蒙特卡洛方法課件

蒙特卡洛（MonteCarlo）模擬方法蒙特卡洛（MonteCarlo）1這一方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)研制原子彈的"曼哈頓計劃"。MonteCarlo方法創(chuàng)始人主要是這四位：StanislawMarcinUlam,EnricoFermi,JohnvonNeumann（學計算機的肯定都認識這個牛人吧）和NicholasMetropolis。這一方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)研制原子彈的"曼哈頓計劃"。2二十世紀最偉大的10大算法之一Monte-Carlo,Monaco數學家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。二十世紀最偉大的10大算法之一Monte-Carlo,Mo3但是——蒙特卡洛模擬方法并不是什么神秘的東西，只是基于概率論而生的一種算法。其中的大部分內容概率論都已經涉及。但是——4所謂蒙特卡洛方法，簡單地說就是將問題轉化成一個概率問題.并用計算機模擬產生一堆隨機數據，之后就是對隨機數據的統(tǒng)計工作了！蒙特卡洛模擬方法=建立概率模型+計算機模擬+數理統(tǒng)計所謂蒙特卡洛方法，簡單地說就是將問題轉化成一個概率問題.并用5實例分析實例分析61mP=Π/4應用蒙特卡洛模擬方法計算Π值：P=圓的面積/正方形的面積問題：1.建立概率模型：1mP=Π/4應用蒙特卡洛模擬方法計算Π值：P=圓的面積/正72.用計算機模擬，產生0—1之間的二維的隨機數3.對產生的隨機數樣本進行統(tǒng)計分析，算出π值，并計算誤差2.用計算機模擬，產生0—1之間的二維的隨機數3.對產生的隨8這就是一個完整的蒙特卡洛分析過程。這就是一個完整的蒙特卡洛分析過程。9蒙特卡洛模擬方法與數理統(tǒng)計的區(qū)別在于：1.蒙特卡洛需要建一個概率模型，即將問題轉化為概率問題2.用計算機產生隨機數之后的工作大部分就是對隨機數的統(tǒng)計分析即我們所學的數理統(tǒng)計了！蒙特卡洛模擬方法與數理統(tǒng)計的區(qū)別在于：10該方法為我們提供了一個看待世界的新思路，即一個不具有隨機性的事件也可以通過一定的方法用隨機事件來模擬或逼近意義該方法為我們提供了一個看待世界的新思路，即一個不具有隨機性的11該方法巧妙的“逃避”了數學上的困難，不管多復雜，只要模擬的次數足夠多，就可得到一個比較精確可靠度指標。這種看似簡單的方法在許多領域卻是不可或缺的。并且隨著計算機的發(fā)展會滲透到更多的學科。概率研究的是問題表面的性質，跳開了問題的本質，因此簡單了很多。該方法巧妙的“逃避”了數學上的困難，不管多復雜，只要模擬的次12下面是一些具體的論述下面是一些具體的論述131.根據問題構造一個簡單、適用的概率模型或隨機模型。使問題的解對應于該模型中隨機變量的某些特征（如概率、均值和方差等），所構造的模型在主要特征參量方面要與實際問題或系統(tǒng)相一致建立模型要具體問題具體分析1.根據問題構造一個簡單、適用的概率模型或隨機模型。14模擬：建立一個試驗模型，這個模型包含所研究系統(tǒng)的主要特點．通過對這個實驗模型的運行，獲得所要研究系統(tǒng)的必要信息現(xiàn)代的數學模擬都是在計算機上進行的，稱為計算機模擬。物理模擬通?；ㄙM較大、周期較長，甚至無法進行模擬：物理模擬通?；ㄙM較大、周期較長，甚至無法進行15接下來，跳過第二步利用計算機產生隨機數的過程，直接進行對隨機數（樣本）的統(tǒng)計分析。接下來，跳過第二步利用計算機產生隨機數的過程，16蒙特卡洛模擬的理論基礎與模擬結果的誤差大數定律中心極限定理對此，我們只對更強一些的中心極限定理展開討論，將概率論中所學的理論“機械”的移植過去就行！蒙特卡洛模擬的理論基礎與模擬結果的誤差大數定律中心極限定理對17中心極限定理滿足（1）：獨立同分布（2）中心極限定理滿足（1）：獨立同分布（2）18蒙特卡洛方法課件19這表明，不等式近似地以概率1成立。上式也表明，收斂到的階為O(n-1/2)。通常，蒙特卡羅方法的誤差ε定義為這表明，不等式近似地以概率1成立。上式也表明，收斂到的20或者是增大n

，或者是減小方差

2要減小誤差要把精度提高一個數量級，試驗次數n需增加兩個數量級。因此，單純增大n不是一個有效的辦法。O(n-1/2)或者是增大n，或者是減小方差2要減小誤差要把精度提高一21這就是所謂的“方差縮減”技巧如減小估計的均方差，比如降低一半，那誤差就減小一半，這相當于n增大四倍的效果。這就是所謂的“方差縮減”技巧如減小估計的均方差，比如降低22Buffun投針中針長對模擬精度的影響針的長度增加能夠提高圓周率π估計精度.因此在應用蒙特卡洛方法時，適當設定模型可減小方差能夠使模擬的效率明顯提高.方差縮減實例：方差縮減實例：23小結：蒙特卡洛方法的特點MonteCarlo方法原理極其簡單（相對）——通過大量的簡單隨機抽樣和簡單計算實現(xiàn)該方法。2）收斂速度與問題維數無關（多重積分）——MonteCarlo方法的收斂速度為O(n-1/2)，與維數無關對多維問題優(yōu)勢明顯對復雜問題提供了一個簡單通法小結：蒙特卡洛方法的特點MonteCarlo方法原理極其簡24完了！完了！25知識回顧KnowledgeReview祝您成功！知識回顧KnowledgeReview祝您成功！蒙特卡洛（MonteCarlo）模擬方法蒙特卡洛（MonteCarlo）27這一方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)研制原子彈的"曼哈頓計劃"。MonteCarlo方法創(chuàng)始人主要是這四位：StanislawMarcinUlam,EnricoFermi,JohnvonNeumann（學計算機的肯定都認識這個牛人吧）和NicholasMetropolis。這一方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)研制原子彈的"曼哈頓計劃"。28二十世紀最偉大的10大算法之一Monte-Carlo,Monaco數學家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。二十世紀最偉大的10大算法之一Monte-Carlo,Mo29但是——蒙特卡洛模擬方法并不是什么神秘的東西，只是基于概率論而生的一種算法。其中的大部分內容概率論都已經涉及。但是——30所謂蒙特卡洛方法，簡單地說就是將問題轉化成一個概率問題.并用計算機模擬產生一堆隨機數據，之后就是對隨機數據的統(tǒng)計工作了！蒙特卡洛模擬方法=建立概率模型+計算機模擬+數理統(tǒng)計所謂蒙特卡洛方法，簡單地說就是將問題轉化成一個概率問題.并用31實例分析實例分析321mP=Π/4應用蒙特卡洛模擬方法計算Π值：P=圓的面積/正方形的面積問題：1.建立概率模型：1mP=Π/4應用蒙特卡洛模擬方法計算Π值：P=圓的面積/正332.用計算機模擬，產生0—1之間的二維的隨機數3.對產生的隨機數樣本進行統(tǒng)計分析，算出π值，并計算誤差2.用計算機模擬，產生0—1之間的二維的隨機數3.對產生的隨34這就是一個完整的蒙特卡洛分析過程。這就是一個完整的蒙特卡洛分析過程。35蒙特卡洛模擬方法與數理統(tǒng)計的區(qū)別在于：1.蒙特卡洛需要建一個概率模型，即將問題轉化為概率問題2.用計算機產生隨機數之后的工作大部分就是對隨機數的統(tǒng)計分析即我們所學的數理統(tǒng)計了！蒙特卡洛模擬方法與數理統(tǒng)計的區(qū)別在于：36該方法為我們提供了一個看待世界的新思路，即一個不具有隨機性的事件也可以通過一定的方法用隨機事件來模擬或逼近意義該方法為我們提供了一個看待世界的新思路，即一個不具有隨機性的37該方法巧妙的“逃避”了數學上的困難，不管多復雜，只要模擬的次數足夠多，就可得到一個比較精確可靠度指標。這種看似簡單的方法在許多領域卻是不可或缺的。并且隨著計算機的發(fā)展會滲透到更多的學科。概率研究的是問題表面的性質，跳開了問題的本質，因此簡單了很多。該方法巧妙的“逃避”了數學上的困難，不管多復雜，只要模擬的次38下面是一些具體的論述下面是一些具體的論述391.根據問題構造一個簡單、適用的概率模型或隨機模型。使問題的解對應于該模型中隨機變量的某些特征（如概率、均值和方差等），所構造的模型在主要特征參量方面要與實際問題或系統(tǒng)相一致建立模型要具體問題具體分析1.根據問題構造一個簡單、適用的概率模型或隨機模型。40模擬：建立一個試驗模型，這個模型包含所研究系統(tǒng)的主要特點．通過對這個實驗模型的運行，獲得所要研究系統(tǒng)的必要信息現(xiàn)代的數學模擬都是在計算機上進行的，稱為計算機模擬。物理模擬通?；ㄙM較大、周期較長，甚至無法進行模擬：物理模擬通?；ㄙM較大、周期較長，甚至無法進行41接下來，跳過第二步利用計算機產生隨機數的過程，直接進行對隨機數（樣本）的統(tǒng)計分析。接下來，跳過第二步利用計算機產生隨機數的過程，42蒙特卡洛模擬的理論基礎與模擬結果的誤差大數定律中心極限定理對此，我們只對更強一些的中心極限定理展開討論，將概率論中所學的理論“機械”的移植過去就行！蒙特卡洛模擬的理論基礎與模擬結果的誤差大數定律中心極限定理對43中心極限定理滿足（1）：獨立同分布（2）中心極限定理滿足（1）：獨立同分布（2）44蒙特卡洛方法課件45這表明，不等式近似地以概率1成立。上式也表明，收斂到的階為O(n-1/2)。通常，蒙特卡羅方法的誤差ε定義為這表明，不等式近似地以概率1成立。上式也表明，收斂到的46或者是增大n

，或者是減小方差

2要減小誤差要把精度提高一個數量級，試驗次數n需增加兩個數量級。因此，單純增大n不是一個有效的辦法。O(n-1/2)或者是增大n，或者是減小方差2要減小誤差要把精度提高一47這就是所謂的“方差縮減”技巧如減小估計的均方差，比如降低一半，那誤差就減小一半，這相當于n增大四倍的效果。這就是所謂的“方差縮減”技巧如減小估計的均方差，比如降低48Buffun投針中針長對模擬精度的影響針的長度增加能夠提高圓周率π估計精度.因此在應用蒙特卡洛方法時，適當設定模型可減小方差能夠使模擬的效率明顯提高.方差縮減實例：方差縮減實例：49小結：蒙特卡洛方法的特點