湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案解析

湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2022年秋季高一年級(jí)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題命題學(xué)校：黃石二中命題人：盧立林周惠審題人：呂學(xué)武一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合B的描述求集合，應(yīng)用集合的交集運(yùn)算求.【詳解】解：由得，解得，所以，又，所以，故選：D2.命題的否定為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用全稱命題否定解答即可.【詳解】因?yàn)槊}，所以命題的否定形式為.故選：C.3.使“”成立的必要不充分條件是（）A B.C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】解不等式，求得，根據(jù)必要不充分條件的定義即可得出結(jié)果.【詳解】不等式可化為解得則成立，反之不可以.所以是成立的必要不充分條件.故選：A4.已知，則的最小值為（）A.4 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將原式構(gòu)造成兩正數(shù)和的形式，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，且，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故選：C.5.已知集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合文氏圖、補(bǔ)集和交集的知識(shí)確定正確答案.【詳解】文氏圖中陰影部分表示的集合為.故選：D6.下列不等式中正確的是（）A. B.的最小值為2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊值判斷AC，再由換元法及對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性判斷B，根據(jù)均值不等式判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，不成立，故A錯(cuò)誤；，令，則在上單調(diào)遞增，故，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，不成立，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：D7.定義集合運(yùn)算：．若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求解集合，令或3，或3，計(jì)算的值，求解，即可計(jì)算結(jié)果.【詳解】∵，∴，令或3，或3，則或或，則，因?yàn)?，故．故選：D.8.已知為三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足，若，則u的最大值與最小值之和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題知，，進(jìn)而結(jié)合題意得，，再求得的最大小值后再求和即可得答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，，所以，，因?yàn)闉槿齻€(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，所以，且，即，所以，即，所以，u的最大值為，最小值為，所以，u的最大值與最小值之和為.故選：A二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題中正確的有（）A.“”是“”的充分不必要條件B.是的必要不充分條件C.是的必要不充分條件D.已知，則是的充要條件【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，由或即可判斷；對(duì)B，由即可判斷；對(duì)C，由即可判斷；對(duì)D，由，，即，即可判斷【詳解】對(duì)A，或，故“”是“或”的充分不必要條件，A對(duì)；對(duì)B，，故是的充要條件，B錯(cuò)；對(duì)C，，故是的必要不充分條件，C對(duì)；對(duì)D，，由，即，故是的充要條件，D對(duì).故選：ACD10.有學(xué)生若干人，住若干宿舍，如果每間住4人，那么還余19人，如果每間住6人，那么只有一間不滿但不空，則滿足條件的學(xué)生人數(shù)可以為（）A.55 B.59 C.63 D.67【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)有宿舍m間，根據(jù)題意列不等式可得m，然后可得學(xué)生人數(shù).【詳解】設(shè)有宿舍m間，由題意可知，，解得，即，代入的學(xué)生人數(shù)為59，63，67.故選：BCD11.已知，關(guān)于一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則的值可以是（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】ABC【解析】【分析】利用對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)不等式解集僅有3個(gè)整數(shù)可得求a的范圍，即知其可能值.【詳解】由開口向上且對(duì)稱軸為，∴要使題設(shè)不等式解集有且僅有3個(gè)整數(shù)，則，解得，∴的可能值A(chǔ)、B、C.符合.故選：ABC.12.若x，y滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；因?yàn)樽冃慰傻?，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】或【解析】【分析】因?yàn)椋瑒t或或，分別求，，時(shí)集合，根據(jù)集合元素的互異性，即可求解.【詳解】因?yàn)?，則或或，當(dāng)時(shí)，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)時(shí)，或（舍）當(dāng)時(shí)，，符合題意；綜上所述：或，故答案為：或14.若正數(shù)滿足，則的最小值____________．【答案】【解析】【分析】由題知，再根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】解：因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，的最小值為.故答案為：15.已知命題都成立，命題，若命題p，q都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】是真命題，分與討論，根據(jù)一元二次不等式恒成立可得a的范圍；是真命題，根據(jù)可求a的范圍，再取交集即可.【詳解】因?yàn)槭钦婷}，所以.當(dāng)時(shí)，不恒成立，故舍去；當(dāng)時(shí)，可得，解得.因?yàn)槭钦婷}，所以，所以，即，解得或.故若命題p，q都是真命題，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.16.已知，關(guān)于的不等式恰有四個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】通過分類討論表示出不等式的解集，再根據(jù)恰有四個(gè)整數(shù)解得到關(guān)于的不等式，求得的取值范圍．【詳解】不等式可化為：當(dāng)時(shí)，解得，所以不等式的解集是，不符合題意；當(dāng)且時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根當(dāng)時(shí)，，且，所以不等式的解集是，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，且，所以不等式的解集是，∵時(shí)，，即，又∵關(guān)于的不等式恰有四個(gè)整數(shù)解，∴，即，結(jié)合，解得．綜上，的取值范圍是．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，集合．（1）求集合B；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解分式不等式即可求得集合.（2）解一元二次不等式即可求得集合，再求補(bǔ)集和交集即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即，即，解得：，所以【小?詳解】解得：，或，18.已知集合．（1）若，求m的取值集合；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別解不等式得集合A、B，然后根據(jù)已知可得；（2）先求，然后根據(jù)集合的包含關(guān)系解不等式可得.【小問1詳解】解不等式得解不等式得∵，∴，∴，故m的取值集合為；【小問2詳解】由題意知或，，∵，∴或，∴或，所以m的取值范圍為19.設(shè)函數(shù).（1）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且存在，使成立，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由不等式解集得相應(yīng)二次方程的兩根，由韋達(dá)定理可求得；（2）由得，問題可轉(zhuǎn)化為存在，使得成立.，不等式可以成立，時(shí)由二次不等式有解可得的范圍．【詳解】解：（1）由題意可知：方程的兩根是，1所以解得（2）由得存在，成立，即使成立，又因?yàn)?，代入上式可得成?當(dāng)時(shí)，顯然存在使得上式成立；當(dāng)時(shí)，需使方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根所以即解得或綜上可知的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查一元二次不等式的解集，解題關(guān)鍵是掌握“三個(gè)二次”的關(guān)系．對(duì)一元二次不等式的解集，一元二次方程的根，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的問題能靈活轉(zhuǎn)化，熟練應(yīng)用．解題中注意不等式的解區(qū)間的端點(diǎn)處的值是相應(yīng)二次方程的根，是二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)．20.已知函數(shù)．（1）若不等式對(duì)任意恒成立，求m的取值范圍；（2）解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）參變分離，原不等式可化為對(duì)任意恒成立，利用換元法和基本不等式求出的最大值，從而求出m的取值范圍；（2）先對(duì)不等式因式分解，分，，三種情況進(jìn)行求解.小問1詳解】因?yàn)楹愠闪?，所以原不等式可化為?duì)任意恒成立，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，所以，故m的取值范圍為；【小問2詳解】原不等式可化為，即，①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，∵，所以不等式的解集為或；③當(dāng)時(shí)，∵，所以不等式的解集為．綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或．當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．21.某廠家擬在2022年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）m萬件與年促銷費(fèi)用x萬元滿足關(guān)系式（k為常數(shù)）．如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件．已知2022年生產(chǎn)該批次產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．（1）將2022年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)；（2）該廠家2022年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．【答案】（1）y，（2）3萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)已知先求k，表示出銷售價(jià)格，然后由題意可得函數(shù)關(guān)系；（2）由基本不等式可得.【小問1詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為（元），∴，【小問2詳解】∵當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，y取得最大值，故該廠家2022年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．22.如圖，在矩形中，，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接，過點(diǎn)P作交于Q，以為斜邊作直角三角形，且，O為直角頂點(diǎn)．（1）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，求的外心到邊的距離最大值；（2）當(dāng)點(diǎn)P從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)O恰好落在上時(shí)，求點(diǎn)O