2023學(xué)年湖南省衡陽縣第四中學(xué)高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若表示不超過的最大整數(shù)(如，，)，已知，，，則（）A．2 B．5 C．7 D．82．下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個(gè)視圖相同的幾何體是（）A．正方體 B．球體C．圓錐 D．長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體3．設(shè)P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，則A．PQ B．QPC．Q D．Q4．四人并排坐在連號(hào)的四個(gè)座位上，其中與不相鄰的所有不同的坐法種數(shù)是（）A．12 B．16 C．20 D．85．已知雙曲線（，），以點(diǎn)（）為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A． B． C． D．6．在中，為上異于，的任一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）A． B． C． D．7．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-28．若θ是第二象限角且sinθ=，則=A． B． C． D．9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn).設(shè)為拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A．或 B．或 C．或 D．或10．橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個(gè)角度，水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略不計(jì)），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．11．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．12．已知甲盒子中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，乙盒子中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，同時(shí)從甲乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換，（a）交換后，從甲盒子中取1個(gè)球是紅球的概率記為.（b）交換后，乙盒子中含有紅球的個(gè)數(shù)記為.則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD邊上動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最大值為________.14．（5分）已知為實(shí)數(shù)，向量，，且，則____________．15．以，為圓心的兩圓均過，與軸正半軸分別交于，，且滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為_________．16．已知，記，則的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；（2）若，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，且恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．18．（12分）在數(shù)列中，已知，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.19．（12分）已知函數(shù)（，），且對(duì)任意，都有.（Ⅰ）用含的表達(dá)式表示；（Ⅱ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求出的取值范圍，并證明；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.20．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，為推廣生態(tài)環(huán)境保護(hù)意識(shí)，高二一班組織了環(huán)境保護(hù)興趣小組，分為兩組，討論學(xué)習(xí)．甲組一共有人，其中男生人，女生人，乙組一共有人，其中男生人，女生人，現(xiàn)要從這人的兩個(gè)興趣小組中抽出人參加學(xué)校的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽.（1）設(shè)事件為“選出的這個(gè)人中要求兩個(gè)男生兩個(gè)女生，而且這兩個(gè)男生必須來自不同的組”，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示抽取的人中乙組女生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和期望21．（12分）近年來，隨著“霧霾”天出現(xiàn)的越來越頻繁，很多人為了自己的健康，外出時(shí)選擇戴口罩，在一項(xiàng)對(duì)人們霧霾天外出時(shí)是否戴口罩的調(diào)查中，共調(diào)查了人，其中女性人，男性人，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)畫出等高條形圖如圖所示：（1）利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關(guān)系并說明理由；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立一個(gè)列聯(lián)表；（3）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩的關(guān)系.附：22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，為的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，求的取值范圍，并求取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值.

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【答案解析】

求出，，，，，，判斷出是一個(gè)以周期為6的周期數(shù)列，求出即可．【題目詳解】解：.，∴，，，同理可得：；；.；，，…….∴.故是一個(gè)以周期為6的周期數(shù)列，則.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應(yīng)用．2、C【答案解析】

根據(jù)基本幾何體的三視圖確定．【題目詳解】正方體的三個(gè)三視圖都是相等的正方形，球的三個(gè)三視圖都是相等的圓，圓錐的三個(gè)三視圖有一個(gè)是圓，另外兩個(gè)是全等的等腰三角形，長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體的三視圖是三個(gè)兩兩不全等的矩形．故選：C．【答案點(diǎn)睛】本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵．3、C【答案解析】

解：因?yàn)镻={y|y=-x2+1，x∈R}={y|y1}，Q={y|y=2x，x∈R}={y|y>0},因此選C4、A【答案解析】

先將除A，B以外的兩人先排，再將A，B在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空，再相乘得答案.【題目詳解】先將除A，B以外的兩人先排，有種；再將A，B在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空，有種，所以共有種.故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查排列中不相鄰問題，常用插空法，屬于基礎(chǔ)題.5、A【答案解析】

求出雙曲線的一條漸近線方程，利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)，且，則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程，求解離心率．【題目詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于，因?yàn)?，所以圓心到的距離為：，即，因?yàn)?，所以解得．故選A．【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題．對(duì)于離心率求解問題，關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程，主要有兩個(gè)思考方向，一方面，可以從幾何的角度，結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程；另一方面，可以從代數(shù)的角度，結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.6、A【答案解析】

根據(jù)題意，用表示出與，求出的值即可.【題目詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，又，，，故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量，是基礎(chǔ)題.7、B【答案解析】

根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數(shù)，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【題目詳解】∵是定義在R上的奇函數(shù)，且；∴；∴；∴的周期為4；∵時(shí)，；∴由奇函數(shù)性質(zhì)可得；∴；∴時(shí)，；∴.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據(jù)條件先推導(dǎo)出周期，利用函數(shù)的周期變換來求解，考查理解能力和計(jì)算能力，屬于中等題.8、B【答案解析】由θ是第二象限角且sinθ=知：，．所以．9、D【答案解析】

設(shè)，，根據(jù)和拋物線性質(zhì)得出，再根據(jù)雙曲線性質(zhì)得出，，最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關(guān)系，從而可得出離心率．【題目詳解】過分別向軸和拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為、，不妨設(shè)，，則，為雙曲線上的點(diǎn)，則，即，得，，又，在中，由余弦定理可得，整理得，即，，解得或.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率的求解，涉及雙曲線和拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．10、C【答案解析】

根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定此時(shí)橢圓的離心率，進(jìn)而確定離心率的取值范圍.【題目詳解】當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.此時(shí)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為6，所以橢圓離心率，所以.故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11、A【答案解析】

根據(jù)排除，，利用極限思想進(jìn)行排除即可．【題目詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，恒成立，排除，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)，，排除，故選：．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)值的符號(hào)以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．12、A【答案解析】分析：首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)的事件有哪些結(jié)果，從而得到對(duì)應(yīng)的概率的大小，再者就是對(duì)隨機(jī)變量的值要分清，對(duì)應(yīng)的概率要算對(duì)，利用公式求得其期望.詳解：根據(jù)題意有，如果交換一個(gè)球，有交換的都是紅球、交換的都是藍(lán)球、甲盒的紅球換的乙盒的藍(lán)球、甲盒的藍(lán)球交換的乙盒的紅球，紅球的個(gè)數(shù)就會(huì)出現(xiàn)三種情況；如果交換的是兩個(gè)球，有紅球換紅球、藍(lán)球換藍(lán)球、一藍(lán)一紅換一藍(lán)一紅、紅換藍(lán)、藍(lán)換紅、一藍(lán)一紅換兩紅、一藍(lán)一紅換亮藍(lán)，對(duì)應(yīng)的紅球的個(gè)數(shù)就是五種情況，所以分析可以求得，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)隨機(jī)事件的概率以及對(duì)應(yīng)的期望的問題，在解題的過程中，需要對(duì)其對(duì)應(yīng)的事件弄明白，對(duì)應(yīng)的概率會(huì)算，以及變量的可取值會(huì)分析是多少，利用期望公式求得結(jié)果.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

利用平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，由可得，利用數(shù)量積運(yùn)算求得，再利用線性規(guī)劃的知識(shí)求出的最大值.【題目詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（1）所示：設(shè)，，，即，又，令，其中，畫出圖形，如圖（2）所示：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，屬于基礎(chǔ)題.14、5【答案解析】

由，，且，得，解得，則，則．15、【答案解析】

根據(jù)圓的性質(zhì)可知在線段的垂直平分線上，由此得到，同理可得，由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可知，從而化簡(jiǎn)得到，由此確定軌跡方程.【題目詳解】，，和的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且在線段的垂直平分線上，，即，同理可得：，，，點(diǎn)的軌跡方程為．故答案為：．【答案點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用圓的性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則構(gòu)造出滿足的方程，由此得到結(jié)果.16、【答案解析】

根據(jù)定積分的計(jì)算，得到，令，求得，即可得到答案．【題目詳解】根據(jù)定積分的計(jì)算，可得，令，則，即的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的應(yīng)用，以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理求得的表示是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）【答案解析】

（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，對(duì)分成和兩種情況討論，從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，從而有，，，三個(gè)方程中利用得到.將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù)，再構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，從而得到的取值范圍.【題目詳解】解：（1）由，，則，當(dāng)時(shí)，則，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）∵，,由得，∴，，∴∵∴解得.∴.設(shè)，則,∴在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，.∴，即所求的取值范圍為.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，求解雙元問題的常用思路是：通過換元或消元，將雙元問題轉(zhuǎn)化為單元問題，然后利用導(dǎo)數(shù)研究單變量函數(shù)的性質(zhì).18、（1）；（2）見解析.【答案解析】

（1）由已知變形得到，從而是等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法求出即可.【題目詳解】（1）由已知，，即，又，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)3為公差的等差數(shù)列，所以，即.（2）因?yàn)?，則，所以，又是遞增數(shù)列，所以，綜上，.【答案點(diǎn)睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.19、（1）（2）見解析（3）見解析【答案解析】試題分析：利用賦值法求出關(guān)系，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，要求函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).試題解析：（Ⅰ）根據(jù)題意：令，可得，所以，經(jīng)驗(yàn)證，可得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，所以，令，要使存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則須有有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，所以或解得或無解，所以的取值范圍，可得，由題意知，令，則．而當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，所以即時(shí)，．（Ⅲ）因?yàn)?，．令得，．由（Ⅱ）知時(shí)，的對(duì)稱軸，，，所以.又，可得，此時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以最多只有三個(gè)不同的零點(diǎn)．又因?yàn)椋栽谏线f增，即時(shí)，恒成立．根據(jù)（2）可知且，所以，即，所以，使得．由，得，又，，所以恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)：，1，．綜上所述，恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)．【答案點(diǎn)睛】利用賦值法求出關(guān)系，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，要求函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是近年高考?jí)狠S題的熱點(diǎn).20、（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見解析，.【答案解析】

（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求.（Ⅱ）先由題得可能取值為,再求x的分布列和期望.【題目詳解】（Ⅰ）（Ⅱ）可能取值為,,,,,的分布列為0123.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的計(jì)算，考查隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.21、（1）圖形見解析，理由見解析；（2）見解析；（3）犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系【答案解析】

（1）利用等高條形圖中兩個(gè)深顏色條的高比較得出性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系；（2）填寫列聯(lián)表即可；（3）由表中數(shù)據(jù)，