體第一次通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)速度最大,此時(shí)壓力最大,由動(dòng)能定理,得mg(汽。。"。+R)=丄6y2 ⑤,由牛頓第二定律,得乂マー叫=加二 @4 2 * R聯(lián)立⑤⑥,解得Nmax=3mg+；/ngcos。 ⑦最終小物體將從B點(diǎn)開始做往復(fù)的運(yùn)動(dòng),則有mgR(l-cosの=jmv2 ⑧ハ^汕ー儂二川?^ ⑨K聯(lián)立⑧⑨,解得NminMWgG-2cosの ⑩由牛頓第三定律,得小物體通過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)C的最大壓カNmax=3"吆+gmgcos。 (11)最小壓カNmm=颼(3-2cosの (13例4如圖所示,靜止放在水平桌面上的紙帶,其上有一質(zhì)量為m=0.1kg的鐵塊,它與紙帶右端的距離為L(zhǎng)=0.5m,所有接觸面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同.現(xiàn)用水平向左的恒カ，經(jīng)2s時(shí)間將紙帶從鐵塊下抽出,當(dāng)紙帶全部抽出時(shí)鐵塊恰好到達(dá)桌面邊緣且速度為v=2m/s.已知桌面高度為H=0.8m,不計(jì)紙帶重力，鐵塊視為質(zhì)點(diǎn).重力加速度g取!0m/s2,求:(1)鐵塊拋出后落地點(diǎn)離拋出點(diǎn)的水平距離;(2)動(dòng)摩擦因數(shù);(3)紙帶抽出過(guò)程屮系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能.0.8ml解:(1)設(shè)鐵塊離開桌面后經(jīng)時(shí)間t落地水平方向:x=vt①,豎直方向:上事や②,由①②聯(lián)立解得:#0.8m.(2)設(shè)鐵塊的加速度為國(guó),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ム,由牛頓第二定律,得"mg=ma您紙帶抽出時(shí),鐵塊的速度『=ゆヵ④,③④聯(lián)立解得“=0.1.(3)鐵塊的位移x尸;&ム2⑤，設(shè)紙帶的位移為止由題意知，在ー小=ム⑥由功能關(guān)系可得紙帶抽出過(guò)程中系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能E=レmgx工+PmgL⑦由③④⑤⑥⑦聯(lián)立解得E=0.3J例5ー質(zhì)量m=200kg,高2.00m的薄底大金屬桶倒扣在寬廣的水池底部，如圖所示.桶的內(nèi)橫截面積S=0.500m)桶壁加桶底的體積為V°=2.50X10ー相.桶內(nèi)封有高度為1=0.200m的空氣.池深H。=2〇.0m,大氣壓強(qiáng)p0=10.00m水柱高,水的密度P=1.OOOX103kg/m\重力加速度取g=10.OOm/s?.若用圖中所示吊繩將桶上提,使桶底到達(dá)水面處，求繩子拉カ對(duì)桶所需何等的最小功為多少焦耳?(結(jié)果要保留三位有效數(shù)字).不計(jì)水的阻カ,設(shè)水溫很低，不計(jì)其飽和蒸汽壓的影響.并設(shè)水溫上下均勻且保持不變.解析：當(dāng)桶沉到池底時(shí)，桶自身重力大于浮力.在繩子的作用下桶被緩慢提高過(guò)程中，桶內(nèi)氣體體積逐步增加,排開水的體積也逐步增加,桶受到的浮力也逐漸增加,繩子的拉カ逐漸減小,當(dāng)桶受到的浮力等于重力時(shí),即繩子拉カ恰好減為零時(shí),桶將處于不穩(wěn)定平衡的狀態(tài)，因?yàn)槿粲幸粩_動(dòng)使桶略有上升，則浮力大于重力，無(wú)需繩的拉カ，桶就會(huì)自動(dòng)浮起，而不需再拉繩.因此繩對(duì)桶的拉カ所需做的最小功等于將桶從池底緩慢地提高到浮力等于重力的位置時(shí)繩子拉桶所做的功.甲設(shè)浮力等于重力的不穩(wěn)定平衡位置到池底的距離為H,桶內(nèi)氣體的厚度為1',如圖甲所示.因?yàn)榭偟母×Φ扔谕暗闹亓g,因而有：P(rS+Vo)g=mg,有:1'=0.350m ①在桶由池底上升高度H到達(dá)不穩(wěn)定平衡位置的過(guò)程中,桶內(nèi)氣體做等溫變化,由玻意耳定律得:[po+Ho—H—(lo—)]1'S=[po+Ho—(lo—1f)]IS②TOC\o"1-5"\h\z由①、②兩式可得:H=12.240m ③由③式可知HV(Ho-T),所以桶由池底到達(dá)不穩(wěn)定平衡位置時(shí)，整個(gè)桶仍浸在水中.由上分析可知，繩子的拉力在整個(gè)過(guò)程中是ー個(gè)變カ.對(duì)于變カ做功,可以通過(guò)分析水和桶組成的系統(tǒng)的能量變化的關(guān)系來(lái)求解：先求出桶內(nèi)池底緩慢地提高了H高度后的總機(jī)械能量AE.AE由三部分組成:(1)桶的重力勢(shì)能增量:AEi=mgH ④(2)由于桶本身體積在不同高度處排開水的勢(shì)能不同所產(chǎn)生的機(jī)械能的改變量A%,可認(rèn)為在H高度時(shí)桶本身體積所排開的水是去填充桶在池底時(shí)桶所占有的空間，這時(shí)水的重力勢(shì)能減少了.所以：AE2=-PgVoH ⑤(3)由于桶內(nèi)氣體在不同高度處所排開水的勢(shì)能不同所產(chǎn)生的機(jī)械能的改變AE3,由于桶內(nèi)氣體體積膨脹，因而桶在H高度時(shí)桶本身空氣所排開的水可分為兩部分：一部分可看為填充桶在池底時(shí)空氣所占空間,體積為1S的水，這部分水增加的重力勢(shì)能為:AE產(chǎn)一PgHlS⑥.另一部分體積為d'-DS的水上升到水池表面,這部分水上升的平均高度為：Ho-H-lo+1+—,增加的重力勢(shì)能為:AE32=PgS(l'—1)[Ho—H—1〇+1+---]⑦2由整個(gè)系統(tǒng)的功能關(guān)系得,繩子拉カ所需做的最小功為:Wt=AE ⑧.將④、⑤、⑥、⑦式代入⑧式得:Wt=PgS[d'一D(Ho-lo)+(9)將有關(guān)數(shù)據(jù)代入⑨式計(jì)算,并取三位有效數(shù)字，可得:W尸1.37X1O'J例6如下圖所示，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞〇點(diǎn)做勻速周運(yùn)動(dòng)(筆者注：嚴(yán)格講為橢圓),星球A和B兩者中心之間距離為L(zhǎng).已知A、B的中心和〇三點(diǎn)始終共線，A和B分別在。的兩側(cè).引力常數(shù)為G.(1)求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期.(2)在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B,月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為但在近似處理問(wèn)題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的,這樣算得的運(yùn)行周期し.已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98X1021kg和7.35X1022kg.求Tク與「兩者平方之比.(結(jié)果保留3位小數(shù))

圖2圖2解析:⑴A和B繞。做勻速圓周運(yùn)動(dòng),它們之間的萬(wàn)有引力提供向心力,則A和B的向心力相等.且A和B和〇始終共線,說(shuō)明A和B有相同的角速度和周期.因此有:W。シ=版/R,r+R=L,m MR= Lr= L連立解得w+M,m+M,對(duì)A根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得%-癡竺）2M T=2_￡_ズ一皿ア）…厶,化簡(jiǎn)得: 短（M+M.⑵將地月看成雙星,由⑴得 + 將月球看作繞地心做圓周運(yùn)動(dòng),根據(jù)牛頓第GMm （2.）2上ア=2開Iピ二定律和萬(wàn)有引力定律得?T,化簡(jiǎn)得:2- .所以兩種周期的平方比值m+M5.98x1024m+M5.98x1024+7.35x10225.98x10”1.01通過(guò)計(jì)算說(shuō)明,二者的數(shù)值差距不大,地球質(zhì)量比月球質(zhì)量明顯大，質(zhì)心與地心距離近，月球的軌跡接近圓，但是地月系統(tǒng)看做是雙星現(xiàn)象オ抓住了事物的本質(zhì)，這樣オ滿足對(duì)稱性原理.例7月球與地球質(zhì)量之比約為1：80I有研究者認(rèn)為月球和地球可視為ー個(gè)由兩質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的雙星系統(tǒng),他們都圍繞月球連線上某點(diǎn)〇做勻速圓周運(yùn)動(dòng).據(jù)此觀點(diǎn),可知月球與地球繞〇點(diǎn)運(yùn)動(dòng)生物線速度大小之比約為A.1：6400B.1:80C.80:1 D:6400:l【解析】月球和地球繞〇做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力,則地球和月球的向心力相等.且月球和地球和〇始終共線，說(shuō)明月球和地球有相同的角速度和周期.因此有v_rMma）2r=Mco-R,所以レRm,線速度和質(zhì)量成反比，正確答案C.例8我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星.某雙星由質(zhì)量不等的星體,和シ構(gòu)成,兩星在相互之間的萬(wàn)有引力作用下繞兩者連線上某ー定點(diǎn)C做勻速圓周運(yùn)動(dòng).由于文觀察測(cè)得其運(yùn)動(dòng)周期為T,Si到C點(diǎn)的距離為n,Si和Sク的距離為r,已知引力常量為G.由此可求出S的質(zhì)量為（D）

4ガパ(ーキ) 4イバ4ガバGT?4ガパ(ーキ) 4イバ4ガバGT?B.GT2C.GT2D.GT?筆者認(rèn)為,上面的題目說(shuō)雙星大約占1/4是錯(cuò)誤的,實(shí)際上應(yīng)該都是雙星現(xiàn)象，當(dāng)兩個(gè)星體的質(zhì)量差距很大時(shí)，質(zhì)量較大的星體運(yùn)動(dòng)范圍較小,難以觀察.例9.地月系統(tǒng)的拉格朗日點(diǎn)的計(jì)算圖1拉格朗日點(diǎn)設(shè)地球質(zhì)量為M,月球質(zhì)量為m,小物體質(zhì)量為C,地球與小物體距離為L(zhǎng),月球與其距離為1,小物體受カ平衡,對(duì)L1點(diǎn)有:G-jT=G聲+CL心R(2)其中G為萬(wàn)有引力常數(shù),の為月球繞地球旋轉(zhuǎn)的角速度.設(shè)R(2)(2)代入(1)得:GMa1=Gm(l-a)2+a2/?3(l-4蘇(4)(6)⑶式進(jìn)ー步化簡(jiǎn),得:Ma\l-a+a2)=m(1-a)2(6)右邊接近于1,舍棄,得:因a很小,故舍棄左邊括號(hào)中a的二次方項(xiàng),得：ー右邊接近于1,舍棄,得:(8)這ー公式對(duì)任意這類系統(tǒng)都成立.Gヰ+g/=cム療對(duì)L2.L3點(diǎn)有: L I一

(10)L-l=+R(10)可解得し、屋各自的レ1值.F}=G-J- F2=G---G—z—對(duì)し、Ls點(diǎn),M對(duì)C引力可分為兩部分: 卜 '匕卜B與m對(duì)C引力大小相等,夾角為60°,其合力F使C沿M與m連線做瞬時(shí)定軸轉(zhuǎn)動(dòng),剩下的W部分提供C尸=百6=6G咚=C（丄］例2與mー起繞M轉(zhuǎn)動(dòng)的向心力. ト 12丿愛(ài)因斯坦注重?cái)?shù)學(xué)的方法,如果他不注重?cái)?shù)學(xué)方法的運(yùn)用，他的任何ー項(xiàng)科學(xué)研究都將擱淺.狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論的成功表述,在于他正確地選擇了數(shù)學(xué)方法,如在等效原理提出后,愛(ài)因斯坦曾苦于找不到適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法推進(jìn)研究.為了尋求合理的數(shù)學(xué)形式保持在任意坐標(biāo)下的協(xié)變性,他請(qǐng)教了老同學(xué)蘇黎世工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)教授格羅斯曼,格羅斯曼向愛(ài)因斯坦推薦“絕對(duì)微分學(xué)”.利用“絕對(duì)微分學(xué)”，愛(ài)因斯坦便嘗試著建立起一個(gè)滿足在任意坐標(biāo)變換下的引力場(chǎng)方程.愛(ài)因斯坦提出了廣義相對(duì)論促進(jìn)了整個(gè)微分兒何的發(fā)展;反之，微分幾何的高度發(fā)展，又使人們可以更為理性和邏輯地思考問(wèn)題.分析力學(xué)是理論力學(xué)的ー個(gè)分支，它以虛功原理和達(dá)朗貝爾原理為基礎(chǔ),利用標(biāo)量形式的廣義坐標(biāo)來(lái)代替矢量力學(xué)的矢徑，將對(duì)能量和功的分析來(lái)代替矢量力學(xué)中對(duì)カ和力矩的分析，從而有可能利用純粹數(shù)學(xué)分析的方法導(dǎo)出基本的運(yùn)動(dòng)微分方程,并研究這些方程的本身和積分方法.它是獨(dú)立于牛頓力學(xué)的另ー種描述力學(xué)世界的體系,且表達(dá)式也是對(duì)經(jīng)典力學(xué)的髙度數(shù)學(xué)化的表達(dá)..穩(wěn)恒電流中方程與方程組問(wèn)題電學(xué)綜合題的特點(diǎn):電路中接有多只開關(guān)或滑動(dòng)變阻器,通過(guò)開關(guān)的斷開、閉合或滑動(dòng)變阻器的滑片的移動(dòng)來(lái)改變電路結(jié)構(gòu).解答這類型題的方法:分析電路結(jié)構(gòu)，正確畫出各狀態(tài)的等效電路圖，熟練掌握串、并聯(lián)電路的特點(diǎn),靈活運(yùn)用電學(xué)計(jì)算公式,根據(jù)題中隱藏的等式或題中已給的等式列出有關(guān)的方程或方程組.通常串聯(lián)電路;并聯(lián)電路的特點(diǎn)均可作為列方程的依據(jù);除此外狀態(tài)不同的電路可根據(jù)電源電壓不變列方程.（1）如果選用幾個(gè)公式方程聯(lián)立成方程組作解題方程時(shí)：優(yōu)選乘積形式的公式.如歐姆定律公式基本形式I=U/R、電壓變形式U=IR、電阻變形式R=U/I三種.其中U=IR呈乘積形式，屬于整式方程.（2）解題方程的組合類型.從眾多的方程組優(yōu)選出結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且易于解析的方程組.依據(jù)是：ー、構(gòu)成方程組的方程數(shù)量越少越好:二、方程里未知數(shù)的次數(shù)、越低越簡(jiǎn)單;三、整式方程比分式方程簡(jiǎn)單.四、單項(xiàng)式方程比多項(xiàng)式方程簡(jiǎn)單.例1如圖，U恒定不變.當(dāng)R“接入R時(shí)，定值電阻R。消耗的功率為P°.要使R。消耗的功率為原來(lái)的1/4.求:滑動(dòng)變阻器接入電路的電阻?分析：此題電路連接并不復(fù)雜，兩電阻串聯(lián)，題中出現(xiàn)兩種狀態(tài)的電路,分析兩種狀態(tài)下的情況，發(fā)現(xiàn)電源電壓始終不變，即U=U,可根據(jù)此等式列方程.解：方法一：利用U不變列方程

J—(R+R0)=J1Z叵(R'+R。)VRoVR-U=I(Ro+R)方法二: "U=I(Ro+RJI2Ro=4l'2圖方法三:利用?=ー4。答案:Rx=2R+R。圖例2某電熱器內(nèi)有兩根電阻絲,只接第一跟時(shí),電熱絲中的水經(jīng)過(guò)12分鐘沸騰;只接第二根時(shí),電熱絲中的水經(jīng)過(guò)24分鐘沸騰.假如兩根串聯(lián)后通電時(shí),問(wèn):電熱器中的水幾分鐘沸騰?設(shè)電源電壓和水的質(zhì)量不變. (36分鐘)分析:題中隱藏的等量關(guān)系有:Q尸QlQ：,且U不變由此列出方程組CQ尸ビh爾 (1)，Q2=U2t2/R2 (2)しQ=U2t/(Ri+Rz)(3)另外,還可根據(jù)串聯(lián)電路的特點(diǎn):R=Ri+Rz列方程，把(1)、(2)、(3)式代入此式更加簡(jiǎn)變例3如圖所示電路中，Ri為定值電阻，比最大阻值為36歐的滑動(dòng)變阻器,電源電壓不變.當(dāng)滑片P在a端時(shí)，Ri上消耗的電功率為R,電壓表的示數(shù)為9伏特.求:(1)此時(shí)Rz上消耗的功率凡是多少?(2)當(dāng)滑片滑至b端時(shí)，Ri上消耗的功率為P」=16Pi.問(wèn):該電源的電壓是多少?(2.25W,12V)分析:當(dāng)滑片P滑至b點(diǎn)時(shí)P'=U2/Ri(1)代入P'=16P可求得U=12V當(dāng)滑片P滑至a點(diǎn)時(shí)P=U代入P'=16P可求得U=12V例4如圖2,滑動(dòng)變阻器比的滑片置于阻值最大處時(shí),電壓表的示數(shù)是4V.將變阻器的滑片P向左滑動(dòng)使R減少為原來(lái)的1/4時(shí)，電壓表的示數(shù)為8V.求:(1)電源電壓(2)も消耗的功率是原來(lái)的幾倍?心=5+レ R2/R1=4V+4V?R2/R, (1)U=U；+U2 R2/R1=8V+8V?-R2/R, (2)4答案:U=12V,1瓦例5.一燈泡與一電阻串聯(lián)接入電路，當(dāng)燈泡正常發(fā)光時(shí)電阻消耗的功率為ジ，當(dāng)單獨(dú)將這一電阻接入同一電路時(shí),它消耗的功率為P,求燈泡的額定功率.「U7R=Pp'=i2r=[pl=Vpp-P]例6.如圖電源電壓不變,當(dāng)S閉合時(shí),し所消耗的功率為50瓦;當(dāng)S斷開時(shí),Lク所消耗的功率為8瓦，且比此時(shí)し所消耗的功率小,求: しL,當(dāng)S斷開時(shí)し的實(shí)際功率.（32瓦） q 1、IJ7RF50 一區(qū)片ネっKP+8/U）R=P所謂數(shù)學(xué)方法，就是要把客觀事物的狀態(tài)、關(guān)系和過(guò)程用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái),并進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì)問(wèn)題的判斷、解釋和預(yù)測(cè).可以說(shuō)，任何物理試題的求解過(guò)程實(shí)質(zhì)上是ー個(gè)將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題再經(jīng)過(guò)求解還原為物理結(jié)論的過(guò)程.狄拉克曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“我想我正是和這一概念（優(yōu)美的數(shù)學(xué)）ー起來(lái)到這個(gè)世界上的.如果物理定律在數(shù)學(xué)形式上不美，那就是ー種理論還不夠成熟的標(biāo)志,說(shuō)明理論有缺陷,需要改進(jìn).我沒(méi)有試圖直接解決某一物理問(wèn)題，而只是試圖尋找某種優(yōu)美的數(shù)學(xué).”.電磁場(chǎng)中的方程與方程組應(yīng)用舉例愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“為什么數(shù)學(xué)比其他一切科學(xué)受到特殊的尊重，ー個(gè)理由是它的命題是絕對(duì)可靠而無(wú)可爭(zhēng)辯的，而其他一切科學(xué)的命題在某種程度上都是可爭(zhēng)辯的，并且經(jīng)常處在被新發(fā)現(xiàn)的事實(shí)推翻的危險(xiǎn)之中….但是數(shù)學(xué)之所以有高的聲譽(yù)，還有另一個(gè)理由,那就是數(shù)學(xué)給予精密自然科學(xué)以某種程度的可靠性.沒(méi)有數(shù)學(xué)，這些科學(xué)是達(dá)不到這種可靠性的.理論科學(xué)家在他探索理論時(shí)，就不得不愈來(lái)愈從純粹數(shù)學(xué)的形式考慮,因?yàn)閷?shí)驗(yàn)家的物理經(jīng)驗(yàn)不能把他提高到最抽象的領(lǐng)域中去.我們這個(gè)世界的圖景是“可以由音樂(lè)的音符組成，也可以由數(shù)學(xué)的公式組成.目前，我只是全心撲在引力問(wèn)題上，我現(xiàn)在相信,依靠這里的一位友好的數(shù)學(xué)家的幫助，我將制服這些困難.但有一點(diǎn)是肯定的，在我整個(gè)ー生中，我工作得都遠(yuǎn)不夠努力，我已變得非常尊重?cái)?shù)學(xué),在此以前，我簡(jiǎn)單的頭腦把數(shù)學(xué)中精妙的部分當(dāng)作純粹的奢侈，與這個(gè)問(wèn)題相比,最初的相對(duì)論只是兒戲而已.在物理學(xué)中,通向更深入的基本知識(shí)的道路是同最精密的數(shù)學(xué)方法聯(lián)系著的.從有點(diǎn)象馬赫的那種懷疑的經(jīng)驗(yàn)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)引力問(wèn)題，我轉(zhuǎn)變成為ー個(gè)信仰唯理論的人，也就是說(shuō)，成為ー個(gè)到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單性中去尋求真理的唯一可靠源泉的人.邏輯簡(jiǎn)單的東西,當(dāng)然不一定就是物理上真實(shí)的東西.但是，物理上真實(shí)的東西一定是邏輯上簡(jiǎn)單的東西，也就是說(shuō),它在基礎(chǔ)上具有統(tǒng)ー性.物理學(xué)家們說(shuō)我是數(shù)學(xué)家,數(shù)學(xué)家們又把我歸為物理工作者.我是ー個(gè)完全孤立的人，雖然所有人都認(rèn)識(shí)我,卻沒(méi)有多少人真正了解我.不要擔(dān)心你在數(shù)學(xué)上遇到的困難;我敢保證我遇到的困難比你還大得多.我們的經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)使我們有理由相信,自然界是可能想象到的最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)觀念的實(shí)際體現(xiàn).我堅(jiān)信,我們可以用純粹數(shù)學(xué)的構(gòu)造來(lái)發(fā)現(xiàn)這些概念以及把這些概念聯(lián)系起來(lái)的定律，這些概念和定律是理解自然現(xiàn)象的鑰匙.經(jīng)驗(yàn)可以提示合適的數(shù)學(xué)概念，但數(shù)學(xué)概念無(wú)論如何卻不能從經(jīng)驗(yàn)中推導(dǎo)出來(lái).當(dāng)然,經(jīng)驗(yàn)始終是數(shù)學(xué)構(gòu)造的物理效用的惟ー判據(jù).但是這種創(chuàng)造的原理卻存在于數(shù)學(xué)之中.因此,在某種意義上,我認(rèn)為,像古人所夢(mèng)想的，純粹思維能夠把握實(shí)在,這種看法是正確的.數(shù)學(xué),這個(gè)獨(dú)立于人類經(jīng)驗(yàn)存在的人類思維產(chǎn)物,怎么會(huì)如此完美地與物理現(xiàn)實(shí)中的物質(zhì)相一致?如果所有(加速)系都等價(jià),那么歐幾里得幾何就不能對(duì)它們都成立.拋棄幾何而保留物理定律,就像表達(dá)思想而不用語(yǔ)言.我們?cè)诒磉_(dá)思想以前必須尋找語(yǔ)言,那么，現(xiàn)在的情況下我們應(yīng)該尋找什么呢?這個(gè)問(wèn)題，直到1912年我オ發(fā)現(xiàn)是可以解決的.那時(shí),我突然意識(shí)到高斯的曲面理論為解開這個(gè)謎提供了鑰匙.我感到他的曲面坐標(biāo)系具有深刻的意義.然而,我還不知道那時(shí)黎曼已經(jīng)用更深刻的方法研究過(guò)它的幾何基礎(chǔ).我忽然回想起,我當(dāng)學(xué)生時(shí),蓋澤爾教的幾何課程里就包括了高斯的理論—我感到幾何基礎(chǔ)有物理意義.當(dāng)我從布拉格回到蘇黎世時(shí),我親愛(ài)的朋友、數(shù)學(xué)家格羅斯曼也在那里.從他那里,我先學(xué)了里奇的幾何,然后又學(xué)黎曼的.于是，我問(wèn)我的朋友,我的問(wèn)題能不能用黎曼理論來(lái)解決?廣義相對(duì)論是ー個(gè)由高斯(Gauss)、黎曼(Riemann)、克里斯托菲(Christof2fel)、里奇(Ricci)和勒維ー契維塔(Levi2Cevita)發(fā)明的微分幾何的真實(shí)勝利.我們?cè)趯ふ覕?shù)學(xué)上最自然的結(jié)構(gòu)，而不被更多的物理所打擾.這也是我在研究引力理論過(guò)程中的一個(gè)設(shè)定目標(biāo)?！蹦芨鶕?jù)具體的物理問(wèn)題列出物理量之間的關(guān)系,能把有關(guān)的物理規(guī)律、物理?xiàng)l件用數(shù)學(xué)方程表示出來(lái).在解決物理問(wèn)題時(shí),往往需要經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)和求解,或用合適的數(shù)學(xué)處理,或進(jìn)行數(shù)值計(jì)算:求得結(jié)果后,有時(shí)還要用圖像或函數(shù)關(guān)系把它表示出來(lái);必要時(shí)還應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果作出物理上的結(jié)論或解釋.例1.如圖所示，豎直平面內(nèi)有一半徑為ハ內(nèi)阻為片、粗細(xì)均勻的光滑半圓形金屬環(huán)，在M、N處與相距為2ハ電阻不計(jì)的平行光滑金屬軌道,四、版相接,分'之間接有電阻尼,已知石=12兄R=4た在,腓上方及の下方有水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)I和II,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B.現(xiàn)有質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的導(dǎo)體棒a6,從半圓環(huán)的最高點(diǎn)Z1處由靜止下落，在下落過(guò)程中導(dǎo)體棒始終保持水平,與半圓形金屬環(huán)及軌道接觸良好,平行軌道中部高度足夠長(zhǎng).已知導(dǎo)體棒助下落〃2時(shí)的速度大小為”,下落到機(jī),處的速度大小為吸.(1)求導(dǎo)體棒a。從ス下落r/2時(shí)的加速度大小.(2)若導(dǎo)體棒aわ進(jìn)入磁場(chǎng)II后棒中電流大小始終不變，求磁場(chǎng)I和I!之間的距離わ和用上的電功率Pi.(3)若將磁場(chǎng)II的勿邊界略微下移,導(dǎo)體棒a6剛進(jìn)入磁場(chǎng)II時(shí)速度大小為匕，要使其在外カF作用下向下做勻加速宜線運(yùn)動(dòng),加速度大小為a,求所加外力廠隨時(shí)間變化的關(guān)系式.解:(I)以導(dǎo)體棒為研究對(duì)象，棒在磁場(chǎng)I中切割磁感線,棒中產(chǎn)生產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，導(dǎo)體棒從ん下落庁2時(shí)，導(dǎo)體棒在重力與安培力作用下做加速運(yùn)動(dòng),由牛頓第二定律，得-8〃=磔,

式キQ品…簾，式中権=一ルZ尸，由以上各式可得到修一マボ（2）當(dāng)導(dǎo)體棒a。通過(guò)磁場(chǎng)II時(shí),若安培カ恰好等于重力,棒中電流大小始終不變,即mg-BIx2rmg-BIx2r-BxBxlrxv.へ4B2r2v, <-x2r= 式中r型空=3R解得匕=彎。=網(wǎng)樂(lè)，導(dǎo)體棒從?秘V到の做加速度為g的勻加速直線運(yùn)動(dòng),有片一優(yōu)=2gh4B-r24Br2得Z！=9m得Z！=9m2gr2v232B4パ2g'3m2g2R此時(shí)導(dǎo)體棒重力的功率為此=加?匕=*3,.根據(jù)能量守恒定律,此時(shí)導(dǎo)體棒重力的功率全部轉(zhuǎn)化為電路中的電功率,即…=喘^所以‘8キ=鹽^（3）設(shè)導(dǎo)體棒"進(jìn)入磁場(chǎng)"后經(jīng)過(guò)時(shí)間’的速度大小為匕’,此時(shí)安培カ大小為ド:“于導(dǎo)體棒aル做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有匕’=匕+。れ根據(jù)牛頓第二定律,有ド+磔ー根據(jù)牛頓第二定律,有ド+磔ーガ=ma,即ド+〃吆ー4B2r2(v.+at) =ma,3R4Bシ2 4B2r2a4B2r2v由以上各式解得ア=竺’-（G+匕）ーm5ー。）=空丄上r+ ^+ma-mg3R' 3R3R例2通過(guò)一理想變壓器，經(jīng)同一線路輸送相同的電功率75,原線圈的電壓〃保持不變，輸電線路的總電阻為だ當(dāng)副線圈與原線圈的匝數(shù)比為〃時(shí),線路損耗的電功率為4,若將副線圈與原線圈的匝數(shù)比提高到成,線路損耗的電功率為ル則4和《分別為（）r\,pr1 cクハ2clTOC\o"1-5"\h\z卜母~n ~nC?拓ア 江㈤兄ア【解析】選D.由理想變壓器今=他得:副線圈電壓〃=kU,而理想變壓器/5人=タ由,副線圈電流/'Uirhp p p p P \=+=チ,線路損耗的電功率△=/'2廬=（￡ア凡同理可知た=/"ユだ=（瑪ノ2花得う=匕故D項(xiàng)u ku ku nKu i\ n正確.3.將平行板電容器兩極板之間的距離、電壓、電場(chǎng)強(qiáng)度大小和極板所帶的電荷量分別用d,U.E和。表示.下列說(shuō)法正確的是（）A.保持ク不變,將d變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍,則ど變?yōu)樵瓉?lái)的一半B.保持￡不變,將d變?yōu)樵瓉?lái)的一半,則。變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍C.保持"不變，將。變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍,則む變?yōu)樵瓉?lái)的一半D.保持d不變，將。變?yōu)樵瓉?lái)的一半，則ー變?yōu)樵瓉?lái)的一半XXXXX【解析】選AD.由￡=加,當(dāng)〃不變，d變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍時(shí),￡變?yōu)樵瓉?lái)的一半，A項(xiàng)正確;當(dāng)后不變,イ變?yōu)樵瓉?lái)的一半時(shí),〃變?yōu)樵瓉?lái)的一半，B項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)電容器中"不變時(shí)，C不變，由へ共口,當(dāng)。變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍時(shí)，〃變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，C項(xiàng)錯(cuò)誤;。變?yōu)樵瓉?lái)的一半,〃變?yōu)樵瓉?lái)的一半時(shí)，則ク變?yōu)樵瓉?lái)的一半，D項(xiàng)正確.從蕓蕓現(xiàn)象中窺見(jiàn)共性,從而提煉出ー套理論,能系統(tǒng)地解釋很多類似的問(wèn)題.ー個(gè)明顯的例子便是上世紀(jì)末Lie在觀察到數(shù)學(xué)和物理中出現(xiàn)大量的對(duì)稱后，便創(chuàng)造出有關(guān)微分方程的連續(xù)變換群論.李群已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念.數(shù)學(xué)世界是ー個(gè)不具有任何經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容的純理念世界,它并不是客觀世界的直接反映,它是相對(duì)于客觀世界的一種抽象的形式化的語(yǔ)言工具,它是否能夠?qū)陀^世界進(jìn)行言說(shuō),還要看主體使用這種語(yǔ)言工具的有效性.即使在相對(duì)論當(dāng)中,愛(ài)因斯坦利用數(shù)學(xué)的方法成功地揭示了客觀,實(shí)際上也只是數(shù)學(xué)被成功應(yīng)用的問(wèn)題.數(shù)學(xué)的成功應(yīng)用,只能表明了它的有效性.數(shù)學(xué)的有效性也只是ー種科學(xué)建構(gòu)的有效性,這與數(shù)學(xué)是否與現(xiàn)實(shí)世界的屬性相符是兩碼事.第二章函數(shù)在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)回顧:（1）函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是拋開所研究對(duì)象的非數(shù)學(xué)特征,用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象,抽象其數(shù)學(xué)特征,建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系,通過(guò)函數(shù)形式,利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),使問(wèn)題得到解決:（2）方程思想的實(shí)質(zhì)就是將所求的量設(shè)成未知數(shù)，用它表示問(wèn)題中的其他各量,根據(jù)題中隱含的等量關(guān)系,列出方程（組）,通過(guò)解方程（組）或?qū)Ψ匠蹋ńM）進(jìn)行研究，以求得問(wèn)題的解決:（3）函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的,是相輔相成的,函數(shù)思想重在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行動(dòng)態(tài)的研究,方程思想則是在動(dòng)中求靜,研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系.1、函數(shù)的定義域在物理學(xué)研究中的作用數(shù)學(xué)是一切自然科學(xué)的基礎(chǔ),是解決實(shí)際問(wèn)題的ー個(gè)重要工具.ー個(gè)物理理論產(chǎn)生了,就需要有一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)表達(dá)它，以便更好的表達(dá)和理解,從而使物理學(xué)從ー個(gè)感性的學(xué)科走向理性化，使物理學(xué)發(fā)展成為一門定量的學(xué)科.并且在數(shù)學(xué)的指導(dǎo)之下才能更好的發(fā)展.數(shù)學(xué)方程在物理學(xué)中的運(yùn)用問(wèn)題:物理公式是數(shù)學(xué)化的結(jié)果，但物理公式不同于數(shù)學(xué)方程,物理公式要求必須能夠反映物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，數(shù)學(xué)方程則沒(méi)有這種強(qiáng)求.【例1】初速度為零的離子經(jīng)過(guò)電勢(shì)差為U的電場(chǎng)加速后，從離子槍T中水平射出，經(jīng)過(guò)一段路

程后進(jìn)入水平放置的兩平行金屬板MN和PQ之間.離子所經(jīng)空間存在ーー磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖1).不考慮重力作用.離子的荷質(zhì)比旦(q、m分別是離子的電量與質(zhì)量)在什么范圍內(nèi),離子才能打在金屬板上?X\XXxx入在金屬板上?X\XXxx入分析:離子通過(guò)電場(chǎng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng),在磁場(chǎng)カ作用下,做勻速圓周運(yùn)動(dòng)發(fā)生偏轉(zhuǎn),假設(shè)離子從進(jìn)入磁場(chǎng)到打在金屬板上某ー點(diǎn)的水平距離為X,只要建立一個(gè)q/m跟x的函數(shù)表達(dá)式，依據(jù)題意確定x是定義域，再根據(jù)定義域值域,顯然，q/m得解.解:當(dāng)離子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)加速后有mv2/2=qU (1).在磁場(chǎng)中受到洛侖茲カ作用，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)得3旳=」ー (2)R當(dāng)離子打在金屬板上時(shí),根據(jù)幾何關(guān)系有：/?2=x2+f/?--l (3)聯(lián)立(1)、(2)、(3)解得纟=(4)式就是q/m跟x的ー個(gè)函數(shù)表達(dá)式.依題意離子能打在金屬板上,則x的定義域?yàn)閐Wxく2d小結(jié)：已知一個(gè)物理量的取值范圍,確定另ー個(gè)物理量的取值范圍,可利用函數(shù)的定義域，值域求解.例2如圖甲所示,ー質(zhì)量m=lkg的木板靜止在光滑水平地面上.開始時(shí)，木板右端與墻相距L=0.08m,ー質(zhì)量m=lkg的小物塊以初速度v°=2m/s滑上木板左端.木板的長(zhǎng)度可保證物塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不與墻接觸.物塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)P=0.1,木板與墻碰撞后以與碰撞前瞬時(shí)等大的速度反彈.取g=10m/s2I求:(1)從物塊滑上木板到兩者達(dá)到共同速度時(shí)，木板與墻碰撞的次數(shù)及所用的時(shí)間.(2)達(dá)到共同速度時(shí)木板右端與墻之間的距離.【解析】解法一物塊滑上木板后,在摩擦力的作用下,木板從靜止開始做勻加速運(yùn)動(dòng).設(shè)木板的加速度大小為a,經(jīng)歷時(shí)間T后與墻第一次碰撞，碰撞時(shí)的速度為V”則有:umg=ma,L=1aT2,vi=aT.可得:a=lm/s2,T=0.4s,vi=O.4m/s.物塊與木板達(dá)到共同速度之前,在每?jī)纱闻鲎仓g,木板受到物塊對(duì)它的摩擦力作用而做加速度恒定的運(yùn)動(dòng)，因而木板與墻相碰后將返回至初態(tài)，所用時(shí)間為T.設(shè)在物塊與木板達(dá)到共同速度v之前木板共經(jīng)歷了n次碰撞，則有:v=vo—（2nT+At）a=a?At,式中△t是碰撞n次后木板從起始位置至達(dá)到共同速度所需要的時(shí)間，上式可改寫為:2v=v0-2nTa.由于木板的速率只能在〇到れ之間，故有:OWv。ー2nTaW2v”解得:1.5WnW2.5.由于n是整數(shù)，故n=2,解得:v=O.2m/s,At=O.2s.從開始到物塊與木板達(dá)到共同速度所用的時(shí)間為:t=4T+At=1.8s.（2）物塊與木板達(dá)到共同速度時(shí)，木板右端與墻之間的距離為:s=L-1a-At2,解得:s=O.06m解法二（1）物塊滑上木板后,在摩擦力的作用下,木板做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度鏘=ug=lm/s,方向向右.物塊做減速運(yùn)動(dòng)的加速度a?=ug=lm/s,方向向左可作出物塊、木板的v-t圖象如圖乙所示由圖可知,木板在0.4s、1.2s時(shí)刻兩次與墻碰撞,在t=l.8s時(shí)刻物塊與木板達(dá)到共同速度.［答案］(1)1.8s(2)0.06m例3圖所示為ー個(gè)內(nèi)外半徑分別為R和Rユ的圓環(huán)狀均勻帶電平面,其單位面積的帶電量為〇.取環(huán)面中心。為原點(diǎn)，以垂直于環(huán)面的軸線為x軸.設(shè)軸上任意點(diǎn)P到。點(diǎn)的距離為x,P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E.下面給出E的四個(gè)表達(dá)式（式中k為靜電カ常量）,其中只有一個(gè)是合理的.你可能不會(huì)求解此處的場(chǎng)強(qiáng)E,但是你可以通過(guò)一定的物理分析，對(duì)下列表達(dá)式的合理性作出判斷.根據(jù)你的判斷,E的合理表達(dá)式應(yīng)為（）圖

A.E=2nk0A.E=2nk0B.E=2nk0C-E=2nk0 D.E=2nk?！窘馕觥緼選項(xiàng)表達(dá)式可變形為:f_R1 R2AE=2nko^］+(i<)2《+匿)ユ,對(duì)于這ー表達(dá)式,當(dāng)R=0時(shí),E=--^==,隨x的增大,E的絕對(duì)值增大,這與客觀事實(shí)不符合,故A錯(cuò)誤,對(duì)于C選項(xiàng)中的表達(dá)式,當(dāng)x=0時(shí),E=4nk〇,而事實(shí)由對(duì)稱性知應(yīng)該為E=0,故C錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng),E=(1 1>2“k°0；+ケ?配同樣E隨x增大而增大,當(dāng)x=8時(shí)E>0,這與事實(shí)不符合，故D錯(cuò)誤,只有B可能正確.［答案］B例4.如圖所示,兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上,導(dǎo)軌間距為1、足夠長(zhǎng)且電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌平面的傾角為a,條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為d,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向與導(dǎo)軌平面垂直.長(zhǎng)度為2d的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線框連接在ー起組成“丄”形裝置，總質(zhì)量為m,置于導(dǎo)軌上.導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流(由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未畫出).線框的邊長(zhǎng)為d(d<l),電阻為R,下邊與磁場(chǎng)區(qū)域上邊界重合.將裝置由靜止釋放，導(dǎo)體棒恰好運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)區(qū)域下邊界處返回，導(dǎo)體棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與導(dǎo)軌垂直.重力加速度為g.求:(1)裝置從釋放到開始返回的過(guò)程中,線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q.(2)線框第一次穿越磁場(chǎng)區(qū)域所需的時(shí)間t,.(3)經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后，線框上邊與磁場(chǎng)區(qū)域下邊界的最大距離X..【解析】(1)設(shè)裝置由靜止釋放到導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)下邊界的過(guò)程中,作用在線框上的安培力做功為W,由動(dòng)能定理得:mgsina?4d+W-BIld=0且Q=-W.解得:Q=4mgdsina-Bild.(2)設(shè)線框剛離開磁場(chǎng)下邊界時(shí)的速度為v”則接著向下運(yùn)動(dòng)2d,由動(dòng)能定理得：mgsina?2d-BIld=0-|mv,2.線框在穿越磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的合力F=mgsina-F'.感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Bdv,感TOC\o"1-5"\h\zF F應(yīng)電流I'=『安培カF'=B「d.由牛頓第二定律,在t到(t+At)時(shí)間內(nèi),有Av=-△3貝リAv

k mヮBユd''? Bdv、亠 2B守“ロ ^2m(BIld-2mgdsina)+—=ELgsina———JAt,有Vi=gtisina———,解得:ti= : .mK mK mgsma(3)經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后,線框在磁場(chǎng)下邊界與最大距離心之間往復(fù)運(yùn)動(dòng),由動(dòng)能定理得:mgsin

a-x?-BIl(x,-d)=O.WW："=Bn_mgsin『［答案］(l)4mgdsina-Bild,ヽBild??(3)- : BI1—mgsmamgsina*\/2m,ヽBild??(3)- : BI1—mgsmamgsina例5遠(yuǎn)距離輸電時(shí),輸電電壓越高,電能損失越少,輸電效率就越高;由此推理輸電電壓越高越好，而忽視了物理學(xué)中,當(dāng)電壓很高時(shí),高壓線間的空氣將被電離而擊穿,從而發(fā)生強(qiáng)烈的放電現(xiàn)象,另外，當(dāng)電壓很高,導(dǎo)線橫截面積也很大時(shí)，電抗造成的電壓損失比電阻造成的電壓損失要大的多.例6某緩沖裝置的理想模型如圖所示,勁度系數(shù)足夠大的輕質(zhì)彈簧與輕桿相連,輕桿可在固定的槽內(nèi)移動(dòng)，與槽間的滑動(dòng)摩擦カ恒為f.輕桿向右移動(dòng)不超過(guò)1時(shí)，裝置可安全工作.ー質(zhì)量為m的小車若以速度W撞擊彈簧,將導(dǎo)致輕桿向右移動(dòng),.輕桿與槽間的最大靜擦力等于滑動(dòng)摩擦カ,且不計(jì)4小車與地面的摩擦.(1)若彈簧的勁度系數(shù)為と,求輕桿開始移動(dòng)時(shí)，彈簧的壓縮量X；(2)求為使裝置安全工作,允許該小車撞擊的最大速度し:(3)討論在裝置安全工作時(shí),該小車彈回速度ノ和撞擊速度r的關(guān)系.wvwvr輕桿wvwvr輕桿TOC\o"1-5"\h\z解析:0)輕桿開始移動(dòng)時(shí)，彈簧的彈カド=広 ①且ド=f ②解得x=エ ③k(2)設(shè)輕桿移動(dòng)前小車對(duì)彈簧所做的功為此則小車從撞擊到停止的過(guò)程中

小車以セ撞擊彈簧時(shí)根據(jù)動(dòng)能定理ー/.(-w=o-L”詔 @同理小車以小撞擊彈簧時(shí)一y7ー卬=0一3?1%2 ⑤解V,”=根ユ ⑥(3)設(shè)輕桿恰好移動(dòng)時(shí),小車撞擊速度為K—mv.2=W ⑦2由④⑦解得ス=/チー(

當(dāng)”時(shí),v'=V例7.光的衍射現(xiàn)象中,狹縫間距比光波波長(zhǎng)小或跟光波波長(zhǎng)差不多時(shí),會(huì)產(chǎn)生明顯衍射,由此推理狹縫間距越小,衍射現(xiàn)象越明顯,而忽視了當(dāng)狹縫間距小到ー定程度時(shí)，通過(guò)的光子數(shù)少到不能引起人的視覺(jué)時(shí)，將看時(shí),v'=V例8.回旋加速器中,D型盒的半徑越大,粒子最后獲得的動(dòng)能越大.由此推論D型盒的半徑越大，粒子最后的能量越大.這里忽視了相對(duì)論效應(yīng),當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)速度大到可與光速相比較時(shí),物體的質(zhì)量要發(fā)生變化,使運(yùn)動(dòng)粒子的運(yùn)動(dòng)周期發(fā)生變化而不能與交流電源的變化周期同步，從而導(dǎo)致粒子不一定能加速,還有可能減速.數(shù)學(xué)和物理,ー個(gè)是形式,ー個(gè)是內(nèi)容，兩者的結(jié)合正好刻劃了一個(gè)完整的世界.數(shù)理的發(fā)展就像兩條腿走路,有時(shí)數(shù)學(xué)在先,有時(shí)物理在先,并遵循各自的發(fā)展規(guī)律.然而任何一方的重大突破都會(huì)給另一方以巨大的刺激,進(jìn)而帶來(lái)共同的發(fā)展.同樣數(shù)理學(xué)習(xí)也有其內(nèi)在的規(guī)律可循,需要我們共同探索.2.函數(shù)的值域在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用法拉第是一位具有深刻的直覺(jué)能力的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家，但他不太精通數(shù)學(xué),并沒(méi)有用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫出他關(guān)于電磁的概念.關(guān)于他，海姆霍茲曾經(jīng)寫道:“這么大量的普遍定理,它們的有條理的推導(dǎo)需要最高度的數(shù)學(xué)分析能力，可是他卻憑ー種直觀，憑直覺(jué)的可靠性,而不用ー個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式竟然發(fā)現(xiàn)出來(lái),這是十分令人驚訝的.”圖甲例1.如圖甲所示,ー薄木板放在正方形水平桌面上,木板的兩端與桌面的兩端對(duì)齊,ー小木塊放在木板的正中間.木塊和木板的質(zhì)量均為m,木塊與木板之間、木板與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為〃.現(xiàn)突然以一水平外力廠將薄木板抽出，要使小木塊不從桌面上掉下,則水平外力ド至少應(yīng)為.(假設(shè)木板抽動(dòng)過(guò)程中始終保持水平,且在豎直方向上的壓カ全部作用在水平桌面上)圖甲A.2nmg B.4nmg C.6umg D.8nmg【解析】解法一ド越大,木塊與木板分離時(shí)的速度、位移越小,木塊越不可能從桌面滑下.設(shè)拉カ為其時(shí)，木塊恰好能滑至桌面的邊緣,再設(shè)木塊與木板分離的時(shí)刻為ム，在0?カ時(shí)間內(nèi)有:(A)-11mg—2umg}21 2Lm ボージガ=5對(duì)厶時(shí)間后木塊滑行的過(guò)程，有:2Pg2Hg2~,2Ugt'得:尺=6u解法二ド越大,木塊與木板分離時(shí)的速度、位移越小,木塊越不可能從桌面滑出.若木塊不從桌面滑出，則其V—t圖象如圖乙中如ク所示,其中仍的斜率為レg,タク的斜率為ーリg,t\=t2

ルI ルI りム圖乙X2，.設(shè)拉カ為尸時(shí),木板的—圖象為圖乙中的直線カ,則圓三,anl/ヽL甘亠 F-3nmg即メ吻ー匕）?ち=5,其中“="gt"k2=——?t、解得:Q6”〃g.即拉カ至少為6awg.［答案］C【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于兩物體間的多過(guò)程運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,在明確物理過(guò)程的基礎(chǔ)上,畫出物體各自的運(yùn)動(dòng)圖象，這樣兩物體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)就很明顯了.利用圖線與坐標(biāo)軸所夾面積的關(guān)系明確物體間的位移關(guān)系，可省略ー些物理量的計(jì)算,從而快速、簡(jiǎn)捷地解答問(wèn)題.數(shù)學(xué)研究的是各種量之間可能的、一般指的是各種變化著量的關(guān)系和相互聯(lián)系,是反映現(xiàn)實(shí)世界的,它產(chǎn)生于人們的實(shí)際需要,它的初始概念和原理的建立是以經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的長(zhǎng)期歷史的發(fā)展的結(jié)果.因此,數(shù)學(xué)從一開始就注定了與現(xiàn)實(shí)世界以及與研究物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的各種形態(tài)的最一般規(guī)律的基本學(xué)科即物理學(xué)是密不可分的.3、一次函數(shù)在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用愛(ài)因斯坦拋棄了歐氏幾何學(xué)的計(jì)算方式，而用高斯曲面幾何學(xué)計(jì)算，他的邏輯起點(diǎn)是:“物質(zhì)在其存在的空間散發(fā)ー種廣延性的彎曲引力場(chǎng)”,以此為據(jù)建立了廣義相對(duì)論.理論物理學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的函數(shù)、集、矩陣、線性與非線性方程組、向量、幾何,拓?fù)?、流形、?dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)、極限、實(shí)數(shù)、連續(xù)、概率、代數(shù)結(jié)構(gòu)等內(nèi)容,都有很深的聯(lián)系.在物理公式中有很多公式可以和一次函數(shù)相對(duì)應(yīng),例如勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間關(guān)系就是一次函數(shù)關(guān)系,即物理公式ッ=4+0與數(shù)學(xué)一次函數(shù)），=人+依相對(duì)應(yīng)，由此可以得出リー，圖像中某點(diǎn)切線的斜率表示加速度;再結(jié)合勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式X=HZ+丄由數(shù)學(xué)幾何知識(shí)可知リー?圖像中的面積表位移;同時(shí)又因?yàn)?。是向量，由物理意義可以理解在。T圖像中正負(fù)表示方向.（一）、在運(yùn)動(dòng)