計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)07課件

第七章

多元微積分簡介后頁首頁前頁第七章

多元微積分簡介后頁首頁前頁基本要求、重點(diǎn)難點(diǎn)7.1空間解析幾何簡介7.2多元函數(shù)的概念、極限和連續(xù)性7.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分7.4復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的微分法基本要求、重點(diǎn)難點(diǎn)7.1空間解析幾何簡介7.2多元函數(shù)的7.5多元函數(shù)的極值7.6二重積分7.7演示與實(shí)驗(yàn)六7.5多元函數(shù)的極值7.6二重積分7.7演示與實(shí)驗(yàn)六基本要求掌握多元函數(shù)以及多元嫦娥數(shù)微積的法則。了解微積分及其應(yīng)用，且以二元函數(shù)為主原由。掌握三元以及一般n元函數(shù)的性質(zhì)，特點(diǎn)。了解一些空間解析幾何的概念。理解多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法。掌握二元函數(shù)定義、定義域的求法與表示法。基本要求掌握多元函數(shù)以及多元嫦娥數(shù)微積的法則。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：函數(shù)的微積分應(yīng)用以及二元函數(shù)。多元函數(shù)的概念、極限和連續(xù)性。難點(diǎn)：多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、極值及其在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：7.1空間解析幾何簡介7.1.1空間直角坐標(biāo)系7.1空間解析幾何簡介7.1.1空間直角坐標(biāo)系7.1.2平面與直線一、平面方程例求與二定點(diǎn)M1(1,－1,0)、M2(2，0，－2)距離相等的點(diǎn)M(x,y,z)的軌跡方程。解依題意有|MM1|＝|MM2|，由兩點(diǎn)間距離公式得化簡后可得點(diǎn)M的軌跡方程為x+y－2z－3＝0。中學(xué)幾何中，已知動點(diǎn)M的軌跡是線段M1M2的垂直平分面。因此上面所求的方程即為該平面的方程?？梢宰C明空間中任一個平面的方程為三元一次方程Ax+By+Cz+D＝0,其中A、B、C、D均為常數(shù)，且A、B、C不全為零。二、直線方程空間直線也可看作兩個平面的交線，所以直線方程可用這兩個平面方程的聯(lián)立方程來表示，即其中A1，B1，C1與A2，B2，C2不成比例。繼續(xù)點(diǎn)擊7.1.2平面與直線一、平面方程例求與二定點(diǎn)M17.1.3曲面如果曲面S上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)＝0，而不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F(x,y,z)＝0,那么方程F(x,y,z)＝0稱為曲面S的方程，而曲面S稱為方程F(x,y,z)＝0的圖形。7.1.3曲面如果曲面S上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(7.2多元函數(shù)的概念、極限和連續(xù)性7.2.1多元函數(shù)的概念定義7.1

設(shè)平面上有一個非空點(diǎn)集D，如果有一個對應(yīng)規(guī)律f，使每一個點(diǎn)(x,y)∈D都對應(yīng)于惟一的一個實(shí)數(shù)z，則稱z是D上的二元函數(shù)，它在(x,y)處的值稱為函數(shù)值，記為f(x,y),即z＝f(x,y)。D稱為該函數(shù)的定義域，x,y稱為自變量，z稱為因變量或函數(shù)。在解析幾何中，一個二元有序數(shù)組(x,y)對應(yīng)于平面上一個點(diǎn)，這種點(diǎn)的集合稱為平面點(diǎn)集。類似地，一個三元有序數(shù)值(x,y,z)對應(yīng)于空間內(nèi)一點(diǎn)，這種點(diǎn)的集合稱為空間點(diǎn)集。令ρ＝(x－x０)2+(y－y０)2為點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)P(x0,y0)間的距離，則滿足ρ＜δ的點(diǎn)集，稱為點(diǎn)(x0,y0)的δ鄰域(δ為常數(shù))?！蘝_____________7.2多元函數(shù)的概念、極限和連續(xù)性7.2.1多元函數(shù)的7.2.2二元函數(shù)的極限定義7.2

設(shè)函數(shù)z＝f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)點(diǎn)P0(x0,y0)的鄰域有定義(可不包括P0)。若當(dāng)點(diǎn)P(x,y)無限接近點(diǎn)P0(x0,y0)(可不達(dá)到P0)時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x,y)無限趨近于某一常數(shù)A，則稱在(x0,y0)點(diǎn)，函數(shù)f(x,y)的極限為A，記為7.2.2二元函數(shù)的極限定義7.2

設(shè)函數(shù)z＝f(x,7.2.3二元函數(shù)的連續(xù)性定義7.3

設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)點(diǎn)(x0,y0)鄰域有定義，如果

lim(f,x)＝f(x0,y0)，那么稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)，(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的連續(xù)點(diǎn)。如果f(x,y)在(x0,y0)處不連續(xù)，那么稱f(x,y)在(x0,y0)處間斷，(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的間斷點(diǎn)。(x,y)→(x,y)如果函數(shù)f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，那么稱函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)。7.2.3二元函數(shù)的連續(xù)性定義7.3

設(shè)二元函數(shù)f(x7.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分7.3.1多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一、一階偏導(dǎo)數(shù)在熱學(xué)中，需要研究下面兩種情況：

(1)等溫過程，即溫度不變(T＝T0常數(shù))時，考察因壓強(qiáng)P的變化而引起體積V的變化，這導(dǎo)致V關(guān)于P的變化率：

(2)等壓過程，即壓強(qiáng)不變(P＝P0常數(shù))時，考察因溫度T的變化而引起體積V的變化，這導(dǎo)致V關(guān)于T的變化率：7.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分7.3.1多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一、定義7.4

設(shè)函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0，而x在x0處有增量Δx時，相應(yīng)地函數(shù)有增量(偏增量)如果存在，則稱此極限為函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作類似地，函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對y的偏導(dǎo)數(shù)定義為記為如果函數(shù)z＝f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對x(或y)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么稱函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)有對x(或y)的偏導(dǎo)函數(shù)，簡稱偏導(dǎo)數(shù)。記作定義7.4

設(shè)函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)07課件7.3.2全微分一、全微分的概念定義7.5

若函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的全增量Δz＝f(x0+Δx,y0+Δy)－f(x0,y0)可表示為Δz＝AΔx+BΔy+o(ρ)。

其中A、B與Δx、Δy無關(guān)，而o(ρ)ρ＝Δx２＋Δy２是的高階無窮小，即lim

＝０，則稱AΔx+BΔy為函數(shù)z＝f(x,y)在(x0,y0)處的全微分，記作dz，即dz＝AΔx+BΔy。

此時也稱函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)可微。

若z＝f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)可微，則稱函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)可微。ρ→０o(ρ)ρ定理7.2若函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)可微，則f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)連續(xù)。定理7.3(可微的必要條件)

若函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，則函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x,y)必存在偏導(dǎo)數(shù)，且A＝

,B＝

。?z?x?z?y繼續(xù)點(diǎn)擊定理7.4(可微的充分條件)若z＝f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則此函數(shù)在該點(diǎn)一定可微。7.3.2全微分一、全微分的概念定義7.5ρ→０o(ρ)定二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用由二元函數(shù)全微分的概念可得Δz＝f′x(x,y)Δx+f′y(x,y)Δy+o(ρ)，由于o(ρ)為ρ的高階無窮小(ρ→0時)，因此當(dāng)|Δx|與|Δy|都較小時，可略去o(ρ)項(xiàng)，得到近似公式為f(x+Δx,y+Δy)≈f(x,y)+f′x(x,y)Δx+f′y(x,y)Δy。二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用7.4復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的微分法7.4.1復(fù)合函數(shù)的微分法

一、全微分的概念定理7.5(可微的必要條件)

若函數(shù)z＝f(u,v)關(guān)于u,v的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。又函數(shù)u＝φ(x,y),v＝ψ(x,y)關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)z＝f［φ(x,y),ψ(x,y)］關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，并有7.4復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的微分法7.4.1復(fù)合函數(shù)的微分7.4.2全微分形式的不變性定理7.6(可微的必要條件)

設(shè)z＝f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而u＝u(x,y),v＝v(x,y)也有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則無論u,v是否為自變量，都有7.4.2全微分形式的不變性定理7.6(可微的必要條件)7.4.3隱函數(shù)的微分法

(1)在一元函數(shù)中已經(jīng)討論過用隱函數(shù)求導(dǎo)法，求由方程F(x,y)＝0所確定的隱函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)dydx。這個問題還可以用多元復(fù)合函數(shù)的微分法來解決?，F(xiàn)給出其公式：若≠0，則由F［x,f(x)］≡0有可得??Fy7.4.3隱函數(shù)的微分法(1)在一元函數(shù)中已經(jīng)討論過

(2)對于由方程F(x,y,z)＝0所確定的隱函數(shù)z＝f(x,y)，如果≠0，則由F［x,y,f(x,y)］≡0，有得??Fz(2)對于由方程F(x,y,z)＝0所確定的隱函數(shù)z＝7.5多元函數(shù)的極值7.5.1二元函數(shù)的極值定義7.6

設(shè)函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某個鄰域有定義，如果在此鄰域內(nèi)異于點(diǎn)(x0,y0)的任何點(diǎn)(x,y)，恒有f(x,y)＜f(x0,y0)(f(x,y)＞f(x0,y0))，

那么稱點(diǎn)(x0,y0)為函數(shù)z＝f(x,y)的極大點(diǎn)(極小點(diǎn))。f(x0,y0)稱為極大值(極小值)。極大點(diǎn)和極小點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱極值。定理7.7(極值存在的必要條件)

設(shè)函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的一個鄰域內(nèi)有定義且存在一階偏導(dǎo)數(shù)，如果(x0,y0)是極值點(diǎn)，則有f′x(x0,y0)＝0,f′y(x0,y0)＝0。7.5多元函數(shù)的極值7.5.1二元函數(shù)的極值定義7.6定理7.8(極值存在的充分條件)

設(shè)函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又f′x(x0,y0)＝0,f′y(x0,y0)＝0，令f′xx(x0,y0)＝A,f′xy(x0,y0)＝B,f′yy(x0,y0)＝C,

則f(x,y)在(x0,y0)處是否取得極值的條件如下：

(1)AC－B2＞0時具有極值，且當(dāng)A＜0時有極大值，當(dāng)A＞0時有極小值；

(2)AC－B2＜0時沒有極值；

(3)AC－B2＝0時無法判斷。定理7.8(極值存在的充分條件)7.5.2最大值和最小值應(yīng)用問題7.5.2最大值和最小值應(yīng)用問題7.5.3條件極值上面給出的求二元函數(shù)f(x,y)極值的方法中，兩個自變量x與y是相互獨(dú)立的，即不受其他條件約束，此時的極值稱為無條件極值，簡稱極值。若自變量x與y之間還要滿足一定的條件φ(x,y)＝0，稱為約束條件或約束方程，這時所求的極值叫做條件極值。

拉格朗日乘數(shù)法：求函數(shù)z＝f(x,y)在條件φ(x,y)＝0下的可能極值點(diǎn)的步驟為：

(1)作輔助函數(shù)(稱為拉格朗日函數(shù))。F(x,y,λ)＝f(x,y)+λφ(x,y)，其中λ稱為拉格朗日乘數(shù)。

(2)求F(x,y,λ)對x,y,λ的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，即＝f′x(x,y)+λφ′x(x,y)＝0,＝f′y(x,y)+λφ′y(x,y)＝0,＝φ(x,y)＝0。解出x,y,λ，則(x,y)是原來的條件極值問題的可能極值點(diǎn)。??Fx??Fy?F?λ7.5.3條件極值上面給出的求二元函數(shù)f(x,y)極值7.6.1二重積分的概念7.6二重積分7.6.1二重積分的概念7.6二重積分7.6.2二重積分的計(jì)算性質(zhì)與定積分比較，很容易得到二重積分的性質(zhì).現(xiàn)假定所涉及的被積函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)域上都是可積的，則對二重積分的計(jì)算性質(zhì)敘述如下：7.6.2二重積分的計(jì)算性質(zhì)與定積分比較，很容易得到二7.6.3二重積分的計(jì)算

幾何觀點(diǎn)：假定f(x,y)≥0，記以曲面z＝f(x,y)為頂，以有界閉區(qū)域D為底的曲頂柱體體積為V，則設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式來表示(如左下圖)，其中函數(shù)φ1(x),φ2(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)。此式右端是兩個定積分：先對y積分，后對x積分，稱之為累次積分。y稱為內(nèi)積分變量，x稱為外積分變量。函數(shù)y＝φ1(x),y＝φ2(x)在［a,b］上連續(xù)，函數(shù)z＝f(x,y)在D上連續(xù)，則有下列公式7.6.3二重積分的計(jì)算幾何觀點(diǎn)：假定f(x,y)≥0計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)07課件7.7演示與實(shí)驗(yàn)六7.7.1實(shí)驗(yàn)?zāi)康?.學(xué)習(xí)用Mathematica畫二元函數(shù)的圖形；2.學(xué)習(xí)用Mathematica求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及全微分；3.學(xué)習(xí)用Mathematica求多元函數(shù)的極值；4.學(xué)習(xí)用Mathematica求重積分。7.7演示與實(shí)驗(yàn)六7.7.1實(shí)驗(yàn)?zāi)康?.學(xué)習(xí)用Math7.7.2內(nèi)容與步驟

1.Mathematica畫二元函數(shù)的圖形

命令格式：Plot3D［f,｛x,xmin,xmax｝,{y,ymin,ymax}］

2.用Mathematica求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及全微分

(1)求一階偏導(dǎo)數(shù)

命令格式：D［函數(shù)，自變量］

(2)求高階偏導(dǎo)數(shù)

命令格式：D［函數(shù)，{自變量，階數(shù)}］(求函數(shù)對一個自變量的高階導(dǎo)數(shù))

D［函數(shù)，自變量1，自變量2］(求函數(shù)對兩個自變量的混合二階偏導(dǎo)數(shù))

(3)求全微分

命令格式：Dt［函數(shù)］

7.7.2內(nèi)容與步驟1.Mathematica畫二元函ThankYou!后頁首頁前頁ThankYou!后頁首頁前頁第七章

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多元微積分簡介后頁首頁前頁基本要求、重點(diǎn)難點(diǎn)7.1空間解析幾何簡介7.2多元函數(shù)的概念、極限和連續(xù)性7.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分7.4復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的微分法基本要求、重點(diǎn)難點(diǎn)7.1空間解析幾何簡介7.2多元函數(shù)的7.5多元函數(shù)的極值7.6二重積分7.7演示與實(shí)驗(yàn)六7.5多元函數(shù)的極值7.6二重積分7.7演示與實(shí)驗(yàn)六基本要求掌握多元函數(shù)以及多元嫦娥數(shù)微積的法則。了解微積分及其應(yīng)用，且以二元函數(shù)為主原由。掌握三元以及一般n元函數(shù)的性質(zhì)，特點(diǎn)。了解一些空間解析幾何的概念。理解多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法。掌握二元函數(shù)定義、定義域的求法與表示法。基本要求掌握多元函數(shù)以及多元嫦娥數(shù)微積的法則。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：函數(shù)的微積分應(yīng)用以及二元函數(shù)。多元函數(shù)的概念、極限和連續(xù)性。難點(diǎn)：多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、極值及其在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：7.1空間解析幾何簡介7.1.1空間直角坐標(biāo)系7.1空間解析幾何簡介7.1.1空間直角坐標(biāo)系7.1.2平面與直線一、平面方程例求與二定點(diǎn)M1(1,－1,0)、M2(2，0，－2)距離相等的點(diǎn)M(x,y,z)的軌跡方程。解依題意有|MM1|＝|MM2|，由兩點(diǎn)間距離公式得化簡后可得點(diǎn)M的軌跡方程為x+y－2z－3＝0。中學(xué)幾何中，已知動點(diǎn)M的軌跡是線段M1M2的垂直平分面。因此上面所求的方程即為該平面的方程。可以證明空間中任一個平面的方程為三元一次方程Ax+By+Cz+D＝0,其中A、B、C、D均為常數(shù)，且A、B、C不全為零。二、直線方程空間直線也可看作兩個平面的交線，所以直線方程可用這兩個平面方程的聯(lián)立方程來表示，即其中A1，B1，C1與A2，B2，C2不成比例。繼續(xù)點(diǎn)擊7.1.2平面與直線一、平面方程例求與二定點(diǎn)M17.1.3曲面如果曲面S上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)＝0，而不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F(x,y,z)＝0,那么方程F(x,y,z)＝0稱為曲面S的方程，而曲面S稱為方程F(x,y,z)＝0的圖形。7.1.3曲面如果曲面S上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(7.2多元函數(shù)的概念、極限和連續(xù)性7.2.1多元函數(shù)的概念定義7.1

設(shè)平面上有一個非空點(diǎn)集D，如果有一個對應(yīng)規(guī)律f，使每一個點(diǎn)(x,y)∈D都對應(yīng)于惟一的一個實(shí)數(shù)z，則稱z是D上的二元函數(shù)，它在(x,y)處的值稱為函數(shù)值，記為f(x,y),即z＝f(x,y)。D稱為該函數(shù)的定義域，x,y稱為自變量，z稱為因變量或函數(shù)。在解析幾何中，一個二元有序數(shù)組(x,y)對應(yīng)于平面上一個點(diǎn)，這種點(diǎn)的集合稱為平面點(diǎn)集。類似地，一個三元有序數(shù)值(x,y,z)對應(yīng)于空間內(nèi)一點(diǎn)，這種點(diǎn)的集合稱為空間點(diǎn)集。令ρ＝(x－x０)2+(y－y０)2為點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)P(x0,y0)間的距離，則滿足ρ＜δ的點(diǎn)集，稱為點(diǎn)(x0,y0)的δ鄰域(δ為常數(shù))。√______________7.2多元函數(shù)的概念、極限和連續(xù)性7.2.1多元函數(shù)的7.2.2二元函數(shù)的極限定義7.2

設(shè)函數(shù)z＝f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)點(diǎn)P0(x0,y0)的鄰域有定義(可不包括P0)。若當(dāng)點(diǎn)P(x,y)無限接近點(diǎn)P0(x0,y0)(可不達(dá)到P0)時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x,y)無限趨近于某一常數(shù)A，則稱在(x0,y0)點(diǎn)，函數(shù)f(x,y)的極限為A，記為7.2.2二元函數(shù)的極限定義7.2

設(shè)函數(shù)z＝f(x,7.2.3二元函數(shù)的連續(xù)性定義7.3

設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)點(diǎn)(x0,y0)鄰域有定義，如果

lim(f,x)＝f(x0,y0)，那么稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)，(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的連續(xù)點(diǎn)。如果f(x,y)在(x0,y0)處不連續(xù)，那么稱f(x,y)在(x0,y0)處間斷，(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的間斷點(diǎn)。(x,y)→(x,y)如果函數(shù)f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，那么稱函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)。7.2.3二元函數(shù)的連續(xù)性定義7.3

設(shè)二元函數(shù)f(x7.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分7.3.1多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一、一階偏導(dǎo)數(shù)在熱學(xué)中，需要研究下面兩種情況：

(1)等溫過程，即溫度不變(T＝T0常數(shù))時，考察因壓強(qiáng)P的變化而引起體積V的變化，這導(dǎo)致V關(guān)于P的變化率：

(2)等壓過程，即壓強(qiáng)不變(P＝P0常數(shù))時，考察因溫度T的變化而引起體積V的變化，這導(dǎo)致V關(guān)于T的變化率：7.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分7.3.1多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一、定義7.4

設(shè)函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0，而x在x0處有增量Δx時，相應(yīng)地函數(shù)有增量(偏增量)如果存在，則稱此極限為函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作類似地，函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對y的偏導(dǎo)數(shù)定義為記為如果函數(shù)z＝f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對x(或y)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么稱函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)有對x(或y)的偏導(dǎo)函數(shù)，簡稱偏導(dǎo)數(shù)。記作定義7.4

設(shè)函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)07課件7.3.2全微分一、全微分的概念定義7.5

若函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的全增量Δz＝f(x0+Δx,y0+Δy)－f(x0,y0)可表示為Δz＝AΔx+BΔy+o(ρ)。

其中A、B與Δx、Δy無關(guān)，而o(ρ)ρ＝Δx２＋Δy２是的高階無窮小，即lim

＝０，則稱AΔx+BΔy為函數(shù)z＝f(x,y)在(x0,y0)處的全微分，記作dz，即dz＝AΔx+BΔy。

此時也稱函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)可微。

若z＝f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)可微，則稱函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)可微。ρ→０o(ρ)ρ定理7.2若函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)可微，則f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)連續(xù)。定理7.3(可微的必要條件)

若函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，則函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x,y)必存在偏導(dǎo)數(shù)，且A＝

,B＝

。?z?x?z?y繼續(xù)點(diǎn)擊定理7.4(可微的充分條件)若z＝f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則此函數(shù)在該點(diǎn)一定可微。7.3.2全微分一、全微分的概念定義7.5ρ→０o(ρ)定二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用由二元函數(shù)全微分的概念可得Δz＝f′x(x,y)Δx+f′y(x,y)Δy+o(ρ)，由于o(ρ)為ρ的高階無窮小(ρ→0時)，因此當(dāng)|Δx|與|Δy|都較小時，可略去o(ρ)項(xiàng)，得到近似公式為f(x+Δx,y+Δy)≈f(x,y)+f′x(x,y)Δx+f′y(x,y)Δy。二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用7.4復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的微分法7.4.1復(fù)合函數(shù)的微分法

一、全微分的概念定理7.5(可微的必要條件)

若函數(shù)z＝f(u,v)關(guān)于u,v的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。又函數(shù)u＝φ(x,y),v＝ψ(x,y)關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)z＝f［φ(x,y),ψ(x,y)］關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，并有7.4復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的微分法7.4.1復(fù)合函數(shù)的微分7.4.2全微分形式的不變性定理7.6(可微的必要條件)

設(shè)z＝f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而u＝u(x,y),v＝v(x,y)也有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則無論u,v是否為自變量，都有7.4.2全微分形式的不變性定理7.6(可微的必要條件)7.4.3隱函數(shù)的微分法

(1)在一元函數(shù)中已經(jīng)討論過用隱函數(shù)求導(dǎo)法，求由方程F(x,y)＝0所確定的隱函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)dydx。這個問題還可以用多元復(fù)合函數(shù)的微分法來解決?，F(xiàn)給出其公式：若≠0，則由F［x,f(x)］≡0有可得??Fy7.4.3隱函數(shù)的微分法(1)在一元函數(shù)中已經(jīng)討論過

(2)對于由方程F(x,y,z)＝0所確定的隱函數(shù)z＝f(x,y)，如果≠0，則由F［x,y,f(x,y)］≡0，有得??Fz(2)對于由方程F(x,y,z)＝0所確定的隱函數(shù)z＝7.5多元函數(shù)的極值7.5.1二元函數(shù)的極值定義7.6

設(shè)函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某個鄰域有定義，如果在此鄰域內(nèi)異于點(diǎn)(x0,y0)的任何點(diǎn)(x,y)，恒有f(x,y)＜f(x0,y0)(f(x,y)＞f(x0,y0))，

那么稱點(diǎn)(x0,y0)為函數(shù)z＝f(x,y)的極大點(diǎn)(極小點(diǎn))。f(x0,y0)稱為極大值(極小值)。極大點(diǎn)和極小點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱極值。定理7.7(極值存在的必要條件)

設(shè)函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的一個鄰域內(nèi)有定義且存在一階偏導(dǎo)數(shù)，如果(x0,y0)是極值點(diǎn)，則有f′x(x0,y0)＝0,f′y(x0,y0)＝0。7.5多元函數(shù)的極值7.5.1二元函數(shù)的極值定義7.6定理7.8(極值存在的充分條件)

設(shè)函數(shù)z＝f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又f′x(x0,y0)＝0,f′y(x0,y0)＝0，令f′xx(x0,y0)＝A,f′xy(x0,y0)＝B,f′yy(x0,y0)＝C,

則f(x,y)在(x0,y0)處是否取得極值的條件如下：

(1)AC－B2＞0時具有極值，且當(dāng)A＜0時有極大值，當(dāng)A＞0時有極小值；

(2)AC－B2＜0時沒有極值；

(3)AC－B2＝0時無法判斷。定理7.8(極值存在的充分條件)7.5.2最大值和最小值應(yīng)用問題7.5.2最大值和最小值應(yīng)用問題7.5.3條件極值上面給出的求二元函數(shù)f(x,y)極值的方法中，兩個自變量x與y是相互獨(dú)立的，即不受其他條件約束，此時的極值稱為無條件極值，簡稱極值。若自變量x與y之間還要滿足一定的條件φ(x,y)＝0，稱為約束條件或約束方程