多元函數(shù)積分學(xué)復(fù)習(xí)課

多元函數(shù)積分學(xué)復(fù)習(xí)課一、內(nèi)容提要上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)二、典型例題內(nèi)容提要二重積分的定義

以閉區(qū)域D為底曲面zf(x

y)為頂?shù)那斨w的體積為

占有閉區(qū)域D

面密度為(x

y)的平面薄片的質(zhì)量為定理連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上的二重積分必定存在

內(nèi)容提要二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)c1、c2為常數(shù)則性質(zhì)2

如果閉區(qū)域D被一條曲線分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2

則性質(zhì)3內(nèi)容提要二重積分的性質(zhì)性質(zhì)5

設(shè)M、m分別是f(x

y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值

為D的面積則有性質(zhì)6(二重積分的中值定理)

設(shè)函數(shù)f(x

y)在閉區(qū)域D上連續(xù)

為D的面積則在D上至少存在一點(diǎn)(

)使得性質(zhì)4

如果在D上

f(x

y)g(x

y)

則有不等式內(nèi)容提要

如果D是X型區(qū)域:D={(x,y)|j1(x)yj2(x),axb},則化二重積分為二次積分

如果D是Y型區(qū)域:D={(x,y)|y1(y)xy2(y),cyd},則

內(nèi)容提要對(duì)稱性問題設(shè)D關(guān)于y軸對(duì)稱.

(1)若

f(-x,y)=-f(x,y),則

(2)若

f(-x,y)=f(x,y),則

其中D1

為D

在y軸右半部分.

提示:

內(nèi)容提要利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分坐標(biāo)變換公式:面積元素:

如果積分區(qū)域可表示為D:j1(q)j2(q),aqb,則內(nèi)容提要設(shè)曲面S:zf(x

y)

(x

y)D,則S

的面積為曲面的面積內(nèi)容提要三重積分的物理意義三重積分的定義設(shè)物體占有空間區(qū)域,體密度為r=f(x,y,z),則物體的質(zhì)量為三重積分的幾何意義

的體積為注：當(dāng)計(jì)算二重積分時(shí)用極坐標(biāo),則得柱面坐標(biāo)的計(jì)算法.內(nèi)容提要設(shè)積分區(qū)域:則求圍定頂>>>

三重積分計(jì)算之投影法內(nèi)容提要設(shè)積分區(qū)域?yàn)閧(x

y

z)|(x

y)Dz

c1zc2}

則宜用截面法的題型

三重積分計(jì)算之截面法內(nèi)容提要特殊區(qū)域的球面坐標(biāo)表示>>>直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系

xrsincos

yrsinsin

zrcos

球面坐標(biāo)系中的體積元素

dvr2sindrdd

提示:

r

|OP|rsin.

利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分內(nèi)容提要對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分設(shè)光滑曲線弧L的參數(shù)方程為xx(t)

yy(t)(t)

則有對(duì)坐標(biāo)的曲線積分設(shè)L:xx(t)

yy(t),起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為和則有

設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成函數(shù)P(x

y)及Q(x

y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則有其中L是D的取正向的邊界曲線——格林公式格林公式內(nèi)容提要

設(shè)P(x

y),Q(x

y)在單連通區(qū)域D內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則在D

內(nèi)下列條件等價(jià):格林公式的應(yīng)用內(nèi)容提要(2)曲線積分(3)存在函數(shù)u(x,y),使

(1)與路徑無(wú)關(guān);函數(shù)u(x,y)的計(jì)算公式例1比較積分與的大小,解在內(nèi)有故于是因此典型例題知識(shí)點(diǎn)其中D

是閉圓域:積分區(qū)域D

在直線x+y=3的右上方,

解

積分區(qū)域如圖示,

例1

計(jì)算

提示:

的計(jì)算較繁,考慮改換積分次序.表示為Y型區(qū)域:知識(shí)點(diǎn)典型例題例2改換下列二次積分的積分次序.

解

積分區(qū)域如圖示,表示為Y型區(qū)域:提示:

知識(shí)點(diǎn)例2改換下列二次積分的積分次序.

解

積分區(qū)域如圖示,分為D1和D2兩部分,知識(shí)點(diǎn)

解

積分區(qū)域如圖示,表示為q型區(qū)域:提示:

例3化為極坐標(biāo)形式的二次積分,其中知識(shí)點(diǎn)例3

化為極坐標(biāo)形式的二次積分.提示:拋物線

y=x2+x

在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為解

積分區(qū)域如圖知識(shí)點(diǎn)例4設(shè)區(qū)域計(jì)算

解

積分區(qū)域如圖示,記D1為D的右半部分,則有D1知識(shí)點(diǎn)解1

積分區(qū)域如圖

例4

設(shè)計(jì)算知識(shí)點(diǎn)記區(qū)域

例4

設(shè)計(jì)算解2

積分區(qū)域如圖知識(shí)點(diǎn)在xOy

面的投影區(qū)域D的邊界曲線為

解

D

的底面

的頂面

例5

化為三次積分,其中W由以下曲面所圍:求圍定頂>>>

知識(shí)點(diǎn)作圖>>>

在zOx

面的投影區(qū)域?yàn)?/p>

解

Dzx

例5

化為三次積分,其中W由以下曲面所圍:

討論:

化為先y再x后z的三次積分.知識(shí)點(diǎn)

思考:

化為先x再y后z的三次積分.

解1

提示:

的后底

前頂

或在yOz面的投影區(qū)域如圖示.例5

化為三次積分,其中W由以下曲面所圍:知識(shí)點(diǎn)例5

化為三次積分,其中W由以下曲面所圍:

思考:

化為先x再y后z的三次積分.水平截面法

解2

知識(shí)點(diǎn)提示

的上邊界曲面為z=4下邊界曲面為zx2y2

用極坐標(biāo)可表示為z2所以

2z4

提示

在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)閤2y24,用極坐標(biāo)表示為:

02,0q2.

解1

2z40202計(jì)算三重積分

例6設(shè)W是由曲面zx2y2與平面z4所圍成的閉區(qū)域,閉區(qū)域可表示為

知識(shí)點(diǎn)閉區(qū)域可表示為

解2

知識(shí)點(diǎn)

例6設(shè)W是由曲面zx2y2與平面z4所圍成的閉區(qū)域,計(jì)算三重積分在xOy

面的投影區(qū)域D

解

例7

求由以下曲面所圍立體W的體積:知識(shí)點(diǎn)作圖>>>

在xOy

面的投影區(qū)域D

解

例7

求由以下曲面所圍立體W的體積:知識(shí)點(diǎn)

例8

已知曲面S1與曲面S2,它們的方程為

(1)求兩曲面所圍成的立體W的體積V;

(2)求立體W的S1部分的表面積A.在xOy

面的投影區(qū)域?yàn)?/p>

解

知識(shí)點(diǎn)

例8已知曲面S1與曲面S2,它們的方程為

(1)求兩曲面所圍成的立體W的體積V;

(2)求立體W的S1部分的表面積A.

解

知識(shí)點(diǎn)利用球面坐標(biāo)計(jì)算體積

例8

已知曲面S1與曲面S2,它們的方程為

(1)求兩曲面所圍成的立體W的體積V;

(2)求立體W的S1部分的表面積A.

解2

知識(shí)點(diǎn)例9

已知L

為圓周x2+y2=2ax(a>0),計(jì)算解1

利用圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程來(lái)計(jì)算.

知識(shí)點(diǎn)例9

已知L

為圓周x2+y2=2ax(a>0),計(jì)算解2

利用圓的極坐標(biāo)方程來(lái)計(jì)算.

知識(shí)點(diǎn)記D

為圓域x2+y22x,

解

由格林公式有

例10

設(shè)L是正向圓周x2+y2=2x計(jì)算知識(shí)點(diǎn)例11

已知L

為圓周x2+y2=2y

上從原點(diǎn)O

按逆時(shí)針方向到點(diǎn)A(0,2)的圓弧,計(jì)算解

知識(shí)點(diǎn)例11

已知L

為上半圓周x2+y2=2x

上從原點(diǎn)O

到點(diǎn)A(1,1)的圓弧,計(jì)算解

記所以曲線積分與路徑無(wú)關(guān).知識(shí)點(diǎn)

例12

驗(yàn)證在整個(gè)xOy面內(nèi)

記

解

所以存在u(x,y),使是某個(gè)函數(shù)的全微分并求出一個(gè)這樣的函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)的側(cè)面方程,

在xOy

面的投影區(qū)域D的邊界曲線.

圍:

求圍定頂

的頂面和底面,

頂:

所給曲面方程中含z

的方程表示.的頂面與底面的交線關(guān)于xOy

面的投影柱面方程.所給曲面方程中不含z

的方程;特殊區(qū)域的球面坐標(biāo)表示球體:

上半球體:

球體在第一卦限部分:

球頂錐體:

球面方程

特殊區(qū)域的球面坐標(biāo)表示球頂錐體:

球面方程

球體