向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義-精講版課件

向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義人教A版必修4§2.2.3課堂導(dǎo)入：

我們已經(jīng)知道兩實(shí)數(shù)乘積的意義，以及實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律、分配律等運(yùn)算律，那么實(shí)數(shù)與向量是否可以相乘？在本節(jié)我們就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題．一、向量的數(shù)乘

實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa.規(guī)定：①｜λa｜＝｜λ｜｜a｜；②當(dāng)λ＞0，時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0．

提示：（1）向量的數(shù)乘是實(shí)數(shù)與向量的乘法運(yùn)算法則，具有明顯的集合意義，它是一個(gè)合理的規(guī)定．（2）由向量的數(shù)乘概念可知，向量λa與a向量相同或相反，所以這兩個(gè)向量是共線向量．把a(bǔ)的模伸長(zhǎng)（當(dāng)｜λ｜＞1時(shí)）或縮短（當(dāng)｜λ｜＜1）時(shí)，到它的｜λ｜倍，就是λa的模．（3）當(dāng)λ＝0時(shí)，有λa＝0；當(dāng)λ≠0時(shí)，而a＝0時(shí)，也有λa＝0的充要條件是λ＝0或a＝0．（4）實(shí)數(shù)與向量可以相乘，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如λ+a，a-λ是沒(méi)有意義的．

典例剖析例1證明：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半規(guī)律：對(duì)于兩個(gè)共線向量，只要能夠確定它們的模的倍數(shù)關(guān)系，以及方向相同或相反，就可以利用向量的數(shù)乘概念，將其中一個(gè)向量用另一個(gè)向量表示，從而實(shí)施問(wèn)題的轉(zhuǎn)化．

變式訓(xùn)練如下圖，在平行四邊形ABCD

的對(duì)角線DB的延長(zhǎng)線及反向延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)E、F，使BE＝DF，求證:四邊形AECF

是平行四邊形．二、向量的數(shù)乘運(yùn)算律設(shè)a、b為任意向量，λ、μ為實(shí)數(shù)．則①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ+μ)a＝λa+μa；③λ(a+b）＝λa+λb．注：（1）向量的數(shù)乘運(yùn)算律，類似于實(shí)數(shù)運(yùn)算的結(jié)合律和分配律，等式左右兩邊的運(yùn)算結(jié)果都是向量，但運(yùn)算次序不同．（2）特別地，有（-λ)a＝-（λa）＝λ（-a）；λ（a-b）＝λa-λb．（3）上述運(yùn)算律是在向量的數(shù)乘概念下推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)論，而不是規(guī)定.（4）向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱向量的線性運(yùn)算，且對(duì)任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)，都有λ（a±b

）＝λa

+λb．典例剖析規(guī)律:關(guān)于實(shí)數(shù)與向量的積得有關(guān)運(yùn)算，只需把向量符號(hào)a、b、c等，看做一般字母符號(hào)，然后按照實(shí)數(shù)的運(yùn)算方法進(jìn)行即可．其中向量數(shù)乘之間的和差運(yùn)算，相當(dāng)于合并同類項(xiàng)．變式訓(xùn)練三、向量共線定理如果a（a≠0）與b共線，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.

疑難解析：（1）向量共線定理，是由向量數(shù)乘的定義得出的，事實(shí)上，如果a（a≠0）與b共線，且向量b的模是向量a的模的μ倍，則｜b｜＝｜μa｜，那么，當(dāng)a與b同向時(shí)，有b＝μa；當(dāng)a與b反向時(shí)，有b＝-μa，從而b＝λa．（2）對(duì)于向量a（a≠0）、b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ使b＝λa，則由向量數(shù)乘定義知a與b共線．所以向量共線定理的逆命題也成立．（3）定理中a≠0是前提條件，如果a＝0，則λa＝0，當(dāng)b為非零向量時(shí)，a與b共線，但是b≠λa，定理不成立．當(dāng)b＝0時(shí)，b＝λa，但λ可以取任意實(shí)數(shù)．（4）如果λb＝μa，則a與b共線，這是向量共線定理的變通，其中λ，μ是兩個(gè)不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)．事實(shí)上，若λ＝0，則a＝0，顯然a與b共線；若λ≠0，則b＝a，從而a與b共線．典例剖析

例3如下圖，在平行四邊形ABCD中，M

是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在對(duì)角線BD上，且BD＝3BN．求證：M、N、C三點(diǎn)共線．

規(guī)律:利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線，是一種十分有效的方法．由三個(gè)點(diǎn)可得三個(gè)方向相同的向量，只要證明其中任意兩個(gè)向量共線，就可得出三點(diǎn)共線．通過(guò)向量的幾何、代數(shù)運(yùn)算，找出兩個(gè)向量的數(shù)乘關(guān)系，是解題的主體，通過(guò)中間向量（如本例中的a、b）溝通兩個(gè)向量的共線關(guān)系，是解題的一個(gè)技巧．變式訓(xùn)練

復(fù)習(xí)：

1.實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作

．2.｜λa｜＝

．3.當(dāng)

時(shí)，λa與a方向相同；λ＜0時(shí)，λa與a方向

；當(dāng)

時(shí)，λa＝0（a≠0）．4.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律中，結(jié)合律是

，它的幾何意義是：λaλ＞0相反λ＝0λ（μa

）＝λμ（a）

將表示向量a的有向線段先伸長(zhǎng)或壓縮｜μ｜倍，在伸長(zhǎng)或壓縮｜λ｜倍．與直接將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮｜λμ｜倍所得結(jié)果相同

.5.第一分配律是

，6.第二分配律是

，7.向量b與非零向量a共線的等價(jià)條件是

．8.向量線性運(yùn)算是指向量的

運(yùn)算．9.與非零向量a共線的單位向量是