拋物線的簡單幾何性質(zhì)1-精講版課件

2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)一、復(fù)習(xí)回顧：.FM.1、拋物線的定義：在平面內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.標(biāo)準(zhǔn)方程

圖形

焦點(diǎn)

準(zhǔn)線xyoF..xyFo.yxoF.xoyF2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過點(diǎn)(-3,2);(2)焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上;(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

.分析:對(duì)于(1),需要確定p的值和開口方向兩個(gè)條件,因?yàn)辄c(diǎn)(-3,2)在第二象

限,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為y2=-2px(p>0)或x2=2py(p>0);對(duì)于(2),因

為標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,所以求出直線x-2y-4=0與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交

點(diǎn)(4,0)和(0,-2),即為所求拋物線兩種情況下的焦點(diǎn);而對(duì)于(3),由題意知,p

=

,下一步需要討論拋物線的開口方向.【例題1】試求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:【例題2】平面上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,求動(dòng)點(diǎn)P

的軌跡方程.分析一:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則有?=|x|+1,化簡即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,此解法用了求誰設(shè)誰的思路,即直接法.分析二:結(jié)合題意動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,由于點(diǎn)F

(1,0)到y(tǒng)軸的距離為1,故分情況討論:當(dāng)x<0時(shí),直線y=0(x<0)上的點(diǎn)適合條件;當(dāng)x≥0時(shí),可以看作是點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)與到直線x=-1的距離相等,故P點(diǎn)在以

點(diǎn)F為焦點(diǎn),x=-1為準(zhǔn)線的拋物線上,其軌跡方程為y2=4x(x≥0).這是根據(jù)拋

物線的定義求解.拋物線的幾何性質(zhì)以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：來研究它的幾何性質(zhì)．（1）范圍

因?yàn)?，由方程可知，所以拋物線在軸的右側(cè)，當(dāng)?shù)闹翟龃髸r(shí)，也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．（2）對(duì)稱性

以代，方程不變，所以拋物線關(guān)于軸對(duì)稱．我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸．（3）頂點(diǎn)

拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)，在方程中，當(dāng)時(shí)，因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)．（4）離心率

拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義可知方程圖形范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO關(guān)于x軸對(duì)稱

關(guān)于x軸對(duì)稱

關(guān)于y軸對(duì)稱

關(guān)于y軸對(duì)稱（0,0）e=1(5)焦半徑(6)通徑通過焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長度：2P補(bǔ)充知識(shí)：通經(jīng)是過焦點(diǎn)的最短弦特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒有對(duì)稱中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的e=1;5.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開口的影響.P越大,開口越開闊---本質(zhì)是成比例地放大！例1.已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),并且過點(diǎn)M(2,),求它的

標(biāo)準(zhǔn)方程.三、例題選講：y2=4x焦點(diǎn)是什么？準(zhǔn)線是什么？.F解法1

F1(1,0),解法2

F1(1,0),解法3

F1(1,0),|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8ABFA1B1解法4ABFA1B1H

,

同理,

∴

(x2,y2),AB的中點(diǎn)為M(x0,y0).求證:(1)|AB|=2(x0+

);(2)若AB的傾斜角為θ,則|AB|=

;(3)x1x2=

,y1y2=-p2;(4)

+

為定值

.【例題2】已知AB是拋物線y2=2px(p>0)的過焦點(diǎn)F的一條弦.設(shè)A(x1,y1),B例拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng),A(2,2),試求|MA|+|MF|的最小值.MFAA1M1解

|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|≥|AA1|=3即|MA|+|MF|的最小值為3.練習(xí)拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到準(zhǔn)線距離為d,A(2,4),試求|MA|+d的最小值.MFAd

方程圖形范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)焦半徑焦點(diǎn)弦的長度

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈R