信號與系統(tǒng)課程講義

§2.3

卷積、算子③定義：f1

(

)

f2

(t

)df

(t)

f1

(t)

f2

(t)

e(t)

e(

)

(t

)d

e(t)

(t)

r(t)

e(

)h(t

)d

e(t)

h(t)④物理意義：將信號分解成沖激信號之和，借助系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，求出系統(tǒng)對任意激勵信號的零狀態(tài)響應(yīng)，即：§2.3

卷積、算子2.卷積性質(zhì)①代數(shù)性質(zhì)i)交換律：f1

(t)

f2

(t)

f2

(t)

f1

(t)證明：f1

(t)

f2

(t)

f1

(

)

f2

(t

)dt

f2

()

f1

(t

)d

f2

(t)

f1

(t)ii)分配律：f1tf2

t

f3

t

f1t

f2

t

f1t

f3

t定律成立條件：f1

t

f2

t

,

f1

t

f3

t

均存在§2.3

卷積、算子h1(t)h2(t)+r(t)e(t)h(t)r

t

2

e

t

h1

t

h

t

h1

t

h2

t

物理含義：并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)=各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和§2.3

卷積、算子iii)結(jié)合律：f1

t

f2

t

f3

t

f1

tf2

t

f3

t定律成立條件：f1

t

f2

t

,2均存在

f1

t

f2

t

f3

t

1

2312312

3f

()f

()

f

()

f

(

)d

f

(t

)df

(

)

f

(t

)d

df

(x)

f

(t

x)dx

d

f1

t

f2

t

f3

t

證明：令

x§2.3

卷積、算子h1(t)h2(t)r(t)e(t)h(t)r

t

e

t

h1

t

h2

t

e

t

h1

t

h2

t

h

t

h1

t

h2

t

物理含義：串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)=子系統(tǒng)沖激響應(yīng)卷積§2.3

卷積、算子[例1]：證明

1tteett

t

1

e

u

t

et

t

1

t

1e

u

t

e

1t

1t1t

(e

e )

0etetu

tt

e ue

e

t

t

1證明：etu

t

et

t

1

t

1

不存在

tte

u

t

ee

u

u

det

te d

e定律成立條件§2.3

卷積、算子②微分積分性質(zhì)

f1

t

f2

t

f1

f2

t

ddddtdt

221112dfdft

df

tf

ftdtt

d

f

t

dtdt證明：df

t

dt

dtdf

t

dt

d

212

f

t

1f

t

1

2

f

t

t

f

i)微分性質(zhì)：

121221ttt

f

f

d

f

t

f

d

f

t

f

dii)積分性質(zhì)：

1

21

21212f

dtttf

f

f

d

d

f

t

f

d

d

t證明：

f

f

d

§2.3

卷積、算子§2.3

卷積、算子f2

()d

f1

f2

tdtdf1

t

例：

1iii)推廣：設(shè)s

t

f1則

si

t

f2ti,

j取正整數(shù)時為導(dǎo)數(shù)的階次，取負(fù)整數(shù)時為重積分的次數(shù)§2.3

卷積、算子③

(t),u(t)的卷積性質(zhì)i)

f

t

t

f

t

ii)

f

t

t

t0

f

t

t0

iii)

f

t

t

f

t

f

d

00iv)

f

t

tkvi)

f

t

ku

t

t

t

ft

tv)

f

t

k

t

f

k

t

f

(t

)d

f

t

(

t)d

f

t

f

(

t)df

t

t

函數(shù)本身延遲微分積分性質(zhì)推廣④數(shù)值法（積分復(fù)雜時采用此法）e

h

t

dv)

求積分：②直接法③利用卷積性質(zhì)變量替換：t

信號反褶：h

h

信號移位：h

信號相乘：e

h§2.3

卷積、算子3．卷積求法①圖解法，設(shè)e(t)

h(t)§2.3

卷積、算子

2

2

[例2]：e

t

u

t

1

u

t

1,

h

t

1

t

u

t

u

t

2

求rzs

(t)e(t)tt

1201021h(t)1§2.3

卷積、算子解：①方法一，圖解法e(

)

12h(

)010211i)t

210h(ii)h(

)

h(

)t

2h(t

10

tiii)h(

)§2.3

卷積、算子iv)相乘；v)求積分

12124

4

16t

2t

1zs1/

2

t

1,

r

(t)

tt

d

1124

161

t

d

3t

3zs1

t

3

/

2,

r

(t)

212t21t

2t

34

2

4zs3

/

2

t

3,

r

(t)

t

d

t

3,

rzs

(t)

0e(

)2rzs

(t)

0

11t

2t

1/

2,th(t

考疊分察確定重積分部限§2.3

卷積、算子2zsr

(t)

3t

3

4

4

4

16

21

t

6t

3

3

4

2

4

2t

t

§2.3

卷積、算子解：②方法二，直接法

h

t

d112112121

t

u

t

u

t

2dzsrt

e

t

h

t

e

h

t

dh

t

d

u

u

1

2

t-2t-1/21e

t

u

t

1

u

t

1

2

2h(t)

1

t

u

t

u

t

2

1212

12

u(

)

u()

u(t

1

u(121212

u(

)u(t

1

u(zsrh

§2.3

卷積、算子解：②方法二，直接法1)

d

u(1)

dt

h

t

e

t

e

t

d

2)

u(t

1)

d

)u(t

)

d2

2)u(t

)

d2

2)u(t

e

t

u

t

1

u

t

1

2

2h(t)

1

t

u

t

u

t

2

第3項§2.3

卷積、算子121u(

2)u(t

)

d2

考慮第3項：u(

2)2u(t

1)2t

1/

20第3項結(jié)果：t1/

22312

d

u(t

)2

使用

函數(shù)確定積分限：左邊界下限，右邊界上限積分結(jié)果有效存在時間的確定：兩階躍函數(shù)的時間相加e

t

u

t

1

2

2h(t)

1

t

u

t

h

de

t

h

t

e

t

§2.3

卷積、算子解：③方法三：利用卷積性質(zhì)求卷積t

t

1

t

2

t

1

2

t

1

t

2

t

1

2

u

1

t

4

2

§2.3

卷積、算子2t21[例3]：f1t

1

t

u

t

u

t

1

求f1

t

f2

tf1(t)0

1f2

(t)t1021§2.3

卷積、算子

12112000t

11t

2(1

)

f

(t

)d

0(1

)[u(t

1)

u(t

2)]d

t

101

12

2t

2 1

t

2f

t

f

t

f

t

t

11

t

2

1

d

解：用直接法t-2f1

f2

t

dt-1

01f1

t

f2

t

u

t

1

u

t

2§2.3

卷積、算子h1(t)h2(t)+e(t)h3(t)h1(t)+[例4]：已知h1

t

u

t

1,

h2

t

t

t

1,

h3

t

t

求h(t)h(t)r(t)§2.3

卷積、算子解：h

t

h1

t

h1

1

t

2u

t

2h1

t

u

t

1,§2.3

卷積、算子(

)d

微分或積分用算子符號表示,簡化作用t

1dt

p

D

p

r

t

N

p

e

t

0

10

1nnmmmn1n1m1m1

0

1

n1

nC p

r

t

C

pr

t

C

pr

t

C

r

t

E

p

e

t

E

pe

t

E

pe

t

E e

t

(C

pn

C

pn1

Cp

C

)r(t)

(E

pm

E

pm1

E0

1

m1p

E

)e

t

二、算子1．算子符號、用算子符號描述高階微分方程①定義：p

d

,②微分方程的算子描述§2.3

卷積、算子D(

p)③系統(tǒng)傳輸算子：r(t)

N

(p)e(t),D(

p)H

(

p)

N

(

p)輸入-輸出法描述系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型§2.3

卷積、算子2．算子符號基本規(guī)則①可因式分解，不能公因子相消i)

p

3

p

2dt

2

dt

P2

5P

6

x

p

3

p

2

p2

5

p

6ii)

px

py

x

y,

px

py

x

y

c

2x

dt

dt

d

ddt

dt2

dt§2.3

卷積、算子②算子乘除順序不可隨意顛倒t

d

dtp

xd

x即先除后乘可以相消i))d

x(t)

x

p1ii)

d即先乘后除不能相消

p

1

1

pp

piii)§2.3

卷積、算子3．用算子符號建立微分方程①已知電路圖v

RiRvi+i)電阻v=Riv

L

di

,

i

1

vdtdt

Lii)電感v=LpiL

vi+i

C

dv

,

v

1

idtdt

CCpiii)電容v

1

iCvi+§2.3

卷積、算子[例5]：用算子描述i(t)與e(t)的關(guān)系1

1

i

t

LP

R2

il

t

0l

R

1

i

t

1

i

t

e

t

1Cp

CpCpCp

解：Lp1Cp應(yīng)用法則§2.3

卷積、算子

i

t

222p211e

t

6

p

4R

1CpCpCp

R

1Lp

R

1

LP

R

e

1t

12

1Cp

2Cp

CpCpCpCpCp

1

0

Lp

R

1

R1

Rp

p

R2

1

e

t

RR

L R

LCp

1

1

1

1LP

R

1