理解從工具性走向關系性

本文格式為Word版，下載可任意編輯——理解從工具性走向關系性董從發(fā)

命題設計不僅要考核學生是否能得到正確的結果，更要考察學生對知識點的理解及前后知識點的貫穿，考察點應落在學生的思維品質上。由學生的解題過程，可以透視學生的思維水平，分析學生的思維能力。好的命題可以促進教師反思課堂教學，在教學中關注知識來源、關注學習過程、關注能力發(fā)展，推動教學走向更深層次。

命題;過程;思維;評價

在一次學校自己組織的測評中有一道題引發(fā)了教師們的探討熱心：批卷老師探討如何評判學生的對錯，任課老師探討評價的意圖與導向，教學中心則思考如何改進評價的形式與質量。此題之所以引起大家的探討，是由于形形色色的答案彰顯出學生的不同理解，而教師對不同答案的解讀，折射出的是各自不同的教學觀。這道試題的浮現，引起了教師對考什么、怎么考的思辨。

一、案例介紹

試題內容如下：聰聰在學習了“分數乘法和倒數〞后，對“分數除法怎樣計算〞感到很好奇，于是他翻閱了數學書，發(fā)現書上是這樣說的：“除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數。例如2÷[23]=2×[32]。〞聰聰雖然看懂了計算方法，但他在思考：“為什么除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數呢？〞請用你喜歡的方法說明2÷[23]=2×[32]的道理。

從測試中可以發(fā)現，好多學生不知道該如何闡述算理，“說明道理〞僅停留在“除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數〞的算法上，或者“被逼著〞用以往的“平均分〞知識來解釋（如圖1）。

這是兩種對比典型但還不是最低水平的回復，測試中還有近10%的學生就是把算式抄一遍或干脆空著。

當然，也有學生能夠從本質上理解分數除法的道理，并將自己的解題過程用“線段圖+推理描述〞的形式呈現出來，其思維過程清楚可見（如圖2）。

二、命題解讀

分數除法建立在分數乘法的基礎上，是分數四則運算中的最終一項內容。這一內容與好多知識有直接的聯系，如分數乘法的意義、算法及其應用，倒數、整數除法的意義、解方程等等。學習分數除法，一方面會加深學生對乘除法關系的理解，體會數學知識方法的內在聯系，另一方面也為學生后續(xù)學習比和比例、百分數打下基礎。該題的考察點在于：學生對分數相關知識內在的聯系是否打通，對算理是否真正理解，能否用所學知識來解決問題這三個方面。

分數除法的計算方法并不難，大多數學生在教師未教學前就已經可以計算，所以好多教師在教學這一內容時往往一帶而過，沒有深入地引導學生思考探討“為什么這樣做〞。這種粗放型的教學方式，表面上“贏得了〞時間，讓學生有充裕的時間穩(wěn)定練習，但這種教學會造成學生對這一知識點的認識停留在“工具性〞理解上，無法達到“關系性〞理解的水平。本命題的落腳點就是考察學生對分數除法的理解，是記住其“形〞，還是理解其“理〞，學生的思維到底達到了什么程度。

三、命題導向

一線教師往往有一種“你怎么考，我怎么教〞的心理，所以要從源頭上改進教師的教學，需要以命題評價為導向，引領課堂教學。本測試內容開放，答題的方式多元，可以見證學生對題目的多維理解。這與以往追求結果的命題方式不同，這樣的命題關注的是知識形成的過程，呈現的是學生的數學素養(yǎng)。命題者希望通過這道題目的測試提醒教師，命題檢測的核心意義在于透過學生的解題過程，發(fā)現學生的解題策略、思考方式和思維品質，從而促進教師更好地反思教學、推動教學。

四、教學思考

透過評價再重新審視“分數除法〞這一內容的教學，如何引導學生從“工具性理解〞走向“關系性理解〞？是否可以從對這節(jié)課教學的反思延伸開去，思考一類課的教學？圍繞這些問題，浮現以下思考。

（一）反思交流，重構教學過程

測試后，通過反思測試中出現的問題，結合與同伴交流的結果，重新設計了“分數除法〞這節(jié)課的教學過程。

1.問題引入，獨立解決

教學開始，教師拋出問題：[45]÷2這樣的式子你會算嗎？想方法說明你的算法。教師要注意：問題浮現后，應給予學生充分的探究時間，讓他們可以“用自己的方法說明道理〞。設計這個過程的目的在于喚醒學生舊知，激發(fā)學生調動解決此問題所需要的一系列知識儲存。學生會自主溝通知識，通過想一想、畫一畫、算一算等方式理解算理。學生可能調用前面學過的知識，借助除法意義，用平均分的方法解釋，也可能采用具體操作，譬如折紙的方式解釋，等等。

2.交流反饋，建立連接

在反饋中，引導學生觀測：你能看懂這兩位同學的方法（如圖3、圖4）嗎？

生：把[45]平均分成2份與分數乘法中求[45]的[12]含義上是一樣的。

生：[45]÷2可以轉化成[45]×[12]來計算。

3.溝通方法，拓展研究

師：分數除以整數可以轉化成乘這個數的倒數來算，那假如除數不是整數，該怎樣算呢？

浮現問題：小明[23]小時走了2千米，小紅[56]小時走了[512]千米。誰走得快些？

生：用2÷[23]，[512]÷[56]算出兩個人的速度，同樣時間里，誰走的路程多誰就快。

生：也可以算走1千米需要多少時間，時間少的快。

師：這樣的算式你會算嗎？這樣算的道理是什么？我們先來研究2÷[23]。（師展示學生作品，如圖5）

師：你看懂了上面的哪些方法？

生：第①幅圖中的方法是對的，但是為什么這樣算沒有說明白。

生：我覺得第⑤幅圖表示得很明白，[23]小時走2千米，[13]小時就走1千米，1小時有3個[13]，所以每小時走3千米。

……

以上教學過程，學生不再僅僅把“除以一個分數等于乘以它的倒數〞作為解決這類問題的工具使用，而是充分經歷了知識的形成過程，深入地理解了除以一個分數與乘以它的倒數之間的關系。

事實證明，學生有分數乘法的學習經驗，有分數與除法的關系等知識經驗，教師只要大膽放手，舍得花時間，就能讓學生的理解從“工具性〞走向“關系性〞。

（二）以點帶面，思考同類教學

1.關注知識來源，厘清知識脈絡

教學不能停留在知識的抽象層面，而要關注它的來龍去脈，從知識來源出發(fā)正確解讀教材，向數學本質邁進。人教版六年級上冊“分數除法〞單元里安排了三個例題：分數除以整數，一個數（整數、分數）除以分數，分數除法解決問題。這是一個由易到難、循序漸進的過程。教師要引導學生理解除法是乘法的逆運算，分數除法本質上就是分數乘法。教學時可以從等式的意義、直觀圖、分數與除法的關系等學生已有的知識經驗出發(fā)，再逐步溝通理解，引導學生建立模型。

在這一系列內容中，分數除以整數的算理，學生相比較較簡單理解。他們可以通過直觀操作，用折紙和畫圖數形結合的方法，分析、計算得出結果。而一個數除以分數的算理就對比難理解，教師可以引導學生通過畫線段圖，將新問題轉化為已經解決的問題，在數形結合中理解算理、發(fā)現算法。同時，“除以整數〞和“除以分數〞這兩類題都可以放入“總數÷份數=每份數〞的關系中進行理解，前者是已知幾份求每份數，后者是已知1份數的幾分之幾求每份數。在教學中，教師要關注知識的來源，引導學生厘清知識脈絡，使學生深入理解所學知識，逐步建立良好的認知結構。

2.關注能力發(fā)展，提升思維品質

學生解決一個問題，運用到的數學能力遠遠不止一種，學生需要經歷讀取分析、推理認證、抽象概括等過程，檢驗的是綜合應用各種能力的結果，如動手操作能力、問題解決能力、思維拓展能力等。如下面這個教學過程。

教師請學生自己計算2÷[23]，然后交流計算方法。

生：我覺得這里（如圖6）應當填個小括號，這樣看起來就明白除法變成分數了。

生：除號相當于分數線！

師：把你的想法寫給大家看看！（如圖7）

學生在完成特性化的算法建構后，通過生生間的相互啟發(fā)、點撥、鼓舞，不斷修正，產生共鳴，達到對知識的深層理解。

綜上所述，命題評價可以有效引導教師優(yōu)化課堂教學